专题06任意角弧度制任意角三角函数同角关系诱导公式两角和与差（原卷版）

专题06任意角、弧度制、任意角三角函数、同角关系、诱导公式、两角和与差一、思维方法二、查缺补漏考点一：角的概念及其表示考点二：弧度制及其应用考点三：求三角函数值考点四：由三角函数值求参数考点五：三角函数值的符号考点六：诱导公式的应用考点七：切弦互化考点八：sinα±cosα与sinαcosα的转化考点九：同角关系式和诱导公式的综合应用考点十：和差角公式的基本应用考点十一：和差角公式的逆用及变形考点十二：和差角的变换三、真题训练2021年真题2022年真题四、热点预测单选题：共8题多选题：共4题填空题：共4题解答题：共6题【思维方法】1.确定nα，eq\f(α,n)(n∈N*)的终边位置的方法先用终边相同角的形式表示出角α的范围，再写出nα或eq\f(α,n)的范围，然后根据n的可能取值讨论确定nα或eq\f(α,n)的终边所在位置(也可采用等分象限角的方法).2.利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角：先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角.3.应用弧度制解决问题时应注意：(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.4.三角函数定义的应用(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值.(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值.5.要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解.6.诱导公式的两个应用(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.7.含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算.如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cosα.8.(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用eq\f(sinα,cosα)＝tanα可以实现角α的弦切互化.(2)形如eq\f(asinx＋bcosx,csinx＋dcosx)，asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x等类型可进行弦化切.9.注意公式的逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.10.应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二.11.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.注意角的范围对三角函数值符号的影响.12.用诱导公式求值时，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有eq\f(π,3)－α与eq\f(π,6)＋α，eq\f(π,3)＋α与eq\f(π,6)－α，eq\f(π,4)＋α与eq\f(π,4)－α等，常见的互补关系有eq\f(π,6)－θ与eq\f(5π,6)＋θ，eq\f(π,3)＋θ与eq\f(2π,3)－θ，eq\f(π,4)＋θ与eq\f(3π,4)－θ等.14.使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.15.使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.16.运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用，如tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能拓展思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力.17.求角的三角函数值的一般思路是把“所求角”用“已知角”表示.(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.18.常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝eq\f(α＋β,2)－eq\f(α－β,2)，α＝eq\f(α＋β,2)＋eq\f(α－β,2)，eq\f(α－β,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(β,2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)＋β))等.【查缺补漏】【考点一】角的概念及其表示【典例1】(多选题)已知α为第三象限角，则eq\f(α,2)的终边所在的象限可能是()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【典例2】下列与角eq\f(9π,4)的终边相同的角的表达式中正确的是()A.2kπ＋45°(k∈Z) B.k·360°＋eq\f(9π,4)(k∈Z)C.k·360°－315°(k∈Z) D.kπ＋eq\f(5π,4)(k∈Z)【典例3】终边在直线y＝eq\r(3)x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________________.【考点二】弧度制及其应用【典例1】已知扇形的圆心角是α，半径是r，弧长为l.①若α＝100°，r＝2，求扇形的面积；②若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数．【典例2】将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是()A.eq\f(π,3) B.eq\f(π,6)C．－eq\f(π,3) D．－eq\f(π,6)【典例3】若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3)C．3 D.eq\r(3)【考点三】求三角函数值【典例1】若角θ的终边经过点P(－eq\r(3)，m)(m≠0)且sinθ＝eq\f(\r(2),4)m，则cosθ的值为________．【典例2】已知角α的终边与单位圆的交点为Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，y))，则sinα·tanα等于()A.－eq\f(\r(3),3) B.±eq\f(\r(3),3) C.－eq\f(3,2) D.±eq\f(3,2)【典例3】已知角α的终边上一点P(－eq\r(3)，m)(m≠0)，且sinα＝eq\f(\r(2)m,4)，则cosα＝________，tanα＝________.【考点四】由三角函数值求参数【典例1】已知角α的终边过点P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－eq\f(4,5)，则m的值为()A.－eq\f(1,2) B.－eq\f(\r(3),2)C.eq\f(1,2) D.eq\f(\r(3),2)【考点五】三角函数值的符号【典例1】(多选题)(2021·重庆调研)已知|cosθ|＝cosθ，|tanθ|＝－tanθ，则角eq\f(θ,2)的终边可能在()A.第二、四象限 B.第一、三象限C.y轴上 D.x轴上【典例2】若sinθ·cosθ<0，eq\f(tanθ,sinθ)>0，则角θ是()A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角【典例3】已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，若A(－1，y)是角θ终边上的一点，且sinθ＝－eq\f(3\r(10),10)，则y＝________.【考点六】诱导公式的应用【典例1】化简eq\f(cos（π＋α）cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,2)－α)),cos（π－α）sin（－π－α）sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9π,2)＋α)))的结果是()A.－1 B.1 C.tanα D.－tanα【典例2】已知α为锐角，且eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3))))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))，则角α＝()A.eq\f(π,12) B.eq\f(π,6) C.eq\f(π,4) D.eq\f(π,3)【典例3】sin613°＋cos1063°＋tan(－30°)的值为________.【考点七】切弦互化【典例1】已知α是第四象限角，tanα＝－eq\f(8,15)，则sinα等于()A.eq\f(15,17) B.－eq\f(15,17) C.eq\f(8,17) D.－eq\f(8,17)【典例2】已知曲线f(x)＝eq\f(2,3)x3在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为α，则eq\f(sin2α－cos2α,2sinαcosα＋cos2α)＝()A.eq\f(1,2) B.2 C.eq\f(3,5) D.－eq\f(3,8)【考点八】sinα±cosα与sinαcosα的转化【典例1】若sinθ－cosθ＝eq\f(4,3)，且θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)π，π))，则sin(π－θ)－cos(π－θ)＝()A.－eq\f(\r(2),3) B.eq\f(\r(2),3) C.－eq\f(4,3) D.eq\f(4,3)【典例2】已知α是第四象限角，sinα＝－eq\f(12,13)，则tan(π＋α)等于()A.－eq\f(5,13) B.eq\f(5,13) C.－eq\f(12,5) D.eq\f(12,5)【典例3】(多选题)已知θ∈(0，π)，sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5)，则下列结论正确的是()A.θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)) B.cosθ＝－eq\f(3,5)C.tanθ＝－eq\f(3,4) D.sinθ－cosθ＝eq\f(7,5)【考点九】同角关系式和诱导公式的综合应用【典例1】已知α∈(0，π)，且3cos2α－8cosα＝5，则sinα＝()A.eq\f(\r(5),3) B.eq\f(2,3) C.eq\f(1,3) D.eq\f(\r(5),9)【典例2】已知taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq\f(\r(3),3)，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))＝________.【典例3】已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))＝a(|a|≤1)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋θ))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－θ))的值是________.【考点十】和差角公式的基本应用【典例1】已知cosα＝－eq\f(4,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))等于()A.－eq\f(\r(2),10) B.eq\f(\r(2),10) C.－eq\f(7\r(2),10) D.eq\f(7\r(2),10)【典例2】已知角α，β的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，若角α，β的终边分别与单位圆交于点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1，\f(1,3)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2，\f(2,3)))，其中x1<0<x2，则cos(2α－β)＝________.【典例3】已知2tanθ－taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝7，则tan2θ＝________.【考点十一】和差角公式的逆用及变形【典例1】eq\f(tan22.5°,1－tan222.5°)的值为________.【典例2】若α＋β＝－eq\f(3π,4)，则(1＋tanα)(1＋tanβ)＝________.【典例3】已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，则sin(α＋β)＝________.【考点十二】和差角的变换【典例1】已知sinα＝eq\f(2\r(5),5)，sin(β－α)＝－eq\f(\r(10),10)，α，β均为锐角，则β等于()A.eq\f(5π,12) B.eq\f(π,3) C.eq\f(π,4) D.eq\f(π,6)【典例2】已知α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))，sin(α＋β)＝－eq\f(3,5)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝eq\f(24,25)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝________.【典例3】若sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,8)))＝eq\f(1,3)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ－\f(π,4)))＝________.【真题训练】1.（2021•新高考Ⅰ）若tanθ＝﹣2，则＝（）A．﹣ B．﹣ C． D．2.（2021•甲卷）若α∈（0，），tan2α＝，则tanα＝（）A． B． C． D．3.（2022•新高考Ⅱ）若sin（α+β）+cos（α+β）＝2cos（α+）sinβ，则（）A．tan（α﹣β）＝1 B．tan（α+β）＝1 C．tan（α﹣β）＝﹣1 D．tan（α+β）＝﹣14.（2022•浙江）若3sinα﹣sinβ＝，α+β＝，则sinα＝，cos2β＝．5.（2022•上海）若tanα＝3，则tan（α+）＝．【热点预测】【单选题】1.(多选题)下列四个命题正确的是()A.－eq\f(3π,4)是第二象限角 B.eq\f(4π,3)是第三象限角C.－400°是第四象限角 D.－315°是第一象限角2.已知cosα＝eq\f(4,5)，α∈(0，π)，则tanα的值等于()A.eq\f(4,3) B.eq\f(3,4)C．－eq\f(4,3) D．－eq\f(3,4)3.已知α是第二象限角，且tanα＝－eq\f(1,3)，则sin2α＝()A.－eq\f(3\r(10),10) B.eq\f(3\r(10),10) C.－eq\f(3,5) D.eq\f(3,5)4.在平面直角坐标系中，若角α以x轴的非负半轴为始边，且终边过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，则sinα＝()A.－eq\f(\r(3),2) B.－eq\f(1,2) C.eq\f(\r(3),2) D.eq\f(1,2)5.已知tan(α－π)＝eq\f(3,4)，且α∈(eq\f(π,2)，eq\f(3π,2))，则sin(α＋eq\f(π,2))等于()A.eq\f(4,5) B．－eq\f(4,5)C.eq\f(3,5) D．－eq\f(3,5)6.已知taneq\f(α,2)＝3，则eq\f(sinα,1－cosα)＝()A.3 B.eq\f(1,3) C.－3 D.－eq\f(1,3)7.已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2017)的值为()A．－1 B．1C．3 D．－38.若角α的终边落在第三象限，则eq\f(cosα,\r(1－sin2α))＋eq\f(2sinα,\r(1－cos2α))的值为()A．3 B．－3C．1 D．－19.设θ是第三象限角，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(θ,2)))＝－coseq\f(θ,2)，则eq\f(θ,2)是()A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角10.若sinθ，cosθ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为()A．1＋eq\r(5) B．1－eq\r(5)C．1±eq\r(5) D．－1－eq\r(5)11.已知sinθ＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))＝1，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))等于()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),3) C.eq\f(2,3) D.eq\f(\r(2),2)12.(多选题)下列说法正确的是()A.时钟经过两个小时，时针转过的角度是60°B.钝角大于锐角C.三角形的内角必是第一或第二象限角D.若α是第二象限角，则eq\f(α,2)是第一或第三象限角13.(多选题)已知扇形的周长是6，面积是2，下列选项可能正确