2024-2025学年甘肃省庆阳市高三（上）第一次模拟数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年甘肃省庆阳市高三（上）第一次模拟数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若集合A={5,6,9,10,14}，B={6,9,12,15,16}，则A∩B中元素的个数为(

)A.1 B.2 C.3 D.42.已知复数z=−5−2i，则z2的实部为(

)A.20 B.21 C.−21 D.−203.若双曲线x29−y211=1的右支上一点P到右焦点的距离为A.3 B.12 C.15 D.3或154.已知某圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，高为23，则该圆台的体积为(

)A.63π B.14335.函数f(x)=lg10−2xA.(−∞,1] B.(0,1] C.(0,12]6.在平行四边形ABCD中，AB=2AE，BF=2BC，则A.2AB+12AD B.127.若锐角θ满足sinθcosθ+cos2θ=35A.17 B.−43 C.28.已知函数f(x)的定义域为R，f(f(x+y))=f(x)+f(y)，f(1)=1，则下列结论错误的是(

)A.f(0)=0B.f(x)是奇函数C.f(2024)=2024D.f(x)的图象关于点(1二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知椭圆M：x2+y2A.M的焦点在x轴上 B.M的焦距为10

C.M的离心率为52626 D.M10.设函数f(x)=2sin(2nx−π3)(n∈A.f(x)的图象过定点(0,−3) B.f(x)的最小正周期为π2n+1

C.{an}11.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角.角度用弧度制表示.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为π3，故其各个顶点的曲率均为2π−3×π3=π.如图，在正方体ABCD−A1B1A.在四面体ABCD1中，点A的曲率为11π12

B.在四面体ABCD1中，点D1的曲率大于7π6

C.四面体ABCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知一组数据1，2，3，3，5，1，6，8，则这组数据的第60百分位数为______；若从这组数据中任意抽取2个数据，则这2个数据不相等的概率为______．13.为了让自己渐渐养成爱运动的习惯，小明10月1日运动了5分钟，从第二天开始，每天运动的时长比前一天多2分钟，则从10月1日到10月的最后一天，小明运动的总时长为______分钟．14.若过圆C：x2+(y−2)2=r2(r>0)外一点P(2,−2)作圆C的两条切线，切点分别为A，B四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，AB=5，AC=43，A=π6．

(1)求BC的长；

(2)设D为AC边上一点，且BD=316.(本小题15分)

如图，AE⊥平面ABCD，CF⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E，F位于平面ABCD的两侧．

(1)证明：平面BDF⊥平面AECF．

(2)若CF=2，AE=3，AD=4，求平面ABF与平面AECF夹角(锐角)的余弦值．17.(本小题15分)

贵妃杏是河南省灵宝市黄河沿岸地区的一种水果，其果实个大似鹅蛋，外表呈橙黄色，阳面有晕.贵妃杏口感甜美，肉质实心鲜嫩多汁，营养丰富，是河南省的知名特产之一.已知该地区某种植园成熟的贵妃杏(按个计算)的质量M(单位：克)服从正态分布N(μ,σ2)，且P(96≤M≤106)=0.7，P(94≤M≤96)=0.1.从该种植园成熟的贵妃杏中选取了10个，它们的质量(单位：克)为101，102，100，103，99，98，100，99，97，101，这10个贵妃杏的平均质量恰等于μ克．

(1)求μ．

(2)求P(100<M≤104)．

(3)甲和乙都从该种植园成熟的贵妃杏中随机选取1个，若选取的贵妃杏的质量大于100克且不大于104克，则赠送1个贵妃杏；若选取的贵妃杏的质量大于104克，则赠送2个贵妃杏.记甲和乙获赠贵妃杏的总个数为X，求18.(本小题17分)

已知动点P在抛物线C：y2=2px(p>0)上，Q(−2,3)，点P到C的准线的距离为d，且d+|PQ|的最小值为5．

(1)求C的方程；

(2)若过点(1,0)的直线l与C交于A，B两点，且直线QA的斜率与直线QB的斜率之积为−1219.(本小题17分)

定义：对于函数f(x)，g(x)，若∀a，b，c∈(0,+∞)，f(a)+f(b)>g(c)，则称“f(x)−g(x)“为三角形函数．

(1)已知函数f(x)=x−lnx，若g(x)为二次函数，且g(2−x)=g(x)，写出一个g(x)，使得“f(x)−g(x)”为三角形函数；

(2)已知函数f(x)=2x+t2x+2，x∈(0,+∞)，若“f(x)−f(x)”为三角形函数，求实数t的取值范围；

(3)若函数f(x)=x−lnx，g(x)=ln(x+1)−xlnx+x参考答案1.B

2.B

3.C

4.B

5.D

6.C

7.C

8.D

9.BC

10.ACD

11.ABD

12.3

131413.1085

14.2或4

15.解：(1)∵在△ABC中，AB=5，AC=43，A=π6，

∴由余弦定理得BC=AB2+AC2−2AB⋅ACcosA=52+(43)216.解：(1)证明：连接AC，因为四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD，

因为AE⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以AE⊥BD，

因为AE∩AC=C，所以BD⊥平面AECF，

因为BD⊂平面BDF，所以平面BDF⊥平面AECF；

(2)因为AE⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，

所以AB，AD，AE两两互相垂直，

则以A为坐标原点，以AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，

因为CF=2，AE=3，AD=4，

所以A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(4,4,0)，D(0,4,0)，E(0,0,3)，F(4,4,−2)，

所以AB=(4,0,0)，AF=(4,4,−2)，AC=(4,4,0)，

设平面ABF的法向量为m=(x,y,z)，

则m⋅AB=4x=0m⋅AF=4x+4y−2z=0，解得x=0，令z=2，则y=1，所以m=(0,1,2)，

设平面AECF的法向量为n=(a,b,c)，

则m⋅AF=4a+4b−2c=0m⋅AC=4a+4b=0，令a=1，得b=−1，c=0，所以n=(1,−1,0)，

设平面ABF与平面AECF夹角(锐角)17.解：(1)由题可得，μ=101+102+100+103+99+98+100+99+97+10110=100；

(2)因为μ=100，所以P(94≤M≤96)=P(104≤M≤106)=0.1，

故P(100<M≤104)=0.7−0.12=0.3；

(3)设1人获赠贵妃杏的个数为Y，

由题可得，P(Y=2)=0.2，P(Y=1)=0.3，P(Y=0)=0.5，

则X的所有可能取值为0，1，2，3，4，

P(X=4)=0.2×0.2=0.04，

P(X=3)=0.3×0.2×2=0.12，

P(X=2)=0.32+0.5×0.2×2=0.29，

P(X=1)=0.5×0.3×2=0.3X01234P0.250.30.290.120.04所以E(X)=0×0.25+1×0.3+2×0.29+3×0.12+4×0.04=1.4．

18.解：(1)设抛物线C的焦点为F(p2,0)，由抛物线的定义可得|PF|=d(d为P到准线的距离)，

则d+|PQ|=|PF|+|PQ|≥|FQ|，

当Q，P，F三点共线且点P在线段QF上时，|PF|+|PQ|取得最小值5，

则|FQ|=(p2+2)2+32=5，整理得(p2+2)2=16，解得p=4或p=−12(舍去)，

故C的方程为y2=8x．

(2)设过点(1,0)的直线l：x=my+1，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

联立y2=8xx=my+1，消元得y219.解：(1)由f(x)=x−ln x，x∈(0,+∞)，

得f′(x)=1−1x=x−1x，

令f′(x)=0，解得x=1．

当0<x<1时，f′(x)<0，f(x)在(0,1)上单调递减；

当x>1时，f′(x)>0，f(x)在(1,+∞)上单调递增．

所以f(x)min=f(1)=1．

因为g(x)为二次函数，且g(2−x)=g(x)，

所以g(x)的对称轴为x=1，

设g(x)=ax2−2ax+c(a≠0)，

要使“f(x)−g(x)”为三角形函数，

只要2f(x)min>g(x)max，

取a=−1，c=0，

则g(x)=−x2+2x=−(x−1)2+1，g(x)max=g(1)=1，

满足2f(1)=2>1=g(1)，

则∀a，b，c∈(0,+∞)，f(a)+f(b)≥2f(1)>g(1)≥g(c)，

即f(a)+f(b)>g(c)成立．

故若f(x)=x−ln x，

取g(x)=−x2+2x，可使得“f(x)−g(x)”为三角形函数(答案不唯一)；

(2)f(x)=2x+t2x+2=1+t−22x+2，x∈(0,+∞)，

①当t=2时，f(x)=1，

则任意∀a，b，c∈(0,+∞)，f(a)+f(b)=2>1=f(c)，

故“f(x)−f(x)”为三角形函数；

②当t>2时，由x>0，2x+2>3,0<12x+2<13，

则0<t−221+2<t−23，1<f(x)<1+t−23=t+13，

要使“f(x)−f(x)”为三角形函数，

由2×1≥t+13，解得t≤5，

则有∀a，b，c∈(0,+∞)，f(a)+f(b)>2≥t+13>f(c)，

所以2<t≤5；

③当t<2时，则t−23<t−22x+2<0,t+13<f(x)<1，

要使“f(x)−f(x)”为三角形函数，

由2×t+13≥1，解得t≥12，

则有∀a，b，c∈(0,+∞)，f(a)+f(b)>2(t+1