第09讲直线的交点坐标与距离公式（人教A版2019选择性）（原卷版）

第09讲直线的交点坐标与距离公式【人教A版2019】·模块一两条直线的交点坐标·模块二距离公式·模块三点、线间的对称关系·模块四课后作业模块模块一两条直线的交点坐标1．两条直线的交点坐标(1)两条直线的交点坐标

一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合.(2)两条直线的位置关系与方程组的解的关系设两直线,直线.方程组的解一组无数组无解直线l1和l2的公共点个数一个无数个零个直线l1和l2的位置关系相交重合平行【考点1求两直线的交点坐标】【例1.1】（2023·江苏·高二假期作业）直线x+2y−4=0与直线2x−y+2=0的交点坐标是（

）A．(2,0) B．(2,1)C．(0,2) D．(1,2)【例1.2】（2023·全国·高三对口高考）若直线l:y=kx−3与直线2x+3y−6=0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（

A．π6,π3 B．π6,【变式1.1】（2023·江苏·高二假期作业）若三条直线2x+ky+8=0,x−y−1=0和2x−y=0交于一点，则k的值为（

）A．−2 B．−12 C．3 【变式1.2】（2023·上海浦东新·校考三模）已知三条直线l1:x−2y+2=0，l2:x−2=0，l3A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个【考点2经过两直线交点的直线方程】【例2.1】（2023秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第一二二中学校校考阶段练习）过直线x+y−3=0和2x−y+6=0的交点，且与直线2x+y−3=0垂直的直线方程是（

）A．4x+2y−9=0 B．4x−2y+9=0C．x+2y−9=0 D．x−2y+9=0【例2.2】（2023秋·福建福州·高二校考期末）过两直线x+y−3=0,2x−y=0的交点，且与直线x−3y−1=0垂直的直线方程为（

）A．3x+y+5=0 B．x−3y−5=0 C．3x+y−5=0 D．x−3y+5=0【变式2.1】（2023春·湖北孝感·高二统考开学考试）经过两条直线2x−y+1=0和x+y+2=0的交点，且与直线2x+3y=0平行的直线的方程为（

）A．2x+3y−5=0 B．2x+3y+5=0C．2x+3y+1=0 D．2x−3y−1=0【变式2.2】（2023秋·广东茂名·高二统考期末）如图，在△ABC中，AC，AB所在直线方程分别为4x−3y−13=0和3x+4y−16=0，则∠A的角平分线所在直线的方程为（

）A．x−7y+3=0 B．7x+y−29=0 C．x−y+3=0 D．x+y−5=0模块模块二距离公式1．两点间的距离公式平面内两点间的距离公式为.

特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=.2．点到直线的距离公式(1)定义：点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离.

(2)公式：

已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=.3．两条平行直线间的距离公式(1)定义

两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长.

(2)公式

设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=.4．中点坐标公式公式：

设平面上两点，线段的中点为，则.【考点1两点间的距离公式的应用】【例1.1】（2023·江苏·高二假期作业）已知点A7,4，B4,8，则A，B两点的距离为（A．25 B．5C．4 D．7【例1.2】（2023秋·高二课时练习）已知A(−1,2),B(0,4)，点C在x轴上，且AC=BC，则点C的坐标为（A．−112,0 B．0,−112 【变式1.1】（2023·江苏·高二假期作业）过点A(4,a)和点B(5,b)的直线与y=x+m平行，则AB的值为（

）A．6 B．2 C．2 D．不能确定【变式1.2】（2023秋·高二课时练习）若点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M的坐标是(3,4)，则AB的长为（

）A．10 B．5 C．8 D．6【考点2点到直线的距离公式的应用】【例2.1】（2023秋·高二课时练习）坐标原点O(0,0)到直线2x+y−10=0的距离是（

）A．10 B．25 C．52【例2.2】（2023秋·高二课时练习）已知A(4,0)到直线4x−3y+a=0的距离等于3，则a的值为（

）A．−1 B．−13或−19 C．−1或−31 D．−13【变式2.1】（2023·全国·高三专题练习）已知实数a>0,b<0，则3b−aa2A．[−2,−1) B．(−2,−1)C．(−2.−1] D．[−2,−1]【变式2.2】（2023春·河南焦作·高二统考开学考试）已知直线l:kx+y−3k−4=0(k∈R)，点A(4,1)和B(6,15)到直线l的距离分别为d1,d2且d2A．x+y+9=0 B．2x+y−18=0C．x−y+1=0或17x−y−47=0 D．x+4y−6=0或3x+y−12=0【考点3两条平行直线间的距离公式的应用】【例3.1】（2023秋·广西河池·高二统考期末）已知直线l1:x+ay+2=0，l2:2x+4y+3=0相互平行，则l1A．510 B．55 C．25【例3.2】（2023·安徽黄山·校考模拟预测）若直线2x−y−3=0与4x−2y+a=0之间的距离为5，则a的值为（

）A．4 B．5−6 C．4或−16 D．8或【变式3.1】（2023春·山东威海·高二开学考试）已知动点P在直线l1:3x−4y+1=0上运动，动点Q在直线l2:6x+my+4=0上运动，且l1A．35 B．310 C．15【变式3.2】（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x+2y+1=0和x+2y+3=0，另一组对边所在的直线方程分别为3xA．23 B．25 C．2【考点4与距离有关的最值问题】【例4.1】（2023秋·江西吉安·高二校考期末）已知P(cosα,sinα)，A．2 B．2 C．4 D．2【例4.2】（2023·江苏·高二假期作业）已知点M(1，2)，点P(x,y)在直线2x+y−1=0上，则A．10 B．355 C．6 【变式4.1】（2023春·重庆南岸·高二校考期中）已知直线l1：ax+y+1=0过定点P，则点P到直线l2：y=kx+1A．1 B．2 C．3 D．2【变式4.2】（2023秋·贵州黔西·高二统考期末）若P，Q分别为直线3x+4y−12=0与直线6x+8y+1=0上任意一点，则PQ的最小值为（）A．32 B．135 C．2310模块模块三点、线间的对称关系1．点关于点的对称2．直线关于点的对称3．两点关于某直线对称(4)几种特殊位置的对称：点对称轴对称点坐标P(a,b)x轴(a,b)y轴(a,b)y=x(b,a)y=x(b,a)x=m(m≠0)(2ma,b)y=n(n≠0)(a,2nb)4．直线关于直线的对称【考点1直线关于点的对称问题】【例1.1】（2023·高二课时练习）x+y=1关于原点对称的直线是（

）A．x−y−1=0 B．x−y+1=0 C．x+y+1=0 D．x+y−1=0【例1.2】（2023·全国·高三专题练习）直线l:4x+3y−2=0关于点A1,1对称的直线方程为（

A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0【变式1.1】（2022·高二课时练习）点P(1,2)在直线l上，直线l1与l关于点(0,1)对称，则一定在直线l1上的点为（A．(12,32) B．(−1,【变式1.2】（2022·高二课时练习）若直线l1:y=k(x−4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线lA．(0,4) B．(0,2)C．(−2,4) D．(4,−2)【考点2点关于直线的对称问题】【例2.1】（2023秋·四川遂宁·高二统考期末）已知点A与点B(2,1)关于直线x+y+2=0对称，则点A的坐标为（A．(−1,4) B．(4,5)C．(−3,−4) D．(−4,−3)【例2.2】（2022秋·高二校考课时练习）已知点A（a+2，b+2）和B（ba，b）关于直线4x+3y=11对称，则a，b的值为（）.A．a=1，b=2 B．a=4，b=2C．a=2，b=4 D．a=4，b=2【变式2.1】（2023春·湖南长沙·高三校考阶段练习）已知A−3,0，B3,0，C0,3，一束光线从点F−1,0出发经AC反射后，再经BC上点D反射，落到点E1,0A．12,52 B．32,【变式2.2】（2023春·四川资阳·高三开学考试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2+y2≤3，若将军从点AA．10−3 B．10 C．25【考点3直线关于直线的对称问题】【例3.1】（2023·全国·高三专题练习）设直线l1:x−2y−2=0与l2关于直线l:2x−y−4=0A．11x+2y−22=0 B．11x+y+22=0C．5x+y−11=0 D．10x+y−22=0【例3.2】（2023春·湖北武汉·高二校考阶段练习）如果直线y=ax+2与直线y=3x−b关于直线y=x对称，那么（

）A．a=13,b=6 B．a=13,b=−6【变式3.1】（2023·全国·高三专题练习）已知直线l1:y=ax+3与l2关于直线y=x对称，l2与l3A．−12 B．12 C．2【变式3.2】（2023·全国·高三专题练习）若两条平行直线l1：x−2y+m=0m>0与l2：2x+ny−6=0之间的距离是25，则直线l1A．x−2y−13=0 B．x−2y+2=0C．x−2y+4=0 D．x−2y−6=0模块模块四课后作业1．（2023秋·北京顺义·高二统考期末）若直线x−ay=0与直线2x+y−1=0的交点为1,y0，则实数a的值为（A．1 B．−12 C．12．（2023·全国·高三专题练习）若点P(3,1)到直线l:3x+4y+2=0的距离为（

）A．2 B．3 C．32 3．（2023春·江苏镇江·高二统考期中）已知A5,−1，B1,1，C2,3，则△ABCA．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形4．（2023秋·广东·高二统考期末）经过两条直线2x+y−8=0和x−2y+1=0的交点，且垂直于直线3x−2y+4=0的直线的方程是（

）A．2x+3y−13=0 B．2x+3y−12=0C．2x−3y=0 D．2x−3y−5=05．（2023春·河南南阳·高二校联考阶段练习）若平面内两条平行线l1：x+a−1y+2=0，l2：ax+2y+1=0间的距离为32A．2 B．－2或1 C．－1 D．－1或26．（2022·高二单元测试）直线2x+3y−6=0关于点(1,1)对称的直线方程为（

）A．3x−2y+2=0 B．2x+3y+7=0C．3x−2y−12=0 D．2x+3y−4=07．（2023秋·陕西咸阳·高三校考阶段练习）在平面直角坐标系内，一束光线从点A（1，2）出发，被直线y=x反射后到达点B（3，6），则这束光线从A到B所经过的距离为（

）A．25 B．26 C．4 8．（2022·高二课时练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为A1,1，若将军从山脚下的点B4,4处出发，河岸线所在直线l的方程为x−y+1=0，则“将军饮马”的最短总路程是（A．36 B．34 C．5 D．9．（2023秋·高二课时练习）使三条直线4x+y−4=0,mx+y=0,2x−3my−4=0不能围成三角形的实数m的值最多有几个（

）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个10．（2022·高二单元测试）若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为()A．32 B．22 C．33 D．4211．（2023·江苏·高二假期作业）分别判断下列直线l1与l(1)l1:x−y=0，(2)l1:3x−y+4=0，(3)l1:3x+4y−5=0，12．（2023·上海·高二专题练习）已知直线3x+4y−2=0与直线2x+y+2=0交于点P.(1)直线l1经过点P，且平行于直线3x−4y+5=0，求直线l(2)直线l2经过点P，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，求直线l（注：结果都写成直线方程的一般式）13．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l1：mx+y−m−2=0，l2：（1）求直线l1过的定点P，并求出直线l2的方程，使得定点P到直线l2（2）过点P引直线l分别交x，