第七章复数重点题型复习

第七章：复数重点题型复习题型一复数的概念辨析【例1】（2022·高一课时练习）若复数的实部与虚部之和为0，则b的值为（）A．2B．C．D．【答案】A【解析】由复数的实部与虚部之和为0，得，即．故选：A【变式11】（2022·高一课时练习）已知复数是虚数，则实数m的取值范围是（）A．RB．C．D．【答案】C【解析】由题意可得：，则，故实数m的取值范围是.故选：C.【变式12】（2023·高一课时练习）复数为纯虚数的充要条件是（）A．B．且C．且D．且【答案】D【解析】要使复数为纯虚数，则，若，则；若，则，所以且．故选：D．【变式13】（2023·高一课时练习）设C为复数集，R为实数集，I为虚数集，M为纯虚数集，则下列式子中不正确的是______（请填代号）．①；②；③；④．【答案】②【解析】，则①判断正确；，则②判断错误；，则③判断正确；，则④判断正确【变式14】（2023·高一单元测试）实数a分别取什么值时，复数是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数？【答案】（1）；（2）且；（3）或【解析】（1）由题意知，∴当a=5时，复数z是实数.（2）由题意知，且∴当且时，复数z是虚数.（3）由题意知，或∴当或时，复数z是纯虚数.【变式15】（2022·高一课时练习）若，且，求实数x的取值范围．【答案】【解析】由题意知，可得，解得，当时，可得，此时满足，所以实数x的取值范围.【变式16】（2022·高一课时练习）已知复数z的共轭复数，且．求z．【答案】或．【解析】设，则，依题意有，则有，即，因此，解得或，所以或．题型二复数的几何意义【例2】（2022·高一课时练习）若向量与对应的复数分别是，则向量对应的复数为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为向量与对应的复数分别是，则，所以，则向量对应的复数为，故选：.【变式21】（2022春·福建福州·高一福州黎明中学校考期末）已知复数，则复数z在复平面内对应点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】依题意，对应复平面的点是，在第一象限.故选：A【变式22】（2023·高一课时练习）两个复数，（、、、都是实数且，），对应的向量在同一直线上的充要条件是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】复数对应的向量为，复数对应的向量为，则的充要条件为.故选：D.【变式23】（2023·高一课时练习）与轴同方向的单位向量为，与轴同方向的单位向量为，它们对应的复数分别是（）A．对应实数1，对应虚数B．对应虚数i，对应虚数C．对应实数1，对应虚数D．对应实数1或－1，对应虚数或【答案】A【解析】由题意可知，所以在复平面内对应实数1，对应虚数.故选：A.【变式24】（2023·高一课时练习）在复平面上的单位圆上有三个点，，，其对应的复数为，，．若，则的面积S＝______．【答案】或【解析】由题意知，，由复数的加减法法则的几何意义及余弦定理，得，即，，即，当与反向，；当线段在的内部时，，所以的面积为或.故答案为：或.题型三复数的四则运算【例3】（2022春·广西贺州·高一平桂高中校考阶段练习）已知复数z满足，则z的实部为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，故z的实部为.故选：B.【变式31】（2022春·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习）若复数满足（i是虚数单位），则的模长等于（）A．1B．C．D．【答案】D【解析】因为所以，所以所以，故的模长为，故选：D【变式32】（2022春·广西南宁·高一校考阶段练习）复数满足，则下列说法正确的是（）A．的实部为3B．的虚部为2C．D．【答案】BD【解析】由于，可得,即选项D正确；由得的实部为3，虚部为2，故A错误，B正确；由共轭复数的定义可知，故C错误.故选：BD.【变式33】（2022春·河南·高一信阳高中校考阶段练习）若复数，则复数的模是________.【答案】【解析】由题意可得：，故.故答案为：.题型四复数的高次方计算【例4】（2022·高一课时练习）若复数为实数，则实数________．【答案】【解析】因为为实数，所以，即．【变式41】（2022·高一课时练习）若复数，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】，故复数在复平面内对应的点为，位于第一象限．故选：A【变式42】（2022·高一课时练习）的计算结果是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以．故选：B.【变式43】（2023·高一课时练习）已知复数满足且，则的值为______．【答案】【解析】设（），则，根据，得；根据，得，由解得，故.，由于；同理得.因此得【变式44】（2022·高一课时练习）计算下列各题（1）；（2）；（3）.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）原式.（2）原式.（3）.题型五复数相等及解方程【例5】（2022·高一课时练习）关于的方程有实根，求实数的值.【答案】或【解析】设方程的实根为，则原方程可变为，所以，解得或，所以实数的值为或.【变式51】（2023·高一课时练习）已知关于的实系数方程有一个模为1的虚根，则实数的值为______．【答案】【解析】因为关于的实系数一元二次方程有一个模为1的虚根，所以方程的判别式小于零，即或，由已知两根是互为共轭的虚根，设为，而由题意可知：，由根与系数的关系可得：，而，因此有，解得.或，舍去，满足题意.故答案为：.【变式52】（2023·高一课时练习）已知方程（）的两个根是，若，则p的值为______．【答案】或【解析】当时，方程的两个根是实数根，则，又，则两个实数根为异号根，则，则，则，解之得，经检验符合题意；当时，方程的两个根是虚数根，令，则又，则，则，解之得，经检验符合题意综上，p的值为或故答案为：或【变式53】（2023·高一课时练习）设复数是方程的一个根．（1）求；（2）设（其中i是虚数单位，），若的共轭复数满足，求．【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）因为，所以，所以，所以或；（2）由，可得，当时，，所以，解得，当时，，当时，.【变式54】（2022春·浙江金华·高一统考期中）已知复数是虚数单位.（1）若复数在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围；（2）若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由已知得到，因为在复平面上对应点落在第一象限，所以，解得，所以（2）因为虚数是实系数一元二次方程的根，所以是方程的另一个根，所以，所以，所以，所以，所以.【变式55】（2022春·上海长宁·高一上海市第三女子中学校考期末）关于的方程（）的两个根为，．（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的值．【答案】（1）6；（2）或【解析】（1）由得方程有一对共轭复数根，所以，所以，所以.（2）①当，即时，方程有两实数根，所以，，则，解得；②当，即时，方程有两虚数根，即，不妨设，；则解得；综上：实数的值为或．题型六与复数模有关的最值【例6】（2022春·安徽安庆·高一安庆一中校考期末）已知为虚数单位，复数满足，则的最大值为（）A．1B．C．2D．3【答案】D【解析】设，由，推出，则，于是可看成以为圆心，半径为的圆上运动，，意为A到的距离，距离最大值为3，所以.故选：D.【变式61】（2022春·北京·高一北京二中校考阶段练习）设复数，满足，，则的最大值为（）A．B．C．6D．【答案】D【解析】由题意，复数，满足，，可得在复平面内对应的点是以为圆心，以为半径的圆，复数在复平面内对应的点是以为圆心，以为半径的圆，则的几何意义是两圆上点的距离，所以的最大值为.故选：D.【变式62】（2022春·河北唐山·高一统考期中）若复数满足，则的最大值是______.【答案】3【解析】设，则，根据复数几何意义知，表示在复平面内，到的距离，则最大值为，故答案为：3【变式63】（2022春·江西新余·高一统考期末）已知复数满足（是虚数单位），则