数学-湖南师大附中2024-2025学年度高一第一学期期中考试试题和答案

湖南师大附中2024—2025学年度高一第一学期期中考试A.2.若集合M={(x-y,x+y)y=2x}，则()C.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知函数f(x)的定义域是[-1,4]，则函数的定义域是()C.A.6.已知f(x)=2x2-ixi+1,a=flog,b=f,c=f则下列不等式成立的是()7.已知函数f(x)对任意x1,x2∈R，总有(x1-x2)f(x1)-f(x2)>0.若存在x∈(a-1,a)使得不等式f(3a-x)≤f(x+a2)成立，则实数a的取值范围是()A.A.4B.5C.7D.89.已知甲、乙两城相距80km，两个旅行者分别骑自行车和摩托车从甲城到乙城，他们所行驶的路程和时间的函数关系如图所示，有人根据此图，提出了如下观点，其中正确的观点有()A.骑自行车者和骑摩托车者都是变速运动B.骑自行车者比骑摩托车者早出发3h，晚到1hC.骑摩托车者在出发1.5h后追上了骑自行车者D.骑摩托车者在出发1.5h后与骑自行车者速度一样10.已知幂函数f(x)=(m-1)xa的图象经过点下列结论正确的有()B.f(0)=0C.f(x)是偶函数D.若f，则x∈B.f(x)为奇函数C.x12，都有f(x1)>f(x2)D.1图象所有交点的横坐标之和为412.eln5-log23.log34+lg200+lg5=.13.已知两个正实数x,y，满足x+y=1，且不等式≤m2-2m有解，则实数m的取值范围是xy.14.已知函数f(x)为[-1,1]上的奇函数，函数g(x)=x2-4x+3，若g(f(x))在[-1,1]上的值域为15.已知函数f(x)=x2-bx+b-1,b∈R.（2）设N={x∣x∈ðRM,x∈Z}，若N中恰好有2个元素，求实数b的取值范围.16.已知函数f是定义在区间(-2,2)上的奇函数（1）求a,b；（2）判断f(x)在区间(-2,2)上的单调性，并用定义证明；（3）解关于t的不等式f(t-1)+f(t)<0.（1）当a=1时，求f(x)在区间[1,+∞)上的最小值；（2）若x1f(x2)=g(x1)，求实数a的取值范围.18.对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度（含污物体的清洁度定义为：污物质量1-）为0.8.要求洗完后的清洁度是0.99.有两种方案可供选择，方案甲：一次清洗；物体质量(含污物)方案乙：分两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为a(1≤a≤3).设用x单位质量的水初次清洗后的清洁度是单位质量的水第二次清洗后的清洁度是其中c(0.8<c<0.99)是该物体初次清洗（1）分别求出方案甲以及c=0.95时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少；（2）若采用方案乙，当a为某固定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最小？19.我们知道，奇函数的图象关于原点对称.类比奇函数的定义，我们可以定义中心对称函数：设函数y=f(x)的定义域为D，若对x∈D，都有f(2m-x)+f(x)=2n，则称函数f(x)为中心对称函数，其中(m,n)为函数f(x)的对称中心.比如，函数y=1就是中心对称函数，其对称中心为(0,1).且中心对称函数具有如下性质：若(m,n)为函数f(x)的对称中心，则函数y=f(x+m)-n为奇函数.（1）已知定义在R上的函数f(x)的图象关于点(1,2)中心对称，且当x>1时，f(x)=x(x+1)，求f(0),f(1)的值.（2）已知函数为中心对称函数，有唯一的对称中心，请写出对称中心并证明；为中心对称函数.湖南师大附中2024—2025学年度高一第一学期期中考试A.【答案】C【解析】【分析】求出A∩B，再根据补集的含义即可得到答案.由图知阴影部分表示的A∩B在A中的补集，故选：C.2.若集合M={(x-y,x+y)y=2x}，则()C.【答案】B【解析】【分析】分别计算出每项中x、y的对应的值后，检验其是否符合y=2x即可得解.故选：B.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】分别得出2a=2b及a2=b2时的a与b的关系，结合充分条件与必要条件定义即可判断.【详解】由函数y=2x在R上单调递增，故当2a=2b时，有a=b，若a22，则a故“2a=2b”是“a2=b2”的充分不必要条件.故选：A.4.已知函数f(x)的定义域是[-1,4]，则函数的定义域是()C.【答案】D【解析】【分析】根据抽象函数定义域和被开方数大于等于0以及分母不等于0得到不等式组，解出即可.故选：D.A.【答案】D【解析】【分析】由题意可得函数f(x)在R上单调递增，结合二次函数、反比例函数的单调性可得不等式组l解出即可得.l【详解】由对任意x1≠x2，都有故函数f(x)在R上单调递增，故选：D.6.已知f=2x2-+1,a=f,b=f,c=f(log32)，则下列不等式成立的是()【答案】A【解析】【分析】结合偶函数定义与二次函数单调性，可得f(x)为偶函数及其单调性，则可结合<log32<1，a=flog2),=f(log23)，log23>从而得解.【详解】f(x)定义域为R，有f(-x)=2(-x)2--x+1=2x2-x+1=f(x)，故f(x)为偶函数，则a=f(|(log2),=f(-log23)=f(log23)，由log23=log232=log29>log28=，32故选：A.7.已知函数f(x)对任意x1,x2∈R，总有(x1-x2)f(x1)-f(x2)>0.若存在x∈(a-1,a)使得不等式f(3a-x)≤f(x+a2)成立，则实数a的取值范围是()A.【答案】C【解析】【分析】由题意可得函数f(x)在R上单调递增，即可得存在x∈(a-1,a)，使得2x+a2-3a≥0成立，即有2a+a2-3a>0恒成立，解出即可得.【详解】由函数f(x)对任意x1,x2∈R，总有(x1-x2)f(x1)-f(x2)>0，故f(x)在R上单调递增， 故选：C.A.4B.5C.7D.8【答案】C【解析】【分析】根据题意，用列举法一一验证即可.若f(1)=1，得ff(1)=f(1)，所以f(1)=3，矛盾.若f(1)=3，得ff(1)=f(3)，所以f(3)=3，这与f(x)是(0,+∞)上的增函数矛盾.所以ff(1)=f(2)，得f(2)=3；所以ff(2)=f(3)，得f(3)=6；所以ff(3)=f(6)，得f(6)=9.因为f(3)<f(4)<f(5)<f(6)，且f(4)，f(5)∈N*，故选：C.9.已知甲、乙两城相距80km，两个旅行者分别骑自行车和摩托车从甲城到乙城，他们所行驶的路程和时间的函数关系如图所示，有人根据此图，提出了如下观点，其中正确的观点有()A.骑自行车者和骑摩托车者都是变速运动B.骑自行车者比骑摩托车者早出发3h，晚到1hC.骑摩托车者在出发1.5h后追上了骑自行车者D.骑摩托车者在出发1.5h后与骑自行车者速度一样【答案】BC【解析】【分析】根据路程与时间的函数图象，由v=st知摩托车是匀速运动；两函数交点说明行驶路程相等；图象与x轴交点横坐标为出发时间，与y=80的交点横坐标为到达时间，即可判断选项正误.【详解】对A：骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是线段，所以是匀速运动，故A错误；对B：由时间轴上，自行车、摩托车对应函数的起止点及其所对应的时间值，可得骑自行车者比骑摩托车者早出发3h，晚到1h，故B正确；对C：两条曲线的交点的横坐标对应着4.5，结合图象知C正确；对D：骑摩托车者在出发1.5h后追上自行车，而它们的车速不同，故D错误.故选：BC.10.已知幂函数f(x)=(m-1)xa的图象经过点下列结论正确的有()B.f(0)=0C.f(x)是偶函数【答案】AC【解析】【分析】由幂函数定义可得A；结合图象经过点可得f解析式及其定义域，即可得B；结合偶函数的定义计算即可得C；结合偶函数性质与幂函数单调性计算即可得D.【详解】对A：由题意可得解得，故A正确；对B：由f其定义域为(-∞,0)(0,+∞)，故B错误；对C：由f是偶函数，故C正确；对D：由f(x)=x-，故f(x)在(0,+∞上单调递减，又f(x)是偶函数，故可得{3-2x≠0，对3-2x<x+1，即有(3-2x)2<(23)(3),|(2,4,(23)(3)故选：AC.B.f(x)为奇函数C.x12，都有f(x1)>f(x2)D.图象所有交点的横坐标之和为4【答案】ACD【解析】【分析】A、B由函数新定义及奇偶性定义判断；C作差法比较大小；D令x+x-1可得x-1，结合新定义求得0<x≤2，讨论x求f(x)=x-1的根，即可判断.B：f(-x)=-x+[-x]=-x-[x]-1≠-f(x)，错；2，则f(x1)-f(x2)=(x1-x2)+([x1]-[x2])，对于x1>x2，都有x1-x2>0,[所以x-1<x-1≤x，可得0<x≤2，当x=2时，满足fx-1，即2为图象交点的横坐标；当1<x<2时，f=x+1，则x+1=x-1→x=，即为图象交当x=1时，f(x)=2，则2≠-1，故1不为图象交点的横坐标；3当0<x<1时，f(x)=x，则x=x-1→x=2，即为图象交点的横坐标；3综上，图象所有交点的横坐标之和为2++=4，对.故选：ACD【点睛】关键点点睛：D选项，注意令f(x)=x-1结合分类讨论求对应根为关键.12.eln5-log23.log34+lg200+lg5=.【答案】6【解析】【分析】根据对数的运算法则和性质计算即可.【详解】eln5-log23.log34+lg200+lg5故答案为：6.13.已知两个正实数x,y，满足x+y=1，且不等式≤m2-2m有解，则实数m的取值范围是xy.【答案】【解析】【分析】借助基本不等式“1”的活用可得不等式≤m2-2m有解等价于m2-2m≥8有解，解出即xy可得.【详解】由x,y均为正实数，且x+y=1，4x2则不等式x+y≤m-2m有解等价于m2-2m≥8有解，14.已知函数f(x)为[-1,1]上的奇函数，函数g(x)=x2-4x+3，若g(f(x))在[-1,1]上的值域为【解析】【分析】由奇函数的对称性可设f(x)的值域为−m,mm>0)，结合题意及二次函数的性质可得由函数f(x)为[-1,1]上的奇函数，则可设f(x)的值域为−m,mm>0)，经检验，m=2满足题意，故f(x)的值域为[-2,2].15.已知函数f(x)=x2-bx+b-1,b∈R.}，若N中恰好有2个元素，求实数b的取值范围.【答案】（1）答案见解析；【解析】（2）结合（1）中所得分类讨论，结合N中恰有2个整数元素即可得解.【小问1详解】f(x)=x2-bx+b-1=(x-1)x-(b-1)，令(x-1)x-(b-1)≥0，解(x-1)x-(b-1)=0→x1=1或x2=b-1.当b=2时，有(x-1)2≥0恒成立，故M=R；当b<2时，有b-1<1，故M={xx≤b-1或x≥1}.综上所述，当b=2时，M=R；【小问2详解】由N中恰好有2个元素，故N={0,-1}，则-2≤b-1<-1，解得-1≤b<0；16.已知函数f(x)=-是定义在区间(-2,2)上的奇函数，且f(1)=.（1）求a,b；（2）判断f(x)在区间(-2,2)上的单调性，并用定义证明；（3）解关于t的不等式f(t-1)+f(t)<0.（2）f(x)在区间(-2,2)上单调递增，证明见解析【解析】3【分析】（1）结合奇函数性质与f(1)=2计算即可得解；3（2）结合函数单调性定义，令-2<x1<x2<2，得到f(x1)-f(x2)的正负即可得；（3）结合奇函数与单调性定义计算即可得解.【小问1详解】由函数是定义在区间(-2,2)上的奇函数，f检验：当x∈时，有f函数是定义在区间(-2,2)上的奇函数，符合要求，【小问2详解】f(x)在区间(-2,2)上单调递增，证明如下：2即当-2<x1<x2<2时，f(x1)-f(x2)<0，故f(x)在区间(-2,2)上单调递增；【小问3详解】由f(t-1)+f(t)<0，即f(t-1)<-f(t)=f(-t)，由f(x)在区间(-2,2)上单调递增，17.已知函数f(x)=,g(x)=x2-4x+6.（1）当a=1时，求f(x)在区间[1,+∞)上的最小值；（2）若x1f(x2)=g(x1)，求实数a的取值范围.【解析】【分析】（1）令2x=t，求出h(t)的单调性，求出f(x)在区间[1,+∞)上的最小值；（2）由题意得g(x)在[1,4]的值域包含于f(x)在[1,4]的值域，分a=0、a<0和a>0三种情况并结合单调性求解.【小问1详解】所以在单调递增，所以f(x)在区间[1,+∞)上的最小值为；【小问2详解】由题意得g(x)在[1,4]的值域包含于f(x)在[1,4]的值域，由二次函数的性质得g(x)的值域为[2,6]，所以18.对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度（含污物体的清洁度定义为：污物质量1-）为0.8.要求洗完后的清洁度是0.99.有两种方案可供选择，方案甲：一次清洗；物体质量(含污物)方案乙：分两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为a(1≤a≤3).设用x单位质量的水初次清洗后的清洁度是单位质量的水第二次清洗后的清洁度是其中c(0.8<c<0.99)是该物体初次清洗（1）分别求出方案甲以及c=0.95时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少；（2）若采用方案乙，当a为某固定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最小？【答案】（1）两种方案的用水量分别为19和4a+3，方案乙的用水量较少（2）第一次与第二次用水量分别为25a-1和25a-a时，用水量最小【解析】【分析】（1）设方案甲与方案乙的用水量分别为x,z，由=0.99求出x，进而可知方案乙初次用水量为3，第二次的用水量y满足方程，从而可求出y，从而比较可得结论；（2）设初次与第二次清洗的用水量分别为x与y，求出x和y的关系式，当a为定值时结合基本不等式求出x+y的最小值即可得.【小问1详解】设方案甲与方案乙的用水量分别为x,z，即方案乙初次用水量为3，第二次用水量y满足=0.99，即两种方案的用水量分别为19和4a+3，所以x>z，所以方案乙的用水量较少；【小问2详解】设初次与第二次清洗的用水量分别为x与y，类似,y=a当a为定值时，当且仅当=100a(1-c)时取等号，此时c=1+不合题意舍去，或c=所以c=1-此时第一次与第二次用水量分别为25a-1和25a-a，最少用水量为T(a)=2·5a-1+2·5a-a=-a+4·5a-1.19.我们知道，奇函数的图象关于原点对称.类比奇函数的定义，我们可以定义中心对称函数：设函数y=f(x)的定义域为D，若对x∈D，都有f(2m-x)+f(x)=2n，则称函数f(x)为中心对称函数，其中(m,n)为函数f(x)的对称中心.比如，函数y=+1就是中心对称函数，其对称中心为(0,1).且中心对称函数具有如下性质：若(m,n)为函数f(x)的对称中心，则函数y=f(x+m