专题09重叠问题（解析）2

20222023学年小学三年级思维拓展举一反三精编讲义专题09重叠问题知识精讲知识精讲专题简析：三（1）班准备给参加班级绘画比赛的16位同学和参加朗读比赛的12位同学每人发一份纪念品，当中队长玲玲将28份纪念品发下去时，却多出5份，这是怎么回事？对了，因为有5位同学既参加了绘画比赛，又参加了朗读比赛，所以奖品就多出了5份。数学中，我们将这样的问题称为重叠问题。解答重叠问题要用到数学中的一个重要原理——包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。解答重叠问题的应用题，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次？明确求的是哪一部分，从而找出解答方法。典例分析典例分析【典例分析01】六一儿童节，学校门口挂了一行彩旗。小张从前数起，红旗是第8面；从后数起，红旗是第10面。这行彩旗共多少面？【思路引导】根据题意，画出下图：从图上可以看出，从前数起红旗是第8面，从后数起是第10面，这样红旗就数了两次，重复了一次，所以这行彩旗共有8＋10－1=17面。【典例分析02】同学们排队做操，每行人数同样多。小明的位置从左数起是第4个，从右数起是第3个，从前数起是第5个，从后数起是第6个。做操的同学共有多少个？【思路引导】根据题意，画出下图：由图可看出：小明的位置从左数第4个，右数第3个，说明横行有4＋3－1=6个人；从前数第5个，从后数第6个，说明竖行有5＋6－1=10人，所以做操的同学共有：6×10=60人。【典例分析03】把两块一样长的木板像下图这样钉在一起成了一块木板。如果这块钉在一起的木板长120厘米，中间重叠部分是16厘米，这两块木板各长多少厘米？【思路引导】把等长的两块木板的一端钉起来，钉在一起的长度就是重叠部分，重叠的部分是16厘米，所以这两块木板的总长度是120＋16=136厘米，每块木板的长度是136÷2=68厘米。【典例分析04】一次数学测试，全班36人中，做对第一道聪明题的有21人，做对第二道聪明题的有18人，每人至少做对一道。问两道聪明题都做对的有几人？【思路引导】根据题意，画出下图：图中间重叠部分表示两道题都做对的人数，把做第一道题和做对第二道题的人数加起来得21＋18=39人，这39人比全班总人数36多出了39－36=3人，这多出的3人既在做对第一题的人数中算过，也在做对第二道题的人数中算过，即表示两道题都做对的人数。【典例分析015】三（1）班订《数学报》的有32人，订《阅读报》的有30人，两份报纸都订的有10人，全班每人至少订一种报纸。三（1）班有学生多少人？【思路引导】根据题意，画出下图：从上图可以看出，中间重叠部分表示两份报纸都订的10人，这10人既被包括在订《数学报》的32人内，又被包括在订《阅读报》的30人内，重复算了一次，所以要算出全班人数，必须从32＋30=62人中去掉被重复算过的10人。所以全班人数应是62－10=52人。真题演练真题演练一、选择题(共6题；共18分)1．（3分）把三块一样长的木板，钉在一起（如图）．每块木板的长10分米，中间钉在一起重叠的部分长2分米，你知道现在这块长木板的长是（）分米．A．30 B．28 C．26 D．22【答案】C【规范解答】解：10×3﹣2×2，=30﹣4，=26（分米）；答：现在这块长木板的长是26分米．故选：C．【思路引导】通过观察与分析，三块木板两个地方重叠，总共重叠了2×2=4分米，所以现在这块长木板的长是10×3﹣4，计算即可．此题属于重叠问题，解答的关键是正确求出重叠部分的长度，不能误认为两次重叠部分是8分米．2．（3分）有两张一样长的纸条粘贴起来，成为长30厘米的纸条，粘贴部分长10厘米，求这两张纸条各长几厘米？（）A．20 B．15 C．30【答案】A【规范解答】解：（30+10）÷2=20（厘米）；故答案应选：A．【思路引导】要求这两张纸条各长几厘米，如果粘贴的是两张纸条的宽边，粘贴部分是10厘米，粘贴后是30厘米，则原来的长度是（30+10）÷2=20（厘米）.3．（3分）有两张一样长的纸条粘贴起来，成为长30厘米的纸条，粘贴部分长10厘米，求这两张纸条各长几厘米？（）A．20 B．15【答案】A【规范解答】解：（30+10）÷2=20（厘米）；故答案应选：A．【思路引导】要求这两张纸条各长几厘米，如果粘贴的是两张纸条的宽边，粘贴部分是10厘米，粘贴后是30厘米，则原来的长度是（30+10）÷2=20（厘米）.4．（3分）六个正方形重叠（如图）连接点正好是正方形的中心．正方形边长是a，这个图形的周长是（）A．24a B．14a C．12a D．18a【答案】B【规范解答】解：3a+3a+2a×4=14a，答：这个图形的周长是14a；故选：B．【思路引导】这六个正方形重叠在一起，第一个和最后一个正方形的长度为3a+3a，中间4个正方形的长度是2a×4=8a，把这些长度加起来就是这个图形的周长．5．（3分）（2019三上·满洲里期末）三（1）班喜欢读书的有28人，喜欢运动的有31人，既喜欢读书又喜欢运动的有12人，三（1）班共有（）人．（每人至少选一项喜欢的）A．59 B．35 C．47【答案】C【规范解答】解：28+31﹣12＝59﹣12＝47（人）所以三（1）班一共有47人。故答案为：C。

【思路引导】根据“喜欢读书的有28人，喜欢运动的有31人”可得两者的总人数：28+31＝59人，这其中把两种都喜欢的人数多计算了一次，所以根据容斥原理可得三（1）班一共有：59﹣12＝47（人），据此解答即可。6．（3分）一昼夜钟面上的时针和分针重叠（）次．A．23 B．12 C．20 D．13【答案】A【规范解答】解：一昼夜时针转2圈；时针每转1圈都会被分针追上12次；去掉开始时的重叠就是23次；故答案为：A．【思路引导】因为时针和分针一小时重叠一次，在最后一次还是回到原来的位置．二、填空题(共9题；共18分)7．（2分）（2019三上·松桃期末）三（1）班期中检测，数学成绩优秀的有34人，语文成绩优秀的有37人，语文数学两科都优秀的有28人，至少一科成绩优秀的一共有人。【答案】15【规范解答】34+37－28×2

=71－56

=15（人）

故答案为：15。

【思路引导】数学成绩优秀的人数+语文成绩优秀的人数－语文数学两科都优秀的人数×2=至少一科成绩优秀的人数。8．（2分）（2020三上·勃利期末）三年级有学生100人，喜欢数学的有72人，喜欢语文的有53人．这两科都喜欢的有人．【答案】25【规范解答】解：72+53﹣100＝125﹣100＝25（人）

故答案为：25。

【思路引导】两科都喜欢人数=喜欢数学人数+喜欢语文人数三年级总人数。9．（2分）（2019三上·西湖期中）两块木板各长70厘米，如图所示，钉成一块长木板，中间重合部分是20厘米，这块钉在一起的长木板长厘米。【答案】120【规范解答】解：70+7020

=14020

=120（厘米）

所以这块钉在一起的长木板长120厘米。

故答案为：120。【思路引导】这块钉在一起的长木板的长度=一块木板的长度+另一块木板的长度中间重合部分的长度，代入数值计算即可。10．（2分）（2019三上·营山期末）同学们到动物园玩，参观熊猫馆的有25人，参观大象馆的有28人，两个馆都参观的有16人。去动物园的一共有人。【答案】37【规范解答】25+2816=37（人）

故答案为：37。

【思路引导】去动物园一共有的人数=参加熊猫馆的人数+参加大象馆的人数两个馆都参观的人数。11．（2分）（2019三上·宜昌期末）三（3）班参加书法组的有25人，参加美术组的有22人，两个组都参加的有6人。三（3）班参加书法组和美术组的一共有人。【答案】41【规范解答】25+226=41（人）。

故答案为：41.

【思路引导】参加书法组的人数+参加美术组的人数两个组都参加的人数=参加书法组和美术组的总人数。12．（2分）有10张长3厘米，宽2厘米的纸片，将它们按照下图的样子摆放在桌面上：那么，这10张纸片所盖住桌面上的面积是平方厘米．【答案】24【规范解答】解：3×2+2×（10﹣1）=6+2×9=6+18=24（平方厘米）答：这10张纸片所盖住桌面上的面积是24平方厘米．故答案为：24．【思路引导】第一张纸盖住桌子的面积是3×2=6平方厘米，第二张纸盖住的就是2×（3﹣2）=2平方厘米，第三张纸盖住的也是2×（3﹣2）=2平方厘米，以后每张纸盖住的面积都是2平方厘米，由此即可得出这10张纸所覆盖的面积为：第一张纸覆盖的面积+9个2平方厘米的面积．13．（2分）用10张同样长的纸条接成一条长31厘米的纸带，如果每个接头都重叠1厘米，那么每张纸条长厘米．【答案】4【规范解答】解：（31+9）÷10=4（厘米）．故答案为：4．【思路引导】由题意得，共有9个接头，即重叠了9次，据此可列式解答．14．（2分）六个正方形（如图）重叠，连接点正好是正方形的中点，正方形边长是a，则图的周长是．【答案】14a【规范解答】解：中间的四个正方形，只剩下两条边，它们的周长为：（6﹣2）×2a，=4×2a，=8a；两端的两个正方形的周长是：3a×2=6a．图的周长是：8a+6a=14a．故答案为：14a．【思路引导】因为重叠在中间的正方形，只剩下两条边的长度是2a，两端的剩下三条边就是3a．据此求得周长即可．15．（2分）某门诊部统计某一天挂号的病人，内科150人，外科92人，其中内、外两科都求诊的18人，这一天共来了个病人．【答案】224【规范解答】解：这一天共来的病人：150+92﹣18，=242﹣18，=224（人）；故答案为：224．【思路引导】先画出示意图，再找出重复部分（内、外两科都求诊的人数），重复了两次，来诊病人总数等于来诊内科的人数和来诊外科的人数和减去一个内、外两科都求诊的人数．三、解答题(共9题；共64分)16．（6分）学校组织文艺演出，东东的座位从左数是第6个，从右数是第4个，从前数是第5个，从后数是第5人，这个会场有多少人？【答案】解：（6+41）×（5+51）=81（人）答：会场有81人。【思路引导】会场的人数=每排的座位数×会场座位的排数。

在计算每排的座位数和会场的排数时减去1，因为数的时候数了两次。17．（6分）把2张长度都是10厘米的彩带纸重叠粘贴在一起，重叠部分长多少厘米？如果3张纸同样重叠，重叠后的彩纸一共有多长？【答案】解：10+1018=2（厘米）18+102=26（厘米）答：重叠后的彩带一共有26厘米。【思路引导】两条彩带重叠部分的长度=两张彩纸的总长度两张彩带粘贴在一起的长度；

三张彩带重叠后彩纸的总长度=两张彩带粘贴在一起的长度+彩带对长度两条彩带重叠部分的长度。18．（10分）（2019三上·南浔期末）如下图所示，把一些长8厘米的长方形纸条连接起来，每两张纸条的粘合处都是2厘米。（1）（5分）照这样连接，6张纸条连起来的长是多少厘米？（2）（5分）连接后纸条长度为62厘米时，需要多少张纸条？【答案】（1）解：82=6（厘米）8+6+6+6+6+6=38（厘米）答：6张纸条连起来的长是38厘米。（2）解：628=54（厘米）54÷6=9（张）9+1=10（张）答：需要10张纸条。【思路引导】（1）观察图可知，从第2张纸条开始，每次增加6厘米，用原来的长度+增加的长度=纸条连接起来的总长度，据此列式解答；

（2）根据题意可知，用连接后的纸条长度8=剩下的总长度，然后用剩下的总长度÷每个小长方形增加的长度=纸的张数，然后加1即可得到总张数，据此解答。19．（7分）小玲有一根长4厘米5毫米长的彩带，小兰也有一条同样长的彩带。把两根彩带用胶水粘成一条彩带后有多长？（接头处长1厘米）小玲的彩带：小兰的彩带：【答案】解：4厘米5毫米+4厘米5毫米1厘米=8厘米答：把两根彩带用胶水粘成一条彩带后有8厘米。【思路引导】小玲彩带长度+小兰彩带长度接头处长度=粘成一条彩带后的长度。毫米÷10=厘米。20．（7分）有一根绳子，连续对折3次，量得每折长4米，这根绳子长几米？【答案】解：因为将绳子连续对折3次，所以总共是8折，绳子长是：4×8=32（米）；答：这根绳子长32米．【思路引导】因为将绳子折1次是2折，折2次是4折，折3次是8折，而在此题是连续对折3次，即总共是8折，每折是4米，根据整数乘法的意义，列式解答即可．21．（7分）桌面上放有四张大小不同的正方形纸片边长分别为2，3，4，5，若分别取走边长为2，3，4，5的正方形纸片中的一个，则剩下的三张纸片覆盖的面积分别减少2，3，4，5，那么四张纸片覆盖的面积是多少？【答案】解：如图：四张纸的面积分别为4、9、16、25，每张纸片与其他纸片重叠部分的面积分别为2、6、12、20，由于2+6+12=20，所以只能前3张纸片与第四张分别重叠，没有三张重叠在一起的部分，重叠部分的面积是20，最大的正方形纸片与其他三张纸片都重叠，而其他三张纸片彼此都不重叠．也就是只存在两两重叠的情况，并且重叠的面积是20平方米．所以覆盖面积用四张正方形纸片总面积减去20平方米，所以总的覆盖面积为：4+9+16+25﹣20=34答：四张纸片覆盖的面积是34．【思路引导】通过分析可知：四张纸的面积分别为4、9、16、25，每张纸片与其他纸片重叠部分的面积分别为2、6、12、20，由于2+6+12=20，所以只能前3张纸片与第四张分别重叠，没有三张重叠在一起的部分，重叠部分的面积是20，最大的正方形纸片与其他三张纸片都重叠，而其他三张纸片彼此都不重叠．也就是只存在两两重叠的情况，并且重叠的面积是20平方米．所以覆盖面积用四张正方形纸片总面积减去20平方米，所以总的覆盖面积为4+9+16+25﹣