专题03832圆柱圆锥圆台球的表面积和体积（空间几何体的体积点到平面的距离）

专题03：8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积（空间几何体的体积，点到平面的距离）重点题型解题思路培养题型一：空间几何体的体积核心技巧：求体积常见方法1、直接法（公式法）直接根据相关的体积公式计算(特别注意找几何体的体高)；2、转移法：利用祖暅原理或等积变化，把所求的几何体转化为与它等底、等高的几何体的体积（通过换顶点，使得底面积，体高都比较容易找到）；3、分割法求和法：把所求几何体分割成基本几何体的体积（不规则几何体，通过分割成若干个简单几何体求体积）；4、补形法：通过补形化归为基本几何体的体积（通过补形后，有利于求底面积和体高）；例题1．（2020·内蒙古·包头市第四中学高三期中（文））如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，､分别是､的中点.(1)求三棱锥的体积.解题思路由于由于平面，故取中点，连接，则联想：直接法，通过分析是三棱锥的体高由于底面为正方形，所以为正方形面积的，根据体积公式求解【答案】(1)解：过作底面，则且，由于底面为正方形，，正方形的面积为，，三棱锥的体积.例题2．（2022·四川南充·二模（文））如图所示，四边形为菱形，，平面平面，点是棱的中点.(1)求证：；(2)若，求三棱锥的体积.第（2）解题思路（第（1）问略）由第一问知由第一问知，目标：求三棱锥的体积由于，点到平面的距离不容易找，联想：换顶点，选择做顶点，这样到平面的距离就是，进而，从而求体积【答案】(1)证明见解析(2)(1)如图所示，设点是棱的中点，连接，由及点是棱的中点，可得，又因为平面平面，平面平面，平面，故平面，又因为平面，所以，又因为四边形为菱形，所以，而是的中位线，所以，可得，又由，且平面平面，所以平面，又因为平面，所以.(2)，由于菱形，故，故，故三角形为正三角形，且三角形为正三角形，故，由于平面，例题3．（2022·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（文））如图所示，在多面体中，矩形所在平面与直角梯形所在平面垂直，，，为的中点，且，．(1)求证：平面BCFE；(2)求多面体的体积．第（2）解题思路（第（1）问略）目标：目标：求多面体的体积，显然要分割联想：将多面体分割：连接,多面体分割为：四棱锥和三棱锥分别求四棱锥和三棱锥体积，再相加【答案】(1)证明见解析(2)(1)如图，取CF的中点H，连接EH，HG．∵H是CF的中点，G是CD的中点，∴，．又，．∴，．∴四边形AGHE是平行四边形．∴．又∵平面BCFE，平面BCFE．∴平面BCFE．(2)∵平面平面AEFD，，平面平面，∴平面AEFD,同理可得平面EFCB,∴例题4．（2022·陕西安康·二模（文））如图，四棱锥的底面为等腰梯形，，且，平面平面.(1)证明：.(2)若，为的中点，求三棱锥的体积.第（2）解题思路（第（1）问略）目标：求目标：求三棱锥的体积，而到底面的距离不容易找到联想：换顶点，通过观察已知条件，，平面平面，可考虑选当顶点，选当底面由于面积无法直接求解，而点为中点，故可转化为联想：补形，从而求解，体高为，底面积选择【答案】(1)证明见解析；(2).(1)∵平面平面，且平面平面，∴平面，∵平面，∴.(2)连接，则由题可知，，在中，由余弦定理可得，∴.在中，由余弦定理得，则，则.∵平面，∴，∴.题型二：点到平面的距离核心技巧：1、直接法：直接找到点到平面的距离（一般求点到平面距离都比较难直接寻找到这个距离）2、等体积法（常用方法）:在同一几何体中，通过更换几何体顶点和底面进行体积计算的方法.例题1．（2021·天津外国语大学附属滨海外国语学校高二阶段练习）如图，已知四棱锥中，底面是棱长为4的菱形，平面，，是中点，若为的中点.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离.第（2）解题思路1（第（1）问略）目标：目标：求点到平面的距离.联想：直接法，取中点,连接，取中点，连接由,,结合，从而证明就是点到平面的距离.第（2）解题思路2（第（1）问略）目标：目标：求点到平面的距离.联想：等体积法设E点到平面PAB的距离为h，；，利用体积相等求距离【答案】（1）证明见解析；（2）.（1）取的中点，连接，

因为H为的中点，且M为PA的中点，所以且，又且，所以且，所以四边形为平行四边形，

所以，又因为平面平面，所以平面.

（2）设E点到平面PAB的距离为h，由等体积法可得，因为平面ABCD，所以为三棱锥PABE的高，因为菱形ABCD，且，所以AB=AC，又E为BC中点，所以，所以，所以，解得故E点到平面PAB的距离为.实战演练1．（内蒙古赤峰市2022届高三第三次统一模拟考试文科数学试题）如图，三棱锥中，侧面与侧面均为边长为6的正三角形，且为的中点，为线段的一个靠近点的三等分点.(1)证明：平面；(2)求四棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析；(2).(1)由题设，连结，则△为等腰直角三角形，又△△，即△为等腰直角三角形，且为的中点，所以，，，则.，又.平面.(2)由（1）知：是底面上的高，又，为的中点，所以，则，又，，故.2．（2022·全国·江西科技学院附属中学模拟预测（文））已知四棱锥如图所示，，平面平面ABCD，点是线段SC的中点，直线平面SAD，，．(1)求证：；(2)若，，求四棱雉的体积．【答案】(1)证明见解析(2)8(1)如图所示：取SD的中点，连接GM，GA，因为为线段SC的中点，故，且；又，故，而，故，且，故四边形ABMG为平行四边形，故，因为直线平面SAD，平面SAD，故，故．(2)因为，所以．又，，故平面SAD，而平面SAD，故．又平面平面ABCD，平面平面，平面SCD，所以平面ABCD，故SD为四棱锥的高．又∵，∴，故．3．（2022·四川眉山·二模（文））如图所示，已知是边长为6的等边三角形，点M、N分别在，上，，O是线段的中点，将沿直线进行翻折，A翻折到点P，使得平面平面，如图所示.(1)求证：；(2)若，求点M到平面的距离.【答案】(1)证明见解析；(2)(1)证明：因为是边长为6的等边三角形，且，在中，可得，又因为点是线段的中点，所以，因为平面平面，且平面，平面平面，所以平面，又因为平面，所以.(2)解：由是边长为6的等边三角形，可得的高为，因为,，可得，,则的面积为，又由平面，且，所以三棱锥的体积为，在直角中，，可得，所以的面积为，设点到平面的距离为，因为，可得，解得，又由，且平面，平面，所以平面，则点到平面的距离与点到平面的距离相等，所以点到平面的距离为.4．（2022·四川·高二期末）在正方体中，，分别为棱，的中点.(1)求证：平面；(2)若正方体棱长为1，求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)(1)证明：连结.在正方体中,对角线又∵E､F分别为棱AD、AB的中点∴，∴又平面，平面，∴平面.(2).5．（2022·全国·贵阳一中二模（文））如图，已知直三棱柱中，侧面为正方形，，，，分别为，，的中点，，为线段上一动点.(1)证明：；(2)求几何体的体积.【答案】(1)见解析；(2)(1)连接，由直三棱柱，为正方形，，可得为正方形，又，分别为，的中点，，又，，面，又面，.(2)设交点为，连接，为正方形，，又，，面，又面，，可得，，.6．（2022·全国·高一单元测试）如图所示，在以、、、、、为顶点的五面体中，平面平面，，，四边形为平行四边形，且.(1)求证：；(2)若，，，求此五面体的体积.【答案】(1)证明见解析(2)(1)证明：过作交于，连接，由平面平面，平面平面，得平面，又平面，∴，∵，，，∴≌，∴，由已知得为等腰直角三角形，∴，又，，平面，∴平面，又平面，∴；(2)解：取中点，连接、，由（1）可知，，又，∴四边形为平行四边形，棱柱为斜棱柱且为此斜棱柱的直截面，在四棱锥中，由（1）知，，平面，∴.7．（2022·全国·高一单元测试）如图所示，正方体的棱长为，过顶点、、截下一个三棱锥.(1)求剩余部分的体积；(2)求三棱锥的高.【答案】(1)(2)(1)因为所以剩余部分的体积，(2)由（1）知，设三棱锥的高为，由正方体的性质可知为等边三角形，且边长为，则，所以，解得.所以三棱锥的高为8．（2022·河南·三模（文））多面体ABCDE中，与均为边长为2的等边三角形，为腰长为的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD，F为BC的中点.(1)求证：平面ECD；(2)求多面体ABCDE的体积.【答案】(1)证明见解析(2)(1)证明：因为为等腰三角形，F为BC的中点，所以AF⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD，平面平面，平面ABC.所以AF⊥平面BCD，取CD的中点G，连接EG，因为是等边三角形，所以EG⊥CD，因为平面CDE⊥平面BCD，交线为CD，且EG平面CDE，所以EG⊥平面BCD，所以，又平面ECD，平面ECD，所以平面ECD.(2)设多面体ABCDE的体积为V，则，连接DF，因为与均为边长为2的等边三角形，为腰长为的等腰三角形，所以，，所以，因为，又平面ABC，平面ABC，所以平面ABC，所以故.9．（2022·河南开封·二模（文））如图，四边形ABCD是圆柱OQ的轴截面，圆柱OQ的侧面积为，点P在圆柱OQ的底面圆周上，且是边长为的等边三角形，点G是DP的中点．(1)求证：AG⊥平面PBD；(2)求点A到平面OPG的距离．【答案】(1)证明见解析；(2).(1)因点P在圆柱OQ的底面圆周上，则，而四边形ABCD是圆柱OQ的轴截面，则有平面，平面，即有，又，平面，于是得平面，而平面，因此，，因是边长为的等边三角形，，，因圆柱OQ的侧面积为，即，则，又点G是DP的中点，则有，而，平面，所以平面.(2)由已知得，线段DP的中点G到平面距离为，于是得，由平面知，即是直角三角形，，而，则等腰底边上的高为，，设点A到平面OPG的距离为，由得：，解得，所以点A到平面OPG的距离是.10．（2021·四川·宁南中学高二阶段练习（文））如图，三棱锥中，AD⊥底面BCD，底面BCD是等边三角形，AD＝BD＝1，M为BC中点.(1)证明：平面ABC⊥平面ADM；(2)求点M到平面ABD的距离.【答案】(1)证明见解析(2)(1)证明：∵AD⊥底面BCD，∴AD⊥BC,又∵底面BCD为等边三角形，M为BC中点，∴DM⊥BC,且，平面ADM,∴BC⊥平面ADM,又平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADM；(2)设点M到平面ABD的距离为d，,由