2024-2025学年黑龙江省大庆外国语学校高三（上）第一次质检数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年黑龙江省大庆外国语学校高三（上）第一次质检数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合M={x|x+1≥0}，N={x|x2<4}，则M∩N=A.(−∞,−1] B.[−1,2) C.(−1,2] D.(2,+∞)2.欧拉公式eix=cosx+isinx(x∈R)是瑞士数学家欧拉发现的，若复数z=eπ4i的共轭复数为A.−22−22i 3.在ΔABC中，三边长AB=7，BC=5，AC=6，则AB⋅BC的值等于(

)A.19 B.−14 C.−18 D.−194.已知函数f(x)=sin(x+π3)与A.f(x)与g(x)存在相同的对称轴 B.f(x)与g(x)存在相同的对称中心

C.f(x)与g(x)的值域相同 D.f(x)与g(x)在[0,π5.若f(x)=(x+a)ln4x−34x+3为偶函数，则a=A.−1 B.0 C.12 D.6.已知某羽毛球小组共有20名运动员，其中一级运动员4人，二级运动员6人，三级运动员10人.现在举行一场羽毛球选拔赛，若一级、二级、三级运动员能够晋级的概率分别为0.9，0.6，0.2，则这20名运动员中任选一名运动员能够晋级的概率为(

)A.0.62 B.0.58 C.0.46 D.0.427.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)和抛物线y2=2px(p>0)相交于A、B两点，直线A.y2=8x；x29+y24=1 B.y2=8x；8.已知直线y=ax+b是曲线y=xlnx的切线，则ab2的取值范围是(

)A.(0,1) B.(0,e] C.(−∞,e2]二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法中，正确的是(

)A.若随机变量X～N(2,σ2)，且P(X>6)=0.4，则P(−2<X<2)=0.1

B.若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的值越接近于1

C.若随机事件A，B满足：P(A)=12,P(B)=23,P(A∪B)=56，则事件A与B相互独立

10.已知函数f(x)的定义域为R，f(x+1)为偶函数，f(3x+2)为奇函数，则(

)A.f(x)的图象关于x=1对称 B.f(x)的图象关于(1,0)对称

C.f(x+4)=f(x) D.i=011.已知函数f(x)=x3−3xA.若f(x)在(0,+∞)上单调递增，则a的取值范围是(−∞,0)

B.点(1,f(1))为曲线y=f(x)的对称中心

C.若过点(2,m)可作出曲线y=f(x)+(a−3)x+b的三条切线，则m的取值范围是(−5,−4)

D.若f(x)存在极值点x0，且f(x0)=f(三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知数列{an}满足：a1=1，1a13.若函数f(x)=log2(x2−ax+3a)在区间14.已知函数f(x)=(x−1)3,x≤21x−1,x>2四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f(x)=alnx+12x2−(a+1)x．

(1)当a=−1时，求f(x)的最小值；

(2)若关于x的不等式f(x)≥016.(本小题15分)

在锐角△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acsin C=(a2+c2−b2)⋅sin B．

(1)若C=17.(本小题15分)

如图，已知斜三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面BB1C1C⊥侧面AA1B1B，侧面BB1C1C是矩形，侧面AA118.(本小题17分)

某汽车销售公司为了提升公司的业绩，现将最近300个工作日每日的汽车销售情况进行统计，如图所示．

(1)求a的值以及该公司这300个工作日每日汽车销售量的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

(2)以频率估计概率，若在所有工作日中随机选择4天，记汽车销售量在区间[200,250)内的天数为X，求X的分布列及数学期望；

(3)为增加销售量，公司规定顾客每购买一辆汽车可以进行一次抽奖活动，规则如下：抽奖区有A，B两个盒子，其中A盒中放有9张金卡、1张银卡，B盒中放有2张金卡、8张银卡，顾客在不知情的情况下随机选择其中一个盒子进行抽奖，直到抽到金卡则抽奖结束(每次抽出一张卡，然后放回原来的盒中，再进行下次抽奖，中途可更换盒子)，卡片结果的排列对应相应的礼品.已知顾客小明每次抽奖选择两个盒子的概率相同，求小明在首次抽奖抽出银卡的条件下，第二次从另外一个盒子中抽奖抽出金卡的概率．19.(本小题17分)

已知双曲线C：4x2−y2=m，点P1(1,1)在C上.按如下方式构造点Pn(n≥2)；过点Pn−1作斜率为1的直线与C的左支交于点Qn−1，点Qn−1关于y轴的对称点为Pn，记点Pn的坐标为(xn,yn).

(1)求点P2，P3的坐标；

(2)记an=2x参考答案1.B

2.D

3.D

4.B

5.B

6.C

7.B

8.C

9.ACD

10.AC

11.BCD

12.1202113.(−114.{3+15.解：(1)当a=−1时，f(x)=−lnx+12x2，则f′(x)=−1x+x=x2−1x，

由f′(x)>0，解得x>1；由f′(x)<0，解得0<x<1，

∴f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，

∴f(x)min=f(1)=12．

(2)由f(x)=alnx+12x2−(a+1)x，得f′(x)=ax+x−(a+1)=(x−1)(x−a)x．

当a≤0时，由f′(x)>0，解得x>1；由f′(x)<0，解得0<x<1，

∴f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)16.解：(1)因为acsin

C=(a2+c2−b2)sin

B，

所以sinCsinB=a2+c2−b2ac

由余弦定理可得：sinCsinB=2cos

B，

∴sin

C=sin

2B，

∴C=2B或C+2B=π．

若C=2B，C=π4，则A=5π8(舍去)．

若C+2B=π，C=π4，则A=3π8．

17.解：(1)证明：因为侧面BB1C1C是矩形，

所以BC⊥BB1，

又因为侧面BB1C1C⊥侧面A

A1

B1

B，平面BB1C1C∩平面AA1B1B=BB1，

所以BC⊥平面AA1B1B，

因为BE⊂平面AA1B1B，所以BC⊥BE，

菱形AA1B1B中，∠BAA1=60°，所以△AA1B是等边三角形，

又E是AA1的中点，所以BE⊥AA1，得BE⊥BB1，

又BB1∩BC=B，BB1，BC⊂平面BB1C1C，

所以BE⊥平面BB1C1C.

(2)由(1)，如图，以B为坐标原点，BE，BB1，BC所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

因为AB=2BC=2，所以BE=ABsin60°=3，

因此B1(0,2,0)，18.解：(1)依题意得(0.001+0.002+0.003+2a+0.006)×50=1，

解得a=0.004，

所求平均数为25×0.1+75×0.15+125×0.2+175×0.3+225×0.2+275×0.05=150．

(2)因汽车销售量在区间[200,250)内的概率为0.004×50=0.2=15，

在所有工作日中随机选择4天，相当于一个4重伯努利试验，故X∼B(4,15)，

则P(X=0)=C40×(45)X01234P25625696161故E(X)=4×15=45．

(3)设“选到A盒”为事件A1，“选到B盒”为事件A2，摸到金卡”为事件B1，摸到银卡”为事件B2，

因为B1，B2是对立事件，而P(B1)=12×910+19.解：(1)由题知m=4−1=3，

所以双曲线C：4x2−y2=3，

又过点P1(1,1)，斜率为1的直线方程为y=x，

由双曲线与直线的对称性可知Q1(−1,−1)，所以P2(1,−1)，

又过P2(1,−1)，且斜率为1的直线方程为y+1=x−1，即y=x−2，

由y=x−24x2−y2=3，解得x=1或x=−73，

当x=−73时，y=−73−2=−133，

所以Q2(−73,−133)，所以P3(73,−133)；

(2)证明：设Pn−1(xn−