专题17椭圆与双曲线共焦点问题微点1椭圆与双曲线共焦点常用结论及其应用（一）（学生版）

专题17椭圆与双曲线共焦点问题微点1椭圆与双曲线共焦点常用结论及其应用（一）专题17椭圆与双曲线共焦点问题微点1椭圆与双曲线共焦点常用结论及其应用（一）【微点综述】圆锥曲线是高中数学的重要研究对象，其中具有相同焦点的椭圆与双曲线更是引人瞩目，耐人寻味．在近年高考及全国各地模拟考试中，频繁出现以共焦点的椭圆与双曲线为背景的两离心率之积与两离心率倒数之和的最值与范围问题，此类问题因涉及知识的交汇、体现综合运用能力，学生面对此类问题往往束手无策，本文介绍与此类问题有关的结论，通过具体例子说明结论的应用，供同学们复习时参考．一、常用结论【结论1】已知点是椭圆与双曲线共同的焦点，分别为的离心率，点是与的一个公共点，则．证明：由已知得消去得，又，因此．又．【结论2】已知点是椭圆与双曲线共同的焦点，分别为的离心率，点是与的一个公共点，，则．证明：由椭圆与双曲线的定义得两式分别平方再相减得．在中，由余弦定理得，，，同理可得，，．由椭圆与双曲线的焦点三角形面积公式得．【结论3】已知点是椭圆与双曲线共同的焦点，分别为的离心率，点是与的一个公共点，，则．证明：由结论2得，又．注意到．【结论4】已知点是椭圆与双曲线共同的焦点，分别为的离心率，点是与的一个公共点，则．证明：．【评注】结论4反映之间的等量关系式，等式左边是两分式之和，分母分别是，分子分别是，等式右边是与的平方和．【结论5】已知点是椭圆与双曲线共同的焦点，分别为的离心率，点是与的一个公共点，，则，即．证明：证法1：在中，由余弦定理得，即，，即，亦即．证法2：借助焦点三角形面积公式运用面积公式，设椭圆的短半轴长为，双曲线的虚半轴长为，则，，所以，，，，整理得：，即．【结论6】已知点是椭圆与双曲线共同的焦点，点是椭圆与双曲线的一个公共点，则椭圆与双曲线在点处的切线相互垂直．证明：椭圆在点处的切线方程为，该切线的斜率为，双曲线在点处的切线，该切线的斜率为，；又由结论1得，则椭圆与双曲线在点处的切线相互垂直．【结论7】若点是椭圆与双曲线的一个公共点，且它们在点处的切线相互垂直，则椭圆与双曲线有共同的焦点．证明：由已知得消去得，因此．由已知得，椭圆与双曲线有共同的焦点．二、应用举例共焦点的椭圆与双曲线问题一般有如下八类题型：（一）公共点问题；（二）公共焦点三角形问题；（三）角度问题；（四）公共点处切线有关问题；（五）求离心率的值（或取值范围）；（六）求椭圆、双曲线离心率之积的取值范围或最值问题；（七）求（为正常数）型最值问题；（八）求（为正常数）型最值问题.下面我们举例说明题型（一）至（三）及其解题方法．（一）公共点问题1．已知点，分别为椭圆的左、右焦点，椭圆与双曲线的一个交点为，为坐标原点，直线的斜率为，则___________．（二）公共焦点三角形问题2．已知椭圆与双曲线有公共焦点，是它们的一个公共点，则的面积为_________，的形状是_________．例3．（2022·上海·高三专题练习）3．已知､，设P是椭圆与双曲线的交点之一，则___________.4．椭图与双曲线有相同的焦点，，P为两曲线的一个公共点，则面积的最大值为（

）A．4 B． C．2 D．（三）角度问题5．设椭圆与双曲线有公共的焦点，，点P是与的一个公共点，则的值为（

）A． B． C． D．例6．（2022浙江嘉兴市·高二月考）6．设椭圆与双曲线有公共焦点，，是两条曲线的一个公共点，则等于__________．【强化训练】一、单选题（2023·全国·高三专题练习）7．已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（

）A． B．C． D．（2022·广东·惠来县第一中学高二月考）8．已知椭圆与双曲线共焦点，设它们在第一象限的交点为，且，则双曲线的渐近线方程为（

）A． B．C． D．9．若椭圆和双曲线有相同的焦点、，P是两条曲线的一个交点，则的面积是A． B． C． D．（2022·全国·高三专题练习（文））10．已知双曲线与共焦点，则的渐近线方程为（

）A． B．C． D．（2022·四川·阆中中学高二月考（文））11．设椭圆和双曲线的公共焦点为，，是两曲线的一个交点，则的值为（

）A． B．C． D．（2022·福建省同安第一中学高二月考）12．已知双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点.则C的方程为（

）A． B．C． D．（2022河北·沧州市一中高二月考）13．若，是椭圆：与双曲线：的公共焦点，且P是与一个交点，则（

）A． B． C． D．（2022广东·石门中学高二月考）14．已知双曲线C：=1(a>0，b>0)的离心率为，且与椭圆有公共焦点，则双曲线C的方程为（）A．=1 B．=1 C．=1 D．=1二、多选题（2022江苏·高二专题练习）15．若双曲线与椭圆有相同的左右焦点，，且，在第一象限相交于点，则（

）A． B．的渐近线方程为C．直线与有两个公共点 D．的面积为（2022·全国·高三专题练习）16．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，点P为椭圆与双曲线的一个公共点，椭圆与双曲线的离心率分别为，下列说法中正确的有（

）A．若a＝2，b＝，且，则B．若a＝2，b＝，且，则C．若a＝5，m＝，则D．若，且，则三、填空题（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）17．与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线方程为______．18．已知椭圆与双曲线有公共的焦点，，若为两曲线的一个交点，则______.19．已知有相同焦点、的椭圆和双曲线，点P是它们的一个交点，则面积的大小是________．（2016·上海市延安中学三模（文））20．已知椭圆与双曲线有公共焦点，两曲线在第一象限交于点，是的角平分线，为坐标原点，垂直射线于点，若，则_________．21．已知椭圆与双曲线有公共焦点，点是两曲线的一个交点，若，则的值为_____________.（2022宁夏中卫·三模（理））2