河北省2024八年级数学上册第14章整式的乘法与因式分解拔高练整式乘法的应用课件新版新人教版

第十四章整式的乘法与因式分解培优拔高练整式乘法的应用新定义问题1.

[2023·沈阳期末]设

a

，

b

是实数，定义⊗的一种运算如

下：

a

⊗

b

＝(

a

＋

b

)2－(

a

－

b

)2，则下列结论：①

a

⊗

b

＝

b

⊗

a

；②若

a

⊗

b

＝0，则

a

＝0且

b

＝0；③若

a

⊗

b

＝

(－

a

)⊗

b

，则

a

＝0或

b

＝0；④

a

⊗(

b

＋

c

)＝

a

⊗

b

＋

a

⊗

c

.其中正确的个数是(

C

)A.1B.2C.3D.4C231点拨：①∵

a

⊗

b

＝(

a

＋

b

)2－(

a

－

b

)2，

b

⊗

a

＝(

b

＋

a

)2

－(

b

－

a

)2＝(

a

＋

b

)2－(

a

－

b

)2，∴

a

⊗

b

＝

b

⊗

a

，故①正确；②∵

a

⊗

b

＝(

a

＋

b

)2－(

a

－

b

)2＝4

ab

＝0，∴

a

＝0或

b

＝0，故②错误；231③∵

a

⊗

b

＝(

a

＋

b

)2－(

a

－

b

)2，(－

a

)⊗

b

＝(－

a

＋

b

)2

－(－

a

－

b

)2＝(

a

－

b

)2－(

a

＋

b

)2，∴(

a

＋

b

)2－(

a

－

b

)2＝(

a

－

b

)2－(

a

＋

b

)2，∴(

a

－

b

)2＝(

a

＋

b

)2，∴

a

＝0或

b

＝0，故③正确；231④∵

a

⊗(

b

＋

c

)＝(

a

＋

b

＋

c

)2－(

a

－

b

－

c

)2＝4

a

(

b

＋

c

)，

a

⊗

b

＋

a

⊗

c

＝(

a

＋

b

)2－(

a

－

b

)2＋(

a

＋

c

)2－(

a

－

c

)2＝4

ab

＋4

ac

＝4

a

(

b

＋

c

)，∴

a

⊗(

b

＋

c

)＝

a

⊗

b

＋

a

⊗

c

，故④正确.综上，正确的个数是3.故选C.

231因式分解——十字相乘法2.

阅读与思考整式乘法与因式分解是方向相反的变形.即由(

x

＋

p

)(

x

＋

q

)＝

x2＋(

p

＋

q

)

x

＋

pq

，可得

x2＋(

p

＋

q

)

x

＋

pq

＝

(

x

＋

p

)(

x

＋

q

).利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式进

行因式分解，我们把这种方法称为“十字相乘法”.例如：将式子

x2＋3

x

＋2分解因式.解：

x2＋3

x

＋2＝

x2＋(1＋2)

x

＋1×2＝(

x

＋1)(

x

＋2).231请仿照上面的方法，解答下列问题：(1)分解因式：

x2＋2

x

－8；解：(1)原式＝

x2＋(4－2)

x

＋4×(－2)＝(

x

＋4)(

x

－2).(2)分解因式：

x3－8

x2＋12

x

；解：(2)原式＝

x

(

x2－8

x

＋12)＝

x

[

x2＋(－2－6)

x

＋(－2)×(－6)]＝

x

(

x

－2)(

x

－6).231(3)若

x2＋

px

－6可分解为两个一次因式的积，求整数

p

所有

可能的值.解：(3)∵－6＝(－1)×6＝1×(－6)＝2×(－3)＝(－

2)×3，∴

p

＝－1＋6＝5或

p

＝1－6＝－5或

p

＝2－3＝－1或

p

＝

－2＋3＝1，∴整数

p

的值可能为5或－5或1或－1.231因式分解——分组分解法3.

阅读与思考我们熟知的因式分解的方法有提公因式法、公式法和十字相乘法.但有时遇到了四项及以上的多项式要进行因式分解时，就往往不知从何下手了.因此，针对四项及以上的多项式因式分解，我们通常使用的方法是分组分解法：将多项式分成多个小组，每个小组单独进行因式分解.再利用提公因式法或者公式法对整体进行因式分解.

请观察以下使用分组分解法进行因式分解的过程：

－2

m2＋2

n2－4

m

＋4

n

＝(－2

m2＋2

n2)＋(－4

m

＋4

n

)＝－2(

m2－

n2)－4(

m

－

n

)＝－2(

m

－

n

)(

m

＋

n

)－4(

m

－

n

)＝－2(

m

－

n

)(

m

＋

n

＋2).231请使用分组分解法解决下列问题：(1)分解因式：

m2－

n2－3

m

＋3

n

；解：(1)

m2－

n2－3

m

＋3

n

＝(

m2－

n2)－(3

m

－3

n

)＝(

m

＋

n

)(

m

－

n

)－3(

m

－

n

)＝(

m

－

n

)(

m

＋

n

－3).(2)已知△

ABC

的三边

a

，

b

，

c

满足

b2＋

ab

－

bc

－

ac

＝0，

请判断△

ABC

的形状并说明理由.231解：(2)△

ABC

是等腰三角形，理由如下：

b2＋

ab

－

bc

－

ac

＝(

b2＋

ab

)－(

bc

＋

ac

)＝