2024-2025学年广东省广州市部分学校高二（上）第二次质检数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省广州市部分学校高二（上）第二次质检数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.直线3x−3y−1=0的倾斜角为(

)A.30° B.135° C.60° D.150°2.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，以DA.(1,1,1) B.(−1,1,1) C.(1,−1,1) D.(1,1,−1)3.已知向量a=(0,0,2)，b=(−1,1,1)，向量a+b在向量aA.(0,0,3) B.(0,0,6) C.(−3,3,9) D.(3,−3,−9)4.圆(x+2)2+(y+3)A.(−2,3)，1 B.(2,−3)，3 C.(−2,−3)，2 D.(2,−3)，5.将直线l1：x−y+1=0绕点(0,1)逆时针旋转90°得到直线l2，则l2的方程是A.x+y−2=0 B.x+y−1=0 C.2x−y+2=0 D.2x−y+1=06.空间中有三点P(1,−2,−2)，M(2,−3,1)，N(3,−2,2)，则点P到直线MN的距离为(

)A.22 B.23 C.7.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A、B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，A(−2,0)，B(4,0).点P满足|PA||PB|=12，设点P所构成的曲线为CA.C的方程为(x+4)2+y2=16

B.在C上存在点D，使得D到点(1,1)的距离为3

C.在C上存在点M，使得|MO|=2|MA|

8.已知P，Q是直线l：x−y+1=0上两动点，且|PQ|=2，点A(−4,6)，B(0,6)，则|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为(

)A.10+2 B.10−2 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知m∈R，若过定点A的动直线l1：x−my+m−2=0和过定点B的动直线l2：mx+y+2m−4=0交于点P(P与A，B不重合)，则以下说法正确的是(

)A.A点的坐标为(2,1) B.PA⊥PB

C.|PA|2+|PB|210.已知圆C：(x+2)2+y2=4，直线lA.直线l恒过定点(−1,1)

B.当m=0时，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1

C.直线l与圆C有两个交点

D.圆C与圆x211.如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，已知AB=AD=AA1=1，A.BD1=2 B.直线BD1与AC所成角的余弦值为66

C.A1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知空间向量a=(2,3,m)，b=(0,2,1)，c=(2,7,n)，若a，b，c共面，则mn13.费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小于120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120°，根据以上性质，已知A(−2,0)，B(2,0)，C(0,4)，P为△ABC内一点，记f(P)=|PA|+|PB|+|PC|，则f(P)的最小值为______．14.已知正三棱柱ABC−A′B′C′的底面边长为23，高为2，点P是其表面上的动点，该棱柱内切球的一条直径是MN，则PM⋅四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知圆x2+(y−4)2=16，过B(0,2)作直线l圆C交于点M、N．

(1)求证：BM⋅BN是定值；

16.(本小题15分)

如图，在空间几何体ABCDEFG中，四边形ABCD是边长为2的正方形，BF⊥平面ABCD，CG=1，AE=2，BF=3，且CG//AE//BF．

(1)求证：D，E，F，G四点共面；

(2)在线段FG上是否存在一点M，使得平面FAC与平面MAC所成角的余弦值为72233？若存在，求出17.(本小题15分)

已知M(x,y)为圆C：x2+y2−4x−14y+45=0上任意一点，

(1)求y−4x+3的最大值和最小值；

18.(本小题17分)

我国汉代初年成书的《淮南子毕术》中记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则是四邻矣.”这是我国古代人民利用平面镜反射原理的首个实例，体现了传统文化中的数学智慧.而英国化学家、物理学家享利⋅卡文迪许从镜面反射现象中得到灵感，设计了卡文迪许扭秤实验测量计算出了地球的质量，他从而被称为第一个能测出地球质量的人.已知圆C的半径为3，圆心C在直线l：3x−y+3−3=0位于第一象限的部分上，一条光线沿直线l入射被x轴反射后恰好与圆C相切．

(1)直接写出l的反射光线所在直线的方程；

(2)求圆C的方程；

(3)点E是圆C与x轴的公共点，一条光线从第一象限入射后与圆C相切于点A，并与x轴交于点B，其在点B处被直线m反射后沿着x轴负方向传播，此时△ABE的面积恰好为19.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=2AD=2，E是PC的中点．

(1)求证：PA//平面EDB；

(2)求平面EDB与平面PAD夹角的余弦值；

(3)在棱PB上是否存在一点F，使直线EF与平面EDB所成角的正弦值为63，若存在，求出求线段BF的长；若不存在，说明理由．

参考答案1.A

2.A

3.A

4.C

5.B

6.A

7.C

8.A

9.ABC

10.ACD

11.ABD

12.−1

13.4+214.[0,4]

15.(1)证明：若直线l的斜率不存在时，则直线l的方程为x=0，

将x=0代入圆的方程可得：(y−4)2=16，

解得y=0或y=8，

设M(0,0)，N(0,8)，

则BM=(0,−2),BN=(0,6)，

所以BM⋅BN=−12；

若直线l的斜率存在，设l：y=kx+2，M(x1,y1)，N(x2,y2)，

联立：y=kx+2x2+(y−4)2=16，整理可得：(1+k2)x2−4kx−12=0，

可得Δ=16k2+4⋅(1+k2)⋅(−12)>0恒成立，且x1+x216.解：(1)证明：因为BF⊥平面ABCD，AB，BC⊂平面ABCD，

所以BF⊥AB，BF⊥BC，

因为四边形ABCD是正方形，所以AB⊥BC，所以BA，BC，BF两两垂直，

则以点B为坐标原点，以BA，BC，BF所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

根据题意，得D(2,2,0)，E(2,0,2)，F(0,0,3)，G(0,2,1)，

所以DE=(0,−2,2),DF=(−2,−2,3),DG=(−2,0,1)，

因为DE+DG=(−2,−2,3)=DF，

所以DE,DF,DG共面，

又DE，DF，DG有公共点D，

所以D，E，F，G四点共面．

(2)存在，理由如下：

A(2,0,0)，C(0,2,0)，则AC=(−2,2,0),AF=(−2,0,3)，

设m=(x1,y1,z1)为平面FAC的法向量，

则m⊥ACm⊥AF，即m⋅AC=0m⋅AF=0，即−2x1+2y1=0−2x1+3z1=0，令z1=2，

得平面FAC的一个法向量为m=(3,3,2)，

假设线段FG上存在点M，使得平面FAC与平面MAC所成角的余弦值为72233，

令FM=λFG=(0,2λ,−2λ)(0≤λ≤1)，

则AM=17.解：(1)已知圆C：x2+y2−4x−14y+45=0，

则(x−2)2+(y−7)2=8，

又M(x,y)为圆C上任意一点，

设y−4x+3=k，

得直线kx−y+3k+4=0，

该直线与圆(x−2)2+(y−7)2=8有交点即可，

所以圆心C(2,7)到直线的距离要小于等于半径即可，

有|2k−7+3k+4|1+k2≤22，

解得115≤k≤12，

即115≤y−4x+3≤12，

所以y−4x+3的最大值为12，最小值为115；

(2)因为x2+y2−5x−15y=(x−52)2+(y−152)2−1252，

显然18.解：(1)设l的反射光线所在直线DF上任意点为(x,y)，

则该点关于x轴对称点(x,−y)在直线l上，

所以l的反射光线所在直线DF的方程为3x+y+3−3=0；

(2)设点C(t,3t+3−3)，而圆C与直线DF相切，且圆C半径为3，

则|3t+3t+3−3+3−3|(3)2+12=3，即|3(t−1)+3|=3，

整理得3(t−1)=0或3(t−1)=−6，

又点C在第一象限，即t>0，

所以t=1，圆心C(1,3)，半径r=3，

所以圆C的方程为(x−1)2+(y−3)2=9；

(3)由(2)知，点C到x轴距离为3，即x轴与圆C相切于点E(1,0)，

由一条光线从第一象限入射后与圆C相切于点A，并与x轴交于点B，得点B在点E的右侧，

设B(a,0)，19.(1)证明：连接AC，交BD于点O，连接OE，

点E是PC的中点，点O是AC的中点，

所以PA/​/OE，OE⊂平面EDB，PA⊄平面EDB，

所以PA//平面EDB；

(2)解：如图，以向量DA，DC，DP为x，y，z轴的正方向，

建立空间直角坐标系，

即D(0,0,0)，B(1,2,0)，E(0,1,1)，

则DB=(1,2,0),DE=(0,1,1)，

设平面EDB的一个法向量为m=(x,y,z)，

则由m⊥DB，m⊥DE，可得DB⋅m=x+2y=0DE⋅m=y+z=0，

令y=−1，得x=2，z=1，

可得平面EDB的一个法向量为m=(2,−1,1)，