2023年中考数学综合压轴题训练二次函数图象与坐标轴的交点问题

2023年中考数学综合压轴题训练——二次函数图象与坐标轴的交点问题一、综合题1．如图，已知抛物线经过，两点．（1）求抛物线的解析式；（2）将直线向下平移个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点，求的值．2．某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．已知跳板AB长为2米，跳板距水面CD高BC为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度4米，现以CD为横轴，CB为纵轴建立直角坐标系．（1）求这条抛物线的解析式；（2）求运动员落水点与点C的距离．3．已知抛物线y＝ax2+bx+3过A(﹣3，0)，B(1，0)两点，交y轴于点C,（1）求该抛物线的表达式.（2）设P是该抛物线上的动点，当△PAB的面积等于△ABC的面积时，求P点的坐标.4．《函数的图象与性质》拓展学习片段展示：（1）（问题）

如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x2）24经过原点O，与x轴的另一个交点为A，则a=，点A的坐标为.（2）（操作）

将图①中的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，如图②.直接写出翻折后的这部分抛物线对应的函数解析式：.（3）（探究）

在图②中，翻折后的这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成了一个“W”形状的新图象，则新图象对应的函数y随x的增大而增大时，x的取值范围是.（4）（应用）结合上面的操作与探究，继续思考：如图③，若抛物线y=（xh）24与x轴交于A，B两点（A在B左），将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，同样，也得到了一个“W”形状的新图象.

求A、B两点的坐标；（用含h的式子表示）（5）当1＜x＜2时，若新图象的函数值y随x的增大而增大，求h的取值范围.5．已知抛物线C：y＝（x﹣m）2+m+1．（1）若抛物线C的顶点在第二象限，求m的取值范围；（2）若m＝﹣2，求抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积．6．已知二次函数y＝－(a＋b)x2－2cx＋a－b，a、b、c是△ABC的三边（1）当抛物线与x轴只有一个交点时，判断△ABC是什么形状（2）当时，该函数有最大值，判断△ABC是什么形状7．已知抛物线与x轴有两个交点A和B，与y轴交于点C，顶点为点D.（1）求m的取值范围；（2）若，求m的值；（3）若，点P在抛物线上，且是直角三角形，直接写出点P的坐标.8．如图所示，抛物线的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．（1）当时，①求点A、B、C的坐标；②如果点P是抛物线上一点，点M是该抛物线对称轴上的点，当是以为斜边的等腰直角三角形时，求出点P的坐标；（2）点D是抛物线的顶点，连接、，当四边形是圆的内接四边形时，求a的值．9．如图，抛物线y＝a（x﹣）（x+3）交x轴于点A、B，交y轴于点C，tan∠CAO＝．（1）求a值；（2）点P为第一象限内抛物线上一点，点P的横坐标为t，连接PA，PC，设△PAC的面积为S，求S与t之间的关系式；（3）在（2）的条件下，点Q在第一象限内的抛物线上（点Q在点P的上方），过点P作PE⊥AB，垂足为E，点D在线段AQ上，点F在线段AO上连接ED、DF，DE交AP于点G，若∠QDF+∠QDE＝180°，∠DFA+∠AED＝90°，PG＝PE，PG：EF＝3：2，求点P的坐标．10．已知抛物线与轴的两个交点间的距离为2．（1）若此抛物线的对称轴为直线，请判断点（3，3）是否在此抛物线上？（2）若此抛物线的顶点为（S，t），请证明；（3）当时，求的取值范围11．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣6mx+9m+1（m≠0）．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）若抛物线与x轴的两个交点分别为A和B点（点A在点B的左侧），且AB＝4，求m的值．（3）已知四个点C（2，2）、D（2，0）、E（5，﹣2）、F（5，6），若抛物线与线段CD和线段EF都没有公共点，请直接写出m的取值范围．12．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线交x轴的负半轴于点A，交x轴的正半轴于点B，交y轴的正半轴于点C，且OB=2OC.（1）求点B的坐标和a的值；（2）如图1，点D，P分别在一、三象限的抛物线上，其中点P的横坐标为t，连接BP，交y轴于点E，连接CD，DE，设△CDE的面积为s，若，求点D的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，射线AE与射线FB交于点G，连接AP，若∠AGB=2∠APB，求点P的坐标.13．如图，抛物线与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2.（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由.14．已知抛物线经过两点.（1）求b的值；（2）当时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围；（3）若方程的两实根，满足，且，求P的最大值.15．综合与实践如图，抛物线与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧，与y轴交于点C，点D是抛物线上的一动点．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）如图2，当点D在第四象限时，连接和，得到，当的面积最大时，求点D的坐标；（3）点E在x轴上运动，以点B，C，D，E为顶点的四边形是平行四边形，请借助图1探究，直接写出点E的坐标．16．在平面直角坐标系Oxy中，抛物线y=x2﹣4x+k（k是常数）与x轴相交于A、B两点（B在A的右边），与y轴相交于C点．（1）求k的取值范围；（2）若△OBC是等腰直角三角形，求k的值．17．如图1，抛物线顶点坐标为点C(1，4)，交x轴于点A(3，0)，交y轴于点B.（1）求抛物线和直线AB的解析式；（2）求S△CAB；（3）设点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P，使S△PAB面积最大，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.（4）设点Q是抛物线上的一个动点，是否存在一点Q，使S△QAB＝S△CAB，若存在，直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.18．已知二次函数y＝x2﹣2bx+c的图象与x轴只有一个交点.（1）请写出b、c的关系式；（2）设直线y＝7与该抛物线的交点为A、B，求AB的长；（3）若P（a，﹣a）不在曲线y＝x2﹣2bx+c上，请求出b的取值范围.

答案解析部分1．【答案】（1）∵抛物线（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）∴将A与B两点坐标代入得：，解得：，∴抛物线的解析式是；（2）设直线OB的解析式为y=k1x，由点B（4，4），得：4=4k1，解得：k1=1∴直线OB的解析式为，∴直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为：，∵点D在抛物线上，∴可设D（，），又∵点D在直线上，∴，即，∵抛物线与直线只有一个公共点，∴△，解得：．2．【答案】（1）解：如图所示，建立平面直角坐标系，由题意可得抛物线的顶点坐标为（3，4），点A坐标为（2，3），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2＋4，将点A坐标（2，3）代入得：3＝a（2﹣3）2＋4，解得：a＝﹣1，∴这条抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3）2＋4；（2）解：∵y＝﹣（x﹣3）2＋4，∴令y＝0得：0＝﹣（x﹣3）2＋4，解得：x1＝1，x2＝5，∵起跳点A坐标为（2，3），∴x1＝1，不符合题意，∴x＝5，∴运动员落水点与点C的距离为5米．3．【答案】（1）把A与B坐标代入得：，解得：，则该抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3；（2）由抛物线解析式得：C(0，3)，∴△ABC面积为×3×4＝6，∴△PAB面积为6，即×|yP纵坐标|×4＝6，即yP纵坐标＝3或﹣3，当yP纵坐标＝3时，可得3＝﹣x2﹣2x+3，解得：x＝﹣2或x＝0(舍去)，此时P坐标为(﹣2，3)；当yP纵坐标＝﹣3时，可得﹣3＝﹣x2﹣2x+3，解得：x＝﹣1±，此时P坐标为(﹣1+，﹣3)或(﹣1﹣，﹣3).4．【答案】（1）1；（4，0）（2）y=（x2）2+4（3）或x≥4（4）解：令解得：故点的坐标为：（5）解：当时，新图象的函数值随增大而增大，则：或解得：或5．【答案】（1）解：∵抛物线的解析式为，∴抛物线的顶点坐标为（，），∵抛物线的顶点坐标在第二象限，∴，∴；（2）解：当时，抛物线解析式为，令，即，解得或，令，，∴如图所示，A（3，0），B（1，0），D（0，3），∴OD=3，AB=2，∴，∴抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积是3．6．【答案】（1）解：令y＝0，即－(a＋b)x2－2cx＋a－b＝0，∵抛物线与x轴只有一个交点，∴△＝4c2－4[－(a＋b)(a－b)]＝0，化简得：a2＋c2=b2，∴△ABC是以b为斜边的直角三角形（2）解：依题意得：x＝，∴，又，∴a2＋2c2－2b2－ab＝0，将代入a2＋2c2－2b2－ab＝0中，得a2＝b2，∵a＞0，b＞0，∴a＝b＝c，∴△ABC为等边三角形7．【答案】（1）解：抛物线与x轴有两个交点A和B，令y=0，即有两个不等实根，∴△=4+4m＞0，解得m＞1；（2）解：∵解得∴，∴点A（），B（）∵∴，∴∴；（3）点P的坐标为（2，1）或（3，2）8．【答案】（1）解：对于，令，解得或，令，则，故点、、的坐标分别为、、，当时，，顶点的坐标为．①当时，函数的表达式为，则点、、的坐标分别为、、；②过点作轴的平行线交过点与轴的平行线于点，交轴于点，设点的坐标为，，，，，，，，，则，解得或4，故点的坐标为，或；（2）解：点、的坐标分别为、，顶点的坐标为．当四边形是圆的内接四边形时，则的中点为该圆的圆心，设的中点为点，由中点坐标公式得，点，，则，即，解得．9．【答案】（1）解：∵抛物线y＝a(x﹣)(x+3)交x轴于点A、B，∴0＝a(x﹣)(x+3)∴x1＝，x2＝﹣3，∴点A(﹣3，0)，点B(，0)，∴AO＝3，∵tan∠CAO＝＝，∴CO＝4，∴点C(0，4)∴4＝a(0﹣)(0+3)，∴a＝﹣（2）解：∵y＝﹣(x﹣)(x+3)∴y＝﹣x2﹣x+4，∵点P的横坐标为t，∴点P(t，﹣t2﹣t+4)，∴S＝[4+(﹣t2﹣x+4)]•t+×3×4﹣×(t+3)(﹣t2﹣t+4)＝t2+t；（3）解：如图3，延长AQ，EP交于点H，连接GF，∵∠QDF+∠QDE＝180°，且∠QDE+∠ADE＝180°，∴∠ADE＝∠QDF，∴∠ADF＝∠QDE，∵∠DFA+∠AED＝90°，∠AED+∠DEP＝90°，∴∠AFD＝∠DEP，∴∠HAE＝∠AHE，且HE⊥AE，∴∠HAE＝∠AHE＝45°，∴AE＝EH＝t+3，∵PE＝PG，∴∠PGE＝∠PEG，∴∠PGE＝∠AFD＝∠AGD，∴点A，点D，点G，点F四点共圆，∴∠ADF＝∠AGF，∠QDE＝∠AFG，∴∠AGF＝∠AFG，∴AF＝AG，设PG＝PE＝3a，EF＝2a，∴AF＝t+3﹣2a＝AG，AP＝t+3﹣2a+3a＝t+3+a，∵AP2＝PE2+AE2，∴(t+3+a)2＝9a2+(t+3)2，∴a＝，∴3a＝∴点P(t，)∴＝﹣t2﹣t+4，∴t＝1，t＝﹣3（不合题意舍去）∴点P(1，3)10．【答案】（1）解：抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴的两个交点间的距离为2，可得抛物线与轴的两个交点为（0，0）和（2，0），所以抛物线的解析式为与当时，所以点（3，3）在此抛物线上.（2）解：抛物线的顶点为，则对称轴为直线，且抛物线与轴的两个交点间的距离为2，可得抛物线与轴的两个交点为（，0）和（，0）所以抛物线的解析式为与由得所以；（3）解：由（2）知即整理得由对称轴为直线，且二次项系数可知当时，b的随a的增大而增大当a=10时，得当a=20时，得所以当时，11．【答案】（1）解：∵y＝mx2﹣6mx+9m+1＝m（x﹣3）2+1，∴抛物线的顶点坐标为（3，1）（2）解：∵对称轴为直线x＝3，且AB＝4，∴A（1，0），B（5，0），将点A的坐标代入抛物线，可得：m＝﹣；（3）m＜﹣1或m＞12．【答案】（1）解：由，得，∵，∴，，∴，，∴，∵，∴，∴.（2）解：如图l，作于，于，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴.当时，.∴点的坐标为.（3）解：如图2，作，交轴于，过点作，交于，交AB于H，设，∴，∴，∴，∵，∴，∴，又，∴，∴，，∴，∵，，∴，，∴，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，以为斜边在轴下方作等腰直角，以为圆心，为半径作，交抛物线于，则，，点，，由，得，，令，∴，解得或（舍去），∴，∴，∴.13．【答案】（1）解：令，解得或，∴；将C点的横坐标代入，得，∴，∴直线AC的函数解析式是（2）解：设P点的横坐标为x则P、E的坐标分别为：，∵P点在E点的上方，，∴当时，PE的最大值（3）解：存在4个这样的点F，分别是F1（1，0），F2（3，0），F3（4+，0），F4（4，0），①如图，连接C与抛物线和y轴的交点，那么CG∥x轴，此时AF=CG=2，因此F点的坐标是（3，0）；②如图，AF=CG=2，A点的坐标为（1，0），因此F点的坐标为（1，0）；③如图，此时C，G两点的纵坐标互为相反数，因此G点的纵坐标为3，代入抛物线中即可得出G点的坐标为（1+，3），由于GF∥AC，因此可设直线GF的解析式为y=x+h，将G点代入后可得出直线的解析式为y=x+4+，因此直线GF与x轴的交点F的坐标为（4+，0）；④如图，同③可求出F的坐标为（4，0）.所以，符合条件的F点共有4个.14．【答案】（1）解：抛物线经过两点，此抛物线的对称轴为直线，解得；（2）解：由（1）可知，抛物线的解析式为，则当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，由对称性可知，时的函数值与的函数值相同，要使得当时，抛物线与轴有且只有一个公共点，①当这个公共点是顶点时，则关于的一元二次方程只有一个实数根，所以其根的判别式，解得；②当这个公共点不是顶点时，则当时，；当时，，即，解得，综上，的取值范围是或；（3）解：方程的两实根为，且，，即，，解得，，整理得：，则在内，随的增大而减小，所以当时，取得最大值，最大值为.15．【答案】（1）解：把代入中，得．解得，．∴点A的坐标是，点B的坐标是．把代入中，得．∴点C的坐标是（2）解：设点D的坐标是．如图，过点D作轴于点H，作轴于点G，连接．∴，．∵点B的坐标是，点C的坐标是．∴，．∵，∴化简，得．∵，∴当时，的面积最大为．∴．∴点D的坐标是．（3）解：或或或16．【答案】（1）解：依题意，（﹣4）2﹣4k＞0，解不等式得，k＜4，所以k的取值范围是k＜4（2）解：依题意，C（0，k），∴B（|k|，0），∴|k|2﹣4|k|+k=0，∴k＞0时，k2﹣3k=0，解得k=3；k＜0时，k2+5k=0，解得k=﹣5．17．【答案】（1）解：根据题意设抛物线解析式为y=a(x1)2+4.

∵抛物线与x轴交于点A（3，0），

∴0=a(31)2+4，

∴a=1，

∴y=(x1)2+4.