2023年秋《直线与圆的位置关系》教学设计

高中数学精编资源1/16《直线与圆的位置关系》教学设计必备知识学科能力学科素养高考考向圆的方程学习理解能力观察记忆概括理解说明论证应用实践能力分析计算推测解释简单问题解决迁移创新能力综合问题解决猜想探究发现创新数学抽象直观想象数学运算【考查内容】掌握圆的标准方程和一般方程.掌握直线与圆、圆与圆的位置关系的判断方法,能利用直线和圆的位置关系解决相关问题.【考查题型】填空题、选择题、解答题直线与圆的位置关系数学抽象直观想象数学运算逻辑推理数学建模圆与圆的位置关系数学抽象直观想象数学运算逻辑推理数学建模一、本章内容分析圆是最简单的曲线之一,这节教材安排在学习了直线之后,在学习三大圆锥曲线之前,旨在熟悉曲线和方程的理论,为后继学习做好准备.同时有关圆的问题,特别是直线与圆的位置问题,也是解析几何中的基本问题,这些问题的解决为圆锥曲线问题的解决提供了基本的思想方法.因此教学中应加强练习,使学生确实掌握这节的知识和方法.在学习中使学生进一步体会数形结合的思想,形成用代数方法解决几何问题的能力,是进一步学习圆锥曲线的基础.对于知识的后续学习,具有相当重要的意义.另外,本部分的学习是通过由特殊到一般逐步展开的,可以进一步发展学生观察、归纳、类比、概括等能力,发展有条理的思考及灵活处理问题的能力.本章包含的核心知识和体现的核心素养如下:核心知识1.圆的方程2.直线与圆的位置关系3.圆与圆的位置关系直观想象数学抽象逻辑推理数学运算数学建模核心素养二、学情整体分析圆是学生比较熟悉的曲线,初中平面几何对圆的基本性质作了比较系统的研究,本节之前又学习了建立直角坐标系求直线方程的方法,这些都为本节课的学习奠定了必要的基础.高一时,学生对高中数学学习的基本方法也有了一定的体验和了解,具备了初步的观察、类比、归纳、概括、表达能力.通过五种直线方程的学习,对坐标系下建立方程进行了反复训练,这些都为本节课的学习做了能力和方法上的准备.当然,由于学生对建系求方程的方法以及圆的标准方程认识还不深刻,在探究知识的形成与方程的运用时可能会遇到一些困难,在教学中一定要关注学生反馈的信息,循序渐进地开展教学.学情补充:_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________三、教学活动准备【任务专题设计】1.圆的标准方程2.圆的一般方程3.直线与圆的位置关系4.圆与圆的位置关系【教学目标设计】1.运用待定系数法求圆的方程.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.3.学生在探索圆和圆的位置关系的过程中,学会运用数形结合的思想解决问题.【教学策略设计】新课程下的教学,力求知识的形成过程,为克服课堂时间不足,需要学生做好课前预习.在老师的引导下,学生已经具备一定探究与研究问题的能力,所以在设计问题时应考虑周全和灵活性,采用启发式、探究式教学,师生共同探讨,共同研究,让学生积极思考,主动学习.在教学过程中采用讨论法,向学生提供具备启发性和思考性的问题.因此,要求学生在课上讨论,提高学生的探索、推理、想象、分析和总结归纳等方面的能力.使学生在问题的指引下、教师的指导下把探究活动层层展开、步步深入,力求体现以教师为主导,以学生为主体的指导思想.【教学方法建议】探究教学法、问题教学法,还有__________________________________________________【教学重点难点】重点:1.会求圆的一般方程和圆的标准方程.2.能应用配方法将圆的一般方程化为圆的标准方程.3.会用直线与圆的位置关系的代数判别法和几何判别法判断直线与圆的位置关系.4.探索圆和圆的位置关系中两圆圆心距与两圆半径的数量关系.难点:1.会根据不同的已知条件求圆的标准方程和圆的一般方程.2.对待定系数法求圆的方程及对坐标法思想的理解.3.用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.4.通过平移实验直观地探索圆和圆的位置关系,发展学生的识图能力和动手操作能力.【教学材料准备】1.常规材料:多媒体课件、________________________________________________2.其他材料:_____________________________________________________________四、教学活动设计教学导入师:我们在前面学过点和圆的位置关系,请大家回忆它们的位置关系有哪些?生:圆是平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.即圆上的点到圆心的距离等于半径;圆的内部的点到圆心的距离小于半径;圆的外部的点到圆心的距离大于半径.因此点和圆的位置关系有三种,即点在圆上、点在圆内和点在圆外.也可以把点与圆心的距离和半径作比较,若距离大于半径在圆外,等于半径在圆上,小于半径在圆内.师:本节课我们将类比学习直线和圆的位置关系.【设计意图】通过回顾旧知,加强学生对新知和旧知的联系,便于利用旧知来学习新知.教学精讲探究1直线与圆的位置关系师:点到直线的距离的定义是什么?生:从已知点向已知直线作垂线,已知点与垂足之间的线段的长度叫做这个点到这条直线的距离.【教师在黑板上尺规作图】师:如图,C为直线AB外一点,过点C向AB引垂线,D为垂足,则线段CD即为点C到直线AB的距离.师:同学们也许看过海上日出,如果我们把太阳看作一个圆,海平面看成一条直线,那么太阳在升起的过程中,它和海平面有几种位置关系呢?【学生动手探究,回答问题】生:有三种位置关系.师:我们分别作出圆心到直线的距离d.【教师黑板作图】【以学论教】通过具体的情境,帮助学生回顾初中几何中学习过的直线与圆的位置关系,同时提出运用方程思想解决问题的方法.师:它们分别是直线与圆相交、相切、相离.(1)当直线与圆相切时(即直线和圆有唯一公共点),这条直线叫做圆的切线!(2)当直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交.(3)当直线与圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.师:你能总结从直线与圆有公共点的个数可以断定是哪一种位置关系吗?生:(1)当直线与圆有唯一公共点时,直线与圆相切.(2)当直线与圆有两个公共点时,直线与圆相交.(3)当直线与圆没有公共点时,直线与圆相离.师:能否根据点和圆的位置关系,点到圆心的距离d和半径r作比较,类似地推导出点到直线的距离d和半径r大小的关系来确定直线与圆的三种位置关系呢?生:如图(1)(2)(3),圆心O到直线l的距离为d,圆的半径为r,当直线与圆相交时,d<r;当直线与圆相切时,d=r;当直线与圆相离时,d>r.因此可以用d与r间的大小关系断定直线与圆的位置关系.师:由此可知,判断直线与圆的位置关系有两种方法:(1)从直线与圆的公共点的个数来断定;(2)用d与r的大小关系来断定.【活动学习】学生经过动手操作,能够直观地提炼出基本概念,并能够用自己的语言叙述,很好地锻炼了学生的空间观念和形象思维能力.【要点知识】直线与圆的位置关系1.从公共点的个数来判断(1)直线与圆有两个公共点时,直线与圆相交;(2)直线与圆有唯一公共点时,直线与圆相切;(3)直线与圆没有公共点时,直线与圆相离.2.从点到直线的距离d与半径r的大小关系来判断(1)d<r时,直线与圆相交;(2)d=r时,直线与圆相切;(3)d>r时,直线与圆相离.【概括理解能力】学生经历观察具体的图形,类比“点到圆的位置关系”得到的方法,寻找到距离和半径之间的关系,培养学生发现规律,寻求方法,总结结论的思维路线,经历知识形成的全过程,使学生真正理解自己总结出来的知识,从而达到形成技能的目的.师:上述两种判断方法的解题步骤分别是什么?【方法策略】代数法1.将直线方程与圆方程联立成方程组.2.通过消元,得到一个一元二次方程.3.求出其判别式∆的值.4.比较∆与0的大小关系(1)若∆>0,则直线与圆相交;(2)若∆=0,则直线与圆相切;(3)若∆<0,则直线与圆相离.几何法1.把直线方程化为一般式,并求出圆心坐标和半径r.2.利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离d.3.比较d与r的大小关系(1)若d>r,则直线与圆相离;(2)若d=r,则直线与圆相切;(3)若d<r,则直线与圆相交.【概括理解能力】通过探究总结出具体的解题步骤,帮助学生更好地记忆和理解,提升概括理解能力.师:下面我们来看例题.【典型例题】判断直线与圆的位置关系例1已知直线和圆心为的圆,判断直线与圆的位置关系.师:首先我们用代数法做一下这道题.【典例解析】代数法解法1:消去,得,因为,所以,直线与圆相交,有两个公共点.师:我们再用几何法来解一下这道题.【典例解析】几何法解法2:圆可化为,圆心的坐标为,半径.点到直线的距离.因为,所以,直线与圆相交,有两个公共点.【分析计算能力】通过例题培养学生运用新知识解决问题的能力,巩固结论,加强思维意识的训练.师:比较两种解法,我们可以看出,几何法判断要比代数法判断快得多,但是若要求交点,仍需联立方程组求解.请看例2.【典型例题】判断直线与圆公共点的个数例2已知直线方程,圆的方程.当为何值时,直线与圆:(1)有两个公共点?(2)只有一个公共点?(3)没有公共点?师分析:可联立方程组,由方程组解的个数判断,也可求出圆心到直线的距离,通过与半径比较大小判断.【教师提供思路,学生分组独立解题,教师总结】生解:(代数法)将直线代入圆的方程,化简、整理,得.∵,∴当,即或时,直线与圆相交,即直线与圆有两个公共点;当,即或时,直线与圆相切,即直线与圆只有一个公共点;当,即时,直线与圆相离,即直线与圆没有公共点.(几何法)已知圆的方程可化为,即圆心为,半径.圆心到直线的距离.当,即或时,直线与圆相交,即直线与圆有两个公共点;当,即或时,直线与圆相切,即直线与圆只有一个公共点;当,即时,直线与圆相离,即直线与圆没有公共点.师:从上面的例题我们可以发现直线与圆的位置关系反映在三个方面:一是点到直线的距离与半径大小的关系;二是直线与圆的公共点的个数;三是两方程组成的方程组解的个数.因此,若给出图形,可根据公共点的个数判断;若给出直线与圆的方程,可选择用几何法或代数法,几何法计算量小,代数法可一同求出交点.解题时可根据条件作出恰当的选择.【先学后教】通过典例解析,帮助学生进一步熟悉两种基本方法,判断直线与圆的位置关系.发展学生数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养.探究2求直线与圆相交时的弦长师:我们已经知道判断直线与圆的位置关系有两种方法,当直线与圆相交时,我们如何求相交弦的弦长呢?我们一起来探究下面的例题.【典型例题】求直线与圆相交时的弦长例3求直线被圆截得的弦长.师:我们动手画出图形,初中我们学过垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧,思考一下,我们如何利用图形来求弦长呢?生:利用垂径定理构造直角三角形,所以过圆心作弦的垂线.师:我们考虑一下可以有几种方法求出弦长.【学生动手实践,分组讨论,每组选一位代表发言】生:解法1求出直线与圆的交点坐标,解法2利用弦长公式,解法3利用几何法作出直角三角形,三种解法都可求得弦长.生1:(解法1)由得交点,故弦的长为.生2:(解法2)由消去,得.设两交点的坐标分别为,则由根与系数的关系,得.即弦的长为.生3:(解法三)圆可化为,其圆心坐标,半径,点到直线的距离为,所以半弦长为,所以弦长.【简单问题解决能力】本题是学生形成技巧、技能,发展思维的重要题型,体现数形结合思想的运用,深化对直线与圆相交的理解和运用,提升简单问题解决能力.【活动学习】通过学生分组讨论,动手实践,利用3种不同的方法求解直线与圆相交时的弦长,在活动学习中掌握解题方法.师:我们根据上面的例题总结求直线与圆相交时弦长的两种方法.【方法策略】求直线与圆相交时弦长的两种方法1.几何法:如图(1),直线与圆交于两点,设弦心距为,圆的半径为,弦长为,则有,即.2.代数法:如图(2)所示,将直线方程与圆的方程联立,设直线与圆的两交点分别是,则(直线的斜率存在).【概括理解能力】帮助学生提炼本节课的重点内容,让学生体会几何法和代数法的简便性,同时让学生初步掌握设而不求的数学思想.师:下面我们求解直线与圆相交,已知弦长,求直线方程的题目.【典型例题】与弦长有关的逆向问题例4已知过点的直线被圆所截得的弦长为,求直线的方程.【学生自主解题,教师讲授】师解:将圆的方程写成标准形式,得所以,圆心的坐标是,半径.如图,因为直线被圆截得的弦长为,所以弦心距为即圆心到所求直线的距离为.因为直线过点,所以可设所求直线的方程为,即.根据点到直线的距离公式,得到圆心到直线的距离.因此,,即,两边平方,并整理得到,解得,或.所以,所求直线有两条,它们的方程分别为,或.即,或.【以学定教】解决了直线与圆相交时的弦长问题,教师根据学生课堂学习效果,讲授例4的解题过程,煅炼学生举一反三的思维.【先学后教】通过例4巩固本节所学知识,通过学生解决问题,强化直线与圆相交的几何法解题,发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养.探究3求圆的切线方程师:在直线与圆的位置关系中,直线与圆相切也是非常重要的.我们考虑一下,过圆上一点可以作几条直线和圆相切?过圆外一点可以作几条直线和圆相切?生:过圆上一点可以作一条直线和圆相切,过圆外一点可以作两条直线和圆相切.师:在求圆的切线方程时,我们利用点与圆的关系先判断这个点在圆外还是圆上.然后利用直线与圆相切的几何法求切线方程.我们来看下面的例题.【典型例题】圆的切线方程的应用例5圆在点处的切线方程为()A.B.C.D.师:解决本题我们关键是要找出切线的斜率.【学生动手实践,教师选一位学生黑板书写解题过程,教师总结】生解∵圆的圆心为,点是圆上的点,∴圆的切线经过点,则必定.∵的斜率,∴切线的斜率,可得切线方程为,化简得.所以选项是正确的.【活动学习】学生思考交流,提出解题的方法,回想直线方程的求法,先验证点与圆的位置关系,再利用几何性质解题.利用数形结合解题,有时非常方便直观.师:这道题由于切点在圆上.所以我们可以利用过圆心和切点的直线与切线垂直来求切线的斜率,那么过圆外一点作圆的切线如何求切线方程呢?我们看下面的例题.【典型例题】求圆的切线方程例6过点作圆的切线,求此切线的方程.师分析:利用圆心到切线的距离等于圆的半径求出切线斜率,进而求出切线方程.【教师在黑板上给出讲解】师解:因为,所以点在圆外.(1)若所求切线的斜率存在,设切线斜率为,则切线方程为.因为圆心到切线的距离等于半径,半径为1,所以,即,所以,解得.所以切线方程为,即.(2)若直线斜率不存在,圆心到直线的距离也为1,这时直线与圆也相切,所以另一条切线方程是.综上,所求切线方程为或.【分析计算能力】进一步熟悉直线与圆的位置关系.通过例6练习,使学生掌握待定系数法求解切线方程的步骤.培养学生运用知识的能力.【意义学习】通过对圆的切线方程的知识的理解,学会相关题目的解题思路,巩固所学知识,体现意义学习.师:下面我们进行一下巩固练习.【巩固练习】求圆的切线方程过点作圆的切线,求此切线方程.生解:容易判断点在圆外,设切线的方程为,即.又圆的圆心为,半径为2,所以,解得,所以所求切线方程为.师:通过上面几道题,我们总结一下圆的切线方程的求法.【方法策略】圆的切线方程的求解方法1.求过圆上一点的圆的切线方程:先求切点与圆心连线的斜率,则由垂直关系,切线斜率为,由点斜式方程可求得切线方程.若或斜率不存在,则由图形可直接得切线方程为或.2.求过圆外一点的圆的切线时,常用几何方法求解.设切线方程为,即,由圆心到直线的距离等于半径,可求得,进而切线方程可求出.但要注意,此时的切线有两条,若求出的值只有一个时,则另一条切线的斜率一定不存在,可通过数形结合求出.【概括理解能力】对圆的切线方程的求法进行了说明和总结.并与“直线与圆”联系起来,而且同时又渗透了数形结合的思想.让学生通过具体的练习,通过自主的思考、研究,来体会数学思想对我们解题和研究的作用.提升概括理解能力.师:下面请看例7.【典型例题】求圆的切线方程例7过点作圆的切线,求切线的方程.师分析:如图,容易知道,点位于圆外,经过圆外一点有两条直线与这个圆相切.我们设切线方程为为斜率,由直线与圆相切可求出的值.生:(解法1)设切线的斜率为,则切线的方程为2),即.由圆心到切线的距离等于圆的半径1,得 解得或.因此,所求切线的方程为或.生:(解法2)设切线的斜率为,则切线的方程为.因为直线与圆相切,所以方程组只有一组解.消元,得,①因为方程①只有一个解,所以 解得或.所以,所求切线的方程为或.【分析计算能力】求圆的切线方程问题是直线与圆的位置关系的重点,分清点与圆的位置,然后采用数形结合的思想方法.提升分析计算能力.探究4利用坐标法解决几何问题的实际实用师:现在我们通过几个例子说明直线与圆的方程在实际生活以及平面几何中的应用.用综合法解决下面的问题比较麻烦,我们采用坐标法.【典型例题】直线与圆位置关系的实际应用例8如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.这个圆的圆拱跨度,拱高,建造时每间隔需要用一根支柱支撑,求支柱的高度(精确到).【教师分析解题思路,学生独立解题】师分析:先是建立直角坐标系,把实际问题转化为数学问题——求出圆拱形桥所在的圆的方程;然后解决这个数学问题——利用圆的方程求出点的纵坐标,从而求出线段的长;最后解释它的实际意义——圆拱形桥上支柱的高.这也正是用坐标法解决问题的基本过程.生解:建立如图所示的直角坐标系,使圆心在轴上.由题意设圆心的坐标是,圆的半径是,那么圆的方程是.下面确定和的值.因为两点都在圆上,所以它们的坐标都满足方程.于是,得到方程组 解得 所以,圆的方程是 把点的横坐标代入圆的方程,得 即的纵坐标,平方根取正值).所以 答:支柱的高度约为.【先学后教】分析例8并展示解题过程,启发学生利用坐标法求解,指导学生从直观认识过渡到数学思想方法的选择.【简单问题解决能力】引导学生建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示相应的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题巩固“坐标法”,培养学生分析问题与解决问题的能力.【典型例题】直线与圆位置关系的实际应用例9一个小岛的周围有环岛暗礁,暗礁分布在以小岛中心为圆心,半径为的圆形区域内,已知小岛中心位于轮船正西处,港口位于小岛中心正北处.如果轮船沿直线返港,那么它是否会有触礁危险?【教师分析,学生解题】师分析:先画出示意图,了解小岛中心、轮船、港口的方位和距离,根据题意,建立适当的平面直角坐标系,求出暗礁所在区域的边缘圆的方程,以及轮船返港直线的方程,利用方程判断直线与圆的位置关系,进而确定轮船是否有触礁危险.生解:以小岛的中心为原点,东西方向为轴,建立如图所示的直角坐标系.为了运算的简便,我们取为单位长度,则港口所在位置的坐标为,轮船所在位置的坐标为.这样,受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为轮船航线所在直线的方程为即联立直线与圆的方程,得消去,得.由,可知方程组无解.所以直线与圆相离,轮船沿直线返港不会有触礁危险.【自主学习】通过教师提示解题思路,学生自主解决问题,在解题过程中锻炼思维拓展,加深对方法的理解.师:用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几何元素:点、直线、圆,将几何问题转化为代数问题;然后通过代数运算解决代数问题;最后解释代数运算结果的几何含义,得到几何问题的结论.【归纳总结】坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题;第二步:通过代数运算,解决代数问题;第三步:把代数运算结果“翻译”成几何结论.关键点:几何问题“代数化”.【概括理解能力】使学生熟悉平面几何问题与代数问题的转化,加深对“坐标法”的解题步骤的理解,提升概括理解能力.【课堂小结】直线与圆的位置关系1.直线与圆的三种位置关系(1)从公共点数来判断.(2)从与间的数量关系来判断.2.求直线与圆相交时的弦长.3.求过圆外一点和过圆上一点的圆的切线方程.4.利用坐标法解决几何问题的实际应用.【设计意图】对知识进行归纳概括,重点掌握直线与圆的位置关系,体会利用“坐标法”解决几何问题的应用.教学评价本讲所涉及的知识都是平面解析几何中最基础的内容.它们渗透到平面解析几何的各个部分,正是它们构成了解析几何问题的基础,又是解决这些问题的重要工具之一.本部分具体知识如下:(1)解答有关圆的问题时,应注意利用圆的平面几何性质,如圆与直线相切、相交的性质,圆与圆相切的性质,这样可以使问题简化;(2)要注意学习如何借助于坐标系,用代数方法来研究几何问题,体会这种数形结合的思想.【设计意图】在解决与圆有关的问题时,要充分利用圆的特殊几何性质,这样会使问题简单化.同时数形结合、分类讨论、函数与方程的思想在解决圆的有关问题时经常运用,应熟练掌握.应用所学知识,完成下面各题:1.已知的三个顶点坐标分别是,求外接圆的方程.解析:本题主要考查圆的方程求法.求圆的方程,常用待定系数法,根据条件设出标准方程或一般方程.有时利用几何特征,解答更为简便.解法一:设所求圆的方程是.①因为都在圆上,所以它们的坐标都满足方程①,于是可解得所以的外接圆的方程是.解法二:因为外接圆的圆心既在的垂直平分线上,也在的垂直平分线上,所以先求的垂直平分线方程,求得的交点坐标就是圆心坐标.∵,线段的中点为,线段的中点为,∴的垂直平分线方程为,①的垂直平分线方程为.②解由①②联立的方程组可得外接圆的圆心为,半径.故外接圆的方程是.【意义学习】通过习题巩固学习效果,同时回顾了已有的相关知识和方法,链接了本章的重点和难点,符合学生学习上的认知规律.【分析计算能力】解决直线与圆的计算问题,要尽量充分地利用平面几何中圆的性质,利用几何法解题要比代数法解题来得简捷.2.一圆与轴相切,圆心在直线上,且直线截圆所得弦长为,求此圆的方程.思路:利用圆的性质:半弦、半径和弦心距构成的直角三角形.在解决求圆的方程这类问题时,应当注意以下几点:(1)确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程;(2)根据几何关系(如本例的相切、弦长等)建立方程求得或待定系数法的应用,解答中要尽量减少未知量的个数.解析:因圆与轴相切,且圆心在直线上,故设圆方程为.又因为直线截圆所得弦长为,则有,解得.故所求圆的方程为或3.已知两圆.(1)取何值时两圆外切?(2)取何值时两圆内切?(3)当时,求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.思路:判断两圆的位置关系时常用几何法,即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系.而两圆公共弦所在直线