第一章 集合与常用逻辑用语（考点串讲）-人教B版2019必修第一册高一数学考点总结

人教B版(2019)必修第一册数学

期中考点大串讲串讲

01第一章集合与常用逻辑用语考场练兵典例剖析010203目

录考点透视01考点透视(1)集合中元素的三个特性：________、________、________．(2)元素与集合的关系是______或________，用符号____或____表示．(3)集合的表示法：________、________、________．(4)常见数集的记法集合非负整数集(或自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号____N*(或N＋)____________考点1．集合与元素考点2.集合间的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中______________都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作________(或B⊇A)．(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且________，就称集合A是集合B的真子集，记作________(或B

A)．(3)相等：若A⊆B，且________，则A＝B．(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是__________的子集，是______________的真子集．考点3集合的基本运算表示运算集合语言图形语言记法并集____________________________交集____________________________补集____________________________考点4.集合的运算性质(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A．(2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A．(3)A∩(∁UA)＝∅，

A∪(∁UA)＝U，

∁U(∁UA)＝A．

常用结论1．若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB．3．∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．考点5.命题的概念及结构

充分条件与必要条件命题真命题假命题pq真命题p⇒q充分条件必要条件充分条件必要条件考点6.充要条件p⇒qq⇒pp⇔q充要条件充要条件充要条件p⇔q充要条件考点7.全称量词与全称量词命题所有的任意一个∀全称量词∀x∈M，p(x)考点8.存在量词与存在量词命题存在一个至少有一个∃存在量词∃x∈M，p(x)考点9.全称量词命题的否定∃x∈M，綈p(x)存在量词考点10.存在量词命题的否定∀x∈M，

非p(x)全称量词考点11.常见词语的否定形式原词语否定词语原词语否定词语是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有n个至多有(n－1)个小于不小于至多有n个至少有(n＋1)个任意的某个能不能所有的某些等于不等于02典例透析考点透视考点1

集合的概念B考点透视考点1

集合的概念考点透视反思感悟1．研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义．2．利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．考点透视考点2集合间的基本关系【例题2】设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A⊆B，则a＝(

)B考点透视考点2集合间的基本关系考点透视反思感悟1．判定两集合关系的方法(1)化简集合，从表达式中寻找两集合的关系．(2)用列举法、图示法、数轴表示各个集合，从元素或图形中寻找关系．2．已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而求得参数范围．注意：(1)合理利用数轴、Venn图等直观分析解决问题．(2)求得参数后，一定要把端点值代入进行验证，否则易增解或漏解．考点透视考点3集合的运算【例题3】(2023·全国甲卷)设全集U＝Z，集合M＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，则∁U(M∪N)＝(

)A．{x|x＝3k，k∈Z}B．{x|x＝3k－1，k∈Z}C．{x|x＝3k－2，k∈Z}D．

∅考点透视考点3集合的运算A因为U＝{x|x＝3k或x＝3k＋1或x＝3k＋2，k∈Z}，所以∁U(M∪N)＝{x|x＝3k，k∈Z}．故选A．考点透视考点4利用集合的运算求参数的值(范围)【例题4】设集合A＝{x|m－3＜x＜2m＋6}，B＝{x|log2x＜2}，若A∪B＝A，则实数m的取值范围是(

)A．∅

B．[－3，－1]C．(－1，3) D．[－1，3]D考点透视考点4利用集合的运算求参数的值(范围)考点透视反思感悟1．进行集合运算时，

首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算．2．数形结合思想的应用(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解；(2)连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心．考点透视考点5充分条件的判断【例题5】给出下列三组命题：(1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；(2)p：一个四边形是矩形，q：这个四边形的对角线相等；(3)p：x＋1＝0，q：(x＋1)(x－2)＝0.试分别指出哪些命题中的p是q的充分条件？(2)因为矩形的对角线相等，所以p⇒q，所以p是q的充分条件．(3)因为由x＋1＝0可得(x＋1)(x－2)＝0，即p⇒q，所以p是q的充分条件．考点透视考点6必要条件的判断解考点透视考点7利用充分条件、必要条件求参数的取值范围考点透视考点7利用充分条件、必要条件求参数的取值范围考点8.

充要条件的判断解

(1)因为由x≠0推不出x＋|x|>0，如当x＝－1时，x＋|x|＝0，所以pq，所以p不是q的充要条件．(2)若关于x的方程ax＋b＝0(a，b∈R)有唯一解，则a≠0，所以pq，所以p不是q的充要条件．(3)当c＝0时，函数y＝ax2＋bx的图象经过原点；当y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过原点时，0＝a×02＋b×0＋c，所以c＝0，所以p⇔q，所以p是q的充要条件．考点透视考点9.

充要条件的证明证明假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，q：a＋b＋c＝0.①证明p⇒q，即证明必要性．∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，∴a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.

【例题9】(2024·江苏连云港灌南高级中学高一上第二次月考)求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.②证明q⇒p，即证明充分性．由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.∵ax2＋bx＋c＝0，∴ax2＋bx－a－b＝0，即a(x2－1)＋b(x－1)＝0，∴(x－1)(ax＋a＋b)＝0.∴x＝1是方程的一个根．故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.考点透视考点10.

探求充要条件【例题10】求关于x的方程x2－2mx＋m2－m＋3＝0的两根都大于2的充要条件．考点透视考点11.

全称量词命题与存在量词命题的识别【例题11】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题：(1)圆内接四边形的对角互补；(2)存在实数x，满足x2≥2；(3)有些平行四边形的对角线不互相垂直；(4)存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大．解：(1)是全称量词命题，表示为∀圆内接四边形，其对角互补．(2)是存在量词命题，表示为∃x∈R，x2≥2.(3)是存在量词命题，表示为∃平行四边形，其对角线不互相垂直．(4)是存在量词命题，表示为∃a∈R，函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大．考点透视考点12.

全称量词命题与存在量词,命题的真假判断【例题12】判断下列命题的真假：(1)任何实数都有平方根；(2)存在有理数x，使x2－2＝0；(3)∀x∈R，x2－x＋1>0；(4)∃x∈Z，3x＋4＝5.考点透视考点13.

含有量词的命题的应用【例题13】已知命题p：存在x∈R，x2＋3x＋a＝0.若p为真命题，则实数a的取值范围是______________．答案解析考点透视考点14.

全称量词命题的否定【例题14】写出下列命题的否定，并判断其否定的真假．(1)不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根；(2)等圆的面积相等；(3)每个三角形至少有两个锐角．考点透视考点14.

全称量词命题的否定考点透视考点15存在量词命题的否定考点透视考点15存在量词命题的否定考点透视考点16含有量词命题的否定的应用【例题16】命题“存在x>a，使得2x＋a<3”是假命题，求实数a的取值范围．解：因为命题“存在x>a，使得2x＋a<3”是假命题，所以此命题的否定“对任意x>a，使得2x＋a≥3”是真命题，因为对任意x>a有2x＋a>3a，所以3a≥3，解得a≥1.所以实数a的取值范围为{a|a≥1}．解03考场练兵1．已知a∈{0，1，2，3}，且a∉{1，2，3}，则a的值为(

)A．0 B．1C．2 D．3解析：因为a∈{0，1，2，3}，且a∉{1，2，3}，所以a的值为0.故选A.3．由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是(

)A．{x|－3<x<11，x∈Z}B．{x|－3<x<11}C．{x|－3<x<11，x＝2k}D．{x|－3<x<11，x＝2k，k∈Z}解析：由题意可知，满足题设条件的只有D.4．若集合A＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，B＝{x∈R|x＋5>0}，则集合A与B的关系是(

)A．A∈B B．A⊆BC．B⊆A D．A＝B解析：∵A＝{y|y≥1}，B＝{x|x>－5}，∴A⊆B.故选B.5．(2024·江苏连云港灌南高级中学高一上第二次月考)集合B＝{a，b，c}，C＝{a，b，d}，集合A满足A⊆B，A⊆C，则满足条件的集合A的个数是(

)A．8 B．2C．4 D．1解析：因为A⊆B，A⊆C，所以集合A是{a，b}的子集，所以这样的集合A共有22＝4个．6.(2024·辽宁六校协作体高一上期中)设集合A＝{1，2}，则满足A∪B＝{1，2，3}的集合B的个数是(

)A．1 B．3C．4 D．8解析：因为A＝{1，2}，A∪B＝{1，2，3}，所以B＝{3}或{1，3}或{2，3}或{1，2，3}．故选C.7．(2024·海口市第一中学高一上期中)设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(∁RS)∪T＝(

)A．{x|－2<x≤1} B．{x|x≤－4}C．{x|x≤1} D．{x|x≥1}解析：因为S＝{x|x>－2}，所以∁RS＝{x|x≤-2}，又T＝{x|－4≤x≤1}，所以(∁RS)∪T＝{x|x≤－2}∪{x|－4≤x≤1}＝{x|x≤1}．8．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，命题“∀x∈A，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是(

)A．a≥4 B．a≤4C．a≥5 D．a≤5解析：当该命题是真命题时，只需a≥(x2)max，因为x∈A＝{x|1≤x≤2}，又y＝x2在1≤x≤2上的最大值是4，所以a≥4.因为a≥4a≥5，a≥5⇒a≥4，故选C.9．已知p：(a＋b)(a－b)＝0，q：a＝b，则p是q的(

)A．充分条件B．必要条件C．既是充分条件也是必要条件D．既不是充分条件也不是必要条件10．(多选)已知集合A＝{x|－1<x≤3}，B＝{x|－2≤x≤2}，则下列关系式正确的是

(

)A．A∩B＝∅B．A∪B＝{x|－2≤x≤3}C．A∪(∁RB)＝{x|x≤－1，或x>2}D．A∩(∁RB)＝{x|2<x≤3}解析：∵A＝{x|－1<x≤3}，B＝{x|－2≤x≤2}，∴A∩B＝{x|－1<x≤3}∩{x|－2≤x≤2}＝{x|－1<x≤2}，故A不正确；A∪B＝{x|－1<x≤3}∪{x|－2≤x≤2}＝{x|－2≤x≤3}，故B正确；∵∁RB＝{x|x<－2，或x>2}，∴A∪(∁RB)＝{x|－1<x≤3}∪