高等数学教程　上册　第4版 习题及答案汇 范周田 第1-5章 函数 - 不定积分

PAGEPAGE2综合习题11．求下列函数的定义域：（1）解：函数的定义域为。（2）解：函数的定义域为。（3）解：由，解得函数的定义域为:。（4）解：由，解得函数的定义域为：（5）解：由，即，解得函数的定义域为：（6）解：由及，解得函数的定义域为：2.（1）设，求和。解：=2x-（2）已知，求。解：令，所以，（3）已知，求。解：令，，所以，（4）已知，求。解：由所以，，3.求下列函数的反函数：（1）解：由，有，将上述和交换，得的反函数为（2）解：由，有将上述和交换得的反函数为（3）解：由，有，将上述和交换得的反函数为（4）解：由，有，，，将上述和交换得的反函数为（5）解：由,有，解得，将上述和交换得的反函数为（6）解：由，当，，有，当，，有，将上述和交换得的反函数为4.回答下列问题，并对你的回答说明理由：(1)两个偶函数之积一定是偶函数吗？(2)两个奇函数之积会有几种结果?(3)有没有一个既是奇函数又是偶函数的函数？解：(1)是(2)积为偶函数（3）考查。5.将下列初等函数分解成基本初等函数的复合或者四则运算（1）解：（2）解：，(3)解：，，(4),解:,u=12lnv,6．若，求下列复合函数的解析表达式：(1)（2）（3）解：(1)，(2)，(3)，7.设是奇函数，是否还是奇函数？答：都不是。8.判断下列函数的奇偶性，哪个是奇函数？偶函数、或是非奇非偶函数？答：(1)奇(2)偶(3)奇(4)奇.9.对于任一定义在对称区间上的函数，证明：（1）是偶函数；（2）是奇函数；（3）总可以表示为一个偶函数与和一个奇函数之和。证明：（1）因为，所以是偶函数。（2）因为，所以是奇函数。（3）因为。10.设函数是以为周期的周期函数，证明是以为周期的周期函数。证明：11.设存在二个实数使得对任意x,满足及，试证明：是以为周期的周期函数。证明：因为12.将下列极坐标方程化为直角坐标方程：解：（1）x+y=1（2）13.将下列直角坐标方程化为极坐标方程：解：(1)(2);(3)(4)r=第二章极限与连续习题2.1证明以下数列是无穷小（1）证明：因为而是无穷小，由无穷小比较定理，得是无穷小。（2）证明：因为而是无穷小，由无穷小比较定理，得是无穷小。（3）证明：因为而是无穷小，由无穷小比较定理，得是无穷小。（4）证明：因为而是无穷小，由无穷小比较定理，得是无穷小。（5）证明：因为而是无穷小，由无穷小比较定理，得是无穷小。（6）证明：因为而是无穷小，由无穷小比较定理，得是无穷小。证明以下数列极限（1）证明：因为而是无穷小，由无穷小比较定理，得是无穷小，所以（2）证明：因为而是无穷小，由无穷小比较定理，得是无穷小，所以（3）证明：因为而是无穷小，由无穷小比较定理，得是无穷小，所以（4）证明：因为而是无穷小，由无穷小比较定理，得是无穷小，所以习题2.21．证明以下函数是无穷小（1）证明：因为而时是无穷小，所以是无穷小。（2）证明：因为，不妨设，又而时，是无穷小，由无穷小比较定理，有是无穷小。（3）证明：因为而时是无穷小，由无穷小比较定理，有是无穷小。2．证明以下函数是无穷小（1）证明：因为而时，是无穷小，由无穷小比较定理，有是无穷小。（2）证明：因为而时，是无穷小，由无穷小比较定理，有是无穷小。（3）证明：因为而是无穷小，由无穷小比较定理，有是无穷小。3.证明下列极限：(1)证明：因为(4x+1)-9=而时是无穷小，由无穷小比较定理，有当时，是无穷小，所以(2)证明：因为而时是无穷小，由无穷小比较定理，有当时，是无穷小，所以，(3)证明：因为而时是无穷小，由无穷小比较定理，有当时，是无穷小，所以(4)证明：因为而时是无穷小，由无穷小比较定理，有当时，是无穷小，即4.设，证明。证明：因为所以即5.设，证明不存在。证明：因为所以即不存在6．证明:（1）证明：只要证明。因为，而，所以，，即（2）证明：只要证明。由，无妨设，于是所以，，即习题2.31．指出下列运算是否正确：（1）（2）（3）答：(1)—(3)都是错误的。因为：分式极限只有当分母极限不为零时可以应用极限运算法则。而该分式分母极限为零。两个函数乘积的极限当两个函数极限都存在时等于它们极限的乘积。而极限不存在。有限个函数和的极限等于它们各自极限的和。2.求下列极限：(1)解：(2)解：=(3)解：因为，，所以(4)解：（型）（5）解：（型）（6）解：（型）(7)解：（型）（8）（为正整数）解：（型）（9）解：（型）（10）解：（型）（型）（11）解：（型）(12)解：3.证明当时，函数是无穷小.证明：当时，和都是无穷小，且，所以，是无穷小，再由无穷小的运算性质，有当时，函数也是无穷小。4.确定a,b的值,使下列极限等式成立：(1)(2)解：（1）由，（存在），且分式的分母为无穷小，所以其分子必是无穷小，即所以。（2）由且分式的分子分母都是多项式，分母是一次式，所以分子的二次和一次项系数都为零，即有，从而得5.证明不存在。证明：取，，则，但，习题2.41.求下列极限：(1)解：(2)解：(3)解：(4)解：(5)解：lim(6)(为常数)解：当时，，(7)解：(8)解：2.求下列极限：(1)解：（型）(2)解：（型）(3)解：（型）(4)解：（型）（5）解：（6）解：3.根据所给的各种变化情况,讨论下列函数的极限：(1)(2)解：（1）当，，，所以有（2）当当，因为，所以不存在。4.设，当满足什么条件时。解：当，当所以，当，，即当时，5.用夹逼定理证明下列极限(1)(2)证明：(1)因为所以由夹逼定理有因为所以由夹逼定理有6.利用单调有界极限存在原理证明(1)数列的极限存在,并求出极限值。证明：因为数列单调上升，且有上界2。所以数列的极限存在，设其极限值为,因为，所以有，得习题2.51.讨论下列函数的连续性,若有间断点，指出间断点的类型:(1)解：是间断点。又因为所以是第一类型间断点(可去间断点)，是第二类型间断点（无穷间断点）。(2)解：，是间断点。又因为，所以是第一类型间断点(可去间断点)，所以是第二类型间断点（无穷间断点）(3)解：是间断点。因为所以是第一类型间断点(可去间断点)。(4)解：因为当，当所以是第一类型间断点(跳跃间断点)。2.确定常数,使下列函数为连续函数:(1)解：只需考虑函数在分段点处的连续即可。因为若函数在分段点处的连续，则有从而有，即(2)解：只需考虑函数在分段点处的连续即可。因为若函数在分段点处的连续，则有从而有。（3）解：因为函数在处连续，所以即，3.求下列函数的极限(1)解：(2)解：(3)解：(4)解：(5)解：(6)解：4.证明方程至少有一个根介于1和2之间。证明:令，则在闭区间连续，又，在区间上应用零点定理，有至少存在一点，使得，即方程至少有一个根介于1和2之间。5.证明方程的有三个根，它们分别在区间内。证明:令，则在闭区间连续，又，，，所以有，在区间，及上分别应用零点定理，可得方程在区间内各至少存在一个根。6.证明方程至少有一个根。证明:令，则在连续，又，在闭区间上应用零点定理，有至少存在一点，使得，即方程至少有一个根。7.设都在上连续，且试证明在内至少存在一点，使得证明：令，则在连续，又，在闭区间上应用零点定理，有至少存在一点，使得，即习题2.61．设，为常数，当时，求的值，使（1），（2）解：（1）因为，故则有（2）因为，故则有2．求常数，使得当时，。解：，则3．当时，试确定下列无穷小的阶数。(1)(2)(3)(4)解：(1)1阶(2)1阶(3)2阶（4）3阶4．求下列极限：（1）解：（2）解：limx→0lncos（3）解：（4）解：（5）解：（6）解：（7）解：（8）解：（9）解：（10）解：（11）解：（12）解：5．求常数，使成立。解：，则，所以，6．求常数,使下列函数在点连续:解：，，所以，当时该函数在点连续。习题2.71设年利率为，求在下列情况下，10000元的投资额产生的未来收益。（1）以半年为期进行复利计算，1年末的收益。（2）以半年为期进行复利计算，5年末的收益。（3）按月进行复利计算，1年末的收益。（4）按月进行复利计算，5年末的收益。（5）连续复利计算，1年末的收益。（6）连续复利计算，5年末的收益。解：当本金为，年利率为，为每年的计息次数，则年后投资的总收益为本题中（1）因为以半年为期进行复利计算，一年中有两个半年期，故，则1年末（）的收益为（元）（2）以半年为期进行复利计算，5年末（）的收益为（元）（3）以按月进行复利计算，一年中有12个月，则，则1年末（）的收益为（元）（4）按月进行复利计算，5年末（）的收益为，（元）（5）连续复利即为，1年末的收益为（元）（6）连续复利计算，5年末的收益为（元）2．设年利率为，未来收益为25000元，求在下列情况下的现值。（1）按年进行复利计算，未来收益在1年末取得。（2）按年进行复利计算，未来收益在20年末取得。（3）按季度进行复利计算，未来收益在1年末取得。（4）按季度进行复利计算，未来收益在20年末取得。（5）连续复利计算，未来收益在1年末取得。（6）连续复利计算，未来收益在20年末取得。解：记号同上题，未来收益，，现值（1），（元）（2），，（元）（3）按季度进行复利计算，未来收益在1年末取得。，，（元）（4），（元）（5）连续复利公式，计算现值的公告为，未来收益在一年末取得，（元）（6）（元）3．政府支出200亿元，经济个体将增加收入的70%用于购买国内产品，根据凯恩斯倍数效应模型求政府支出增加的总效应。解：，政府支出增加的总效应亿元。4假设每年支付相等的10000元，终身支付，年利率为6%，按年计算复利，求（1）全部收益的现值。(2)在第50年之后收取款项的现值。(3)前50年收取款项的现值。解：设年利率为，按年计算复利，则第年支付的10000元的现值为，本题（1）令，则（2）在第50年之后收取款项的现值为（3）5.假设政府对年收入的税收政策如下：（1）25000元及以下免税。（2）超过25000部分征收40%。（3）对达到或超过100000征收一次性附加税2000元。把税后收入写成税前收入的函数，画出函数图形，讨论函数的连续性，并讨论该税收政策对工作的影响。解：设为税前收入，则税后收入的函数为函数在时，图形为斜率为1的直线，在时，仍是直线，但斜率为0.6，这意味着税后收入增加的速度放缓，在处函数产生间断，出现一个向下的跳跃，由70000到68000，这意味着如果你想获得更多的税后收入，且税前收入在100000元和103333元之间，你应该主动捐献一部分，使得税前剩余不足100000元.6.假设某产品的销售员的月工资构成为：（1）基本工资500元，（2）当月销售额不超过20000时提成，（3）当月销售额超过20000时提成。试画出月工资与销售业绩的函数图形并简单分析。解：设为月工资，为月销售额（单位元），则函数在点的左、右极限分别为2500和4500，图形有幅度2000的向上跳跃。这意味着如果某人的销售额接近但未达到元，他将更努力地工作以期获得额外的奖金。如果销售额远远未达到元或者已经超过了元，这种额外的刺激就不复存在了。综合习题2选择或填空题：1.设数列满足，，且极限与均存在,则（D）。必收敛必单调必有界以上结论都不对2.函数在处有定义是当时函数有极限的（D）。必要条件充分条件充分必要条件无关的条件3.函数在处有定义是函数在处连续的（A）。必要条件充分条件充分必要条件无关的条件4.若，，则必有（D）。，（为非零常数）5.若，，（为有限值），则下列哪个关系式非恒成立（D）。6.函数在时,若(D)不是无穷大,则必为有界极限不存在,则必为无界是无界的,则必为无穷大存在极限，则必有界7.下列极限存在的有（A）8.当，无穷小量是的(C)无穷小.高阶B低阶同阶但非等价等价9.设函数在其定义域内连续，则等于（2）。10.设函数在点连续,则等于（1）。11.若，则等于（-2）。12.（2）。13.若，则等于（-3）。14.若，则等于（-1）。15.（）。16.（2）。二．计算或证明题：1.证明以下数列是无穷小（1）证明：因为而是无穷小，由无穷小比较定理，得是无穷小。（2）证明：因为而是无穷小，由无穷小比较定理，得是无穷小。2.证明以下数列极限（1），是常数。证明：因为而是无穷小，由无穷小比较定理，得是无穷小，所以（2）证明：因为而是无穷小，由无穷小比较定理，得是无穷小，所以3．证明以下函数是无穷小（1）证明：因为而当是无穷小，由无穷小比较定理，得是无穷小。（2）证明：因为，不妨设，又而时是无穷小，由无穷小比较定理，得是无穷小。4.设，证明当时极限存在的充分必要条件是。证明：因为，又当时极限存在的充分必要条件是所以，即。5.设，证明时是无穷小。证明：因为，，所以，，即6．求下列极限：(1)解：(2)解：(3)解：因为，所以(4)解：（型）(5)解：（型）（6）解：（型）（7）解：（型）（8）解：（型）(9)解：（型）（10）解：（型）(11)解：时，。令，（型）(12)解：令，（型）（型）(13)(m,n为正整数)解：（型）(14)解：（型）（15）解：（型）（16）解：（型）7．推断下列极限值：(1)若求。(2)若求。（3）若求。解：（1）（2）（3）8．设，证明。证明：因为，所以，函数在点处即右连续又左连续，故连续，且。9．证明当时，与是同阶的无穷小。证明：因为所以,当时，与是同阶的无穷小。10.讨论下列函数的连续性,若有间断点，指出间断点的类型:(1)解：因为所以，是第一类型间断点(可去)。(2)解：是间断点。因为当，当，所以，是第二类型间断点（无穷）。11.确定常数,使下列函数为连续函数:(1)解：只需考虑函数在分段点处的连续即可。因为若函数在分段点处的连续，则有从而有，所以有（2）解：只需考虑函数在分段点处的连续即可。因为若函数在分段点处的连续，则有从而有，所以有12研究下列函数的连续性。（1）（2）解：（1）因为所以，该函数在连续。（2）当时，，当时，；当时，，；所以该函数在区间中除去这点外都连续。13.求常数使得当时，。解：因为，当时，，所以分式的分子分母都是多项式，分母是二次式，若当时,分式的极限等于1，则分母的二次项系数为零，一次项系数为1，即有，所以，为任意常数，当时，。14.求常数使得当时，。解：因为当时，，则有只要分母次数高于分子的次数即可，所以只要为任意常数15.设,求的值使得(1)当时,是无穷小;(2)当时,是无穷大.解：（1）分式的分子分母都是多项式，分母是二次式，若当时,是无穷小，只要分子的三次和二次项系数都为零，即有，所以（2）分式的分子分母都是多项式，分母是二次式，当时,是无穷大，只要分子的三次项系数不为零，即有为任意常数。16.设，证明：至少存在一点使。证明：令，则在闭区间上连续，且，所以在区间上应用零点定理，可得方程在区间内至少存在一个根。即至少存在一点使。17.设若在上恒不为零,则在上恒正(或恒负)。证明：用反证法。设在上非恒正(或非恒负)，即至少存在，使得在闭区间上应用零点定理，至少存在一点使得，这与已知条件在上恒不为零矛盾。18.设，证明：至少存在一点使证明：若，则或。若，令，则因为由介值定理至少存在一点使第三章导数与微分习题3.1用导数定义求下列函数的导数。(1)(2)解:（1）（2）2.设下列各题中的均存在,求下列各式的极限值。(1)(2)(3)（4）解：(1)(2)(3)（4）3.讨论下列函数在的连续性与可导性：（1）（2）解：（1）因为所以在是连续的。又所以在是可导的，且。（2）因为故，即在即右连续也左连续，所以在是连续的。又因为，所以，在不可导。4.讨论函数在点，及处的连续性和可导性。解：当时，故在不是右连续，所以在不连续的，因而不可导。当时，故，即在右连续且左连续，所以，在是连续的。又所以有，即在是可导的。当时，故，即在右连续且也左连续，所以，在是连续的。又因为，故在不可导。5.一物体的运动方程为，求该物体在时的瞬时速度。解：物体在时的瞬时速度为。6．求曲线在点处的切线方程和法线方程。解：曲线在点处的切线的斜率为曲线在点处的切线方程为曲线在点处的法线方程为7．试确定常数的值，使得函数在处可导。解：因为该函数在处可导，所以该函数在处连续。因此有即由得8．证明：在曲线上任意一点处的切线与两个坐标轴所构成的面积都等于2。证明：设点是曲线的点，则，且在该点的切线方程为而，所以切线方程为，该切线方程在轴和为轴的截距长分别为，切线与两个坐标轴所构成的面积为9．证明函数在处连续，但不可导。证明：因为所以，故该函数在处连续。又不存在故该函数在处不可导。10.设某商品的需求函数，求边际需求函数。解这一结果表示该商品的价格每增加一个单位，需求量就会减小5个单位。习题3.21.利用导数的四则运算法则，求下列函数的导数:(1)解：(2)解：(3)解：(4)解：(5)解：(6)解：(7)解：(8)解：(9)解：(10)解：(11)解：(12)解：（13）解：（14）解：（15）解：（16）解：求下列函数的导数:（1）解：（2）解：（3）解：（4）解：（5）解：（6）解：(7)解：（8)解：(9)解：(10)解：==(=（11）解：（12）解：3.设是可导的函数,求下列函数的导数:(1)解：(2)解：(3)解：(4)解：4.求下列分段函数的导数:(1)解：当时，当时，(2)解：当时，当时，因为，，，，，，所以当时，函数不连续，故不可导。5.求下列函数的二阶导数:(1)解：(2)解：(3)解：(4)解：6.验证函数满足关系式。解：，将带入方程左端有即满足关系式。8．求下列方程所确定的隐函数的导数:(1)解：方程两边对求导，有从上式中解出，得(2)解：方程两边对求导，有从上式中解出，得(3)解：方程两边对求导，有从上式中解出，得(4)解：方程两边对求导，有从上式中解出，得（5）解：方程两边对求导，有从上式中解出，得（6）解：方程两边对求导，有从上式中解出，得8.若是由方程所确定的隐函数，求解：方程两边对求导，有（1）由原方程当时，，将，代入（1）得（1）式两边再求导有将，及代入上式得9.求曲线在点处的切线方程和法线方程。解：对方程两边求导得解得，曲线在点处的切线斜率是所以，所求切线方程是即所求法线方程是即10．利用对数求导法，求下列函数的导数:(1)解,(2)解,（3）解：上式两边求导得所以（4）解：上式两边求导得所以11.求下列函数的阶导数。(1)(2)解（1），则，反复求导有。（2），则一般地，，。即，。习题3.3已知计算当时的及。解：求下列函数的微分(1)解：因为所以(2)解：因为所以(3)解：因为所以(4)解：因为所以(5)解：因为所以(6)解：因为所以(7)解：因为所以(8)解：因为所以(9)解：因为所以(10)解：因为所以3.求由方程所确定的函数的微分。解：方程两边对求导，有从上式中解出，得所以4.一个直径为20厘米的球，球壳厚度为0.2厘米，求该球壳体积的近似值。解：半径为的求体积为，当，球壳体积为5.计算下列各题的近似值(1)(2)解：（1）令，则解：（2）令，则习题3.4弹性分析1．给定需求函数，求(1)当下降到时的平均弹性;（2）当时的点弹性。解：(1)当，时，有，，的平均值为的平均值为平均弹性为（2），，当时的点弹性为2.给定需求函数，求价格时的需求弹性？并说明在此价格上需求是缺乏弹性、单位弹性还是富有弹性？解：由，得，所以。当时，需求为，此时需求弹性为该产品的需求弹性的绝对值，说明该产品的需求函数是缺乏弹性的。3．设某产品总成本C万元是产量kg的函数为产品销售价格为万元，需求函数为试求：（1）产量为100kg水平上的边际成本值；（2）销售价格为4万元水平上的需求弹性值，并说明其经济意义；（3）当时，如果价格上涨1%，总收益增加还是减少？变化多少？解：（1）边际成本函数为，所以在产量为水平上边际成本值（万元）（2）计算边际需求函数需求弹性函数为所以在销售价格为4万元水平上的需求弹性值为该产品的需求弹性的绝对值，说明该产品的需求函数是富于弹性的，需求量随价格变化会呈现较大波动，同时，弹性说明需求量随价格变化会呈现反向波动，即涨价则需求量减小，降价则需求量增加。（3）总收益函数，所以即总收益量将减少0.177%。综合习题3一、填空选择题：1.设函数在处可导，则下列极限值等于的是（C）ABCD2.已知，若极限，则等于（A）ABCD3.函数在点处连续是其在该点可导的（D）A充分而必要条件B必要而非充分条件C充分条件D必要条件二、计算或证明题1.设函数满足，且其中均为常数，证明在处可导，且。证明：由，得，即2.讨论下列函数在的连续性与可导性：（1）（2）解：（1）因为所以该函数在处右连续且左连续，故连续。该函数在左导数不等于右导数，故在函数不可导。（2）因为所以该函数在处左连续且右连续，故连续。该函数在左导数等于右导数，故在函数可导，且。3.函数在是否连续，是否可导？解：因为所以该函数在函数可导，故在函数连续。4.设为可导的偶函数，证明。证明：因为为偶函数，所以。又所以有。5．当为何值时，抛物线与相切（在某点处有相同的切线）？并求切点和切线方程。解：设抛物线与在点处相切，则两条曲线在该点的导数相等，有，又，，解得，，切点，切线方程为6．设函数在处连续，，证明函数在处可导。若，函数在处可导吗？解：由函数在处连续有。所以，函数在处可导。当时，有，则函数在处可导。当时，有，则函数在处不可导。7．设在处连续，且，证明：。证明：由函数在处连续有，又，所以8．设函数在内可导，且，证明证明:因为所以9．若是可导的函数,求下列函数的导数:（1）（2）解：（1）(2)10．设且，证明：解：，而，故11.设是内可导且周期为4的周期函数，又，求曲线在点处的切线斜率？解：是周期为4的周期函数，故，故曲线在点处的切线斜率12.设函数在点可导,试求极限。解：（1）又设函数在点可导，所以由（1）式第四章导数的应用习题4.11.用洛必达法则计算下列极限：(1)解:(2)解:(3)解：(4)解：(5)解：(6)解：(7)解：(8)解：(9)解：(10)解：(11)解：(12)解：当时，，所以(13)解：(14)解：

=limx→（15）解：（16）解：

=elimx→+∞xln2.确定常数，使得．解：因为又所以，从而。3．求下列解法是否正确?若有错,请给予修改.(1)(2)因不存在,故原极限不存在.解：（1）错。因为该极限不是未定式。直接用极限运算法则得（2）错。应用罗比达法则后得到的极限不存在不能推断原极限不存在。事实上，习题4.2对函数在区间验证罗尔定理的正确性。证明：函数在区间连续，在内可导，，而由，有对函数在区间验证拉格朗日中值定理的正确性。证明:函数在区间[0,1]连续，在(0,1)内可导，令有设，试证，存在，使得（1）（2）证明：（1）令，则，作辅助函数，满足罗尔定理的条件，利用罗尔定理，存在，使得，即，故得（2）令，则，作辅助函数，满足罗尔定理的条件，利用罗尔定理，存在，使得，即，即，故4.证明：当时，有.证令当时，有故（为常数）.令，得，即.5.证明下列不等式:(1)，证明：函数在上连续，在内可导，由拉格朗日中值定理，存在使得即(2)证明：函数在连续，在可导，由拉格朗日中值定理，存在，使得即习题4.3单调性与凹凸性1.下列函数的单调区间:(1)解：函数的定义域，计算函数的一阶导数令一阶导数，得到，列表如下：0+0单调增加极大值单调减少所以，函数的单调减少区间是，单调增加区间为。(2)解：函数的定义域，一阶导数所以函数在上单调增加。（3）解：函数的定义域，计算函数的一阶导数令一阶导数，得到，列表如下10+单调减少极小值单调增加所以，函数的单调减少区间是，单调增加区间为。（4）解：函数的定义域，计算函数的一阶导数令一阶导数，得到和，列表如下1+00+单调增加极大值单调减少极小值单调增加所以，函数的单调减少区间是，单调增加区间为和。2.证明不等式：（1）证明：令，则因此，函数当时单调增加，故即有：（2）证明：令，则因此，函数当时单调增加，故即有：（3）证明：当时，.【证】令，则在上可导，且所以，在上单调递增，有于是，在上单调递增，故有即3.求下列函数的极值:(1)解：函数的定义域，令，得驻点为。列表如下：00+单调减少极小值0单调增加函数极小值是。(2)解：函数的定义域，令得驻点为和。列表如下：01+00+单调增加极大值-2单调减少单调减少极小值2单调增加函数的极大值是，极小值是。(3)解：函数的定义域，令，得驻点为和。列表如下：010+0单调减少极小值6单调增加极大值7单调减少函数的极大值是，极小值是。(4)解：函数的定义域，令一阶导数，得驻点为，（舍去）。列表如下：20+单调减少极小值单调增加函数的极小值是。(5)解：函数的定义域[0,+∞),一阶导数，得到驻点。列表如下：10+单调减少极小值单调增加函数的极小值是。（6）解：函数的定义域，令得驻点为。列表如下：20+单调减少极小值单调增加函数的极小值是。4.当若为何值时，函数在处取得极小值。解：因为函数在处取得极小值，所以是函数的驻点。而由可得，再由，即得，将代入得。5.求下列函数在给定区间上的最大值与最小值。(1)解：计算函数的一阶导数令一阶导数，得驻点计算函数在驻点及两个端点处的函数值,,比较这些函数值的大小，得到最大者，最小者。所以，函数在闭区间的最大值为，最小值为。(2)解:计算函数的一阶导数令一阶导数，得驻点，计算函数在驻点及两个端点处的函数值,,,比较这些函数值的大小，得到最大者，最小者。所以，函数在闭区间的最大值为，最小值为。(3)解：计算函数的一阶导数令一阶导数，得驻点且函数在处不可导。计算函数在驻点，不可导的点及两个端点处的函数值,,比较这些函数值的大小，得到最大者，最小者。所以，函数在闭区间的最大值为，最小值为。(4)解：计算函数的一阶导数令一阶导数，得驻点，计算函数在驻点及两个端点处的函数值,,,比较这些函数值的大小，得到最大者，最小者。所以函数在闭区间的最大值为，最小值为。6．有一个边长为48厘米的正方形铁皮，四角各截去一个大小相同的正方形，然后将四边折起做成一个方形的无盖容器，问截去的小正方形的边长为多大时，所得容器的容积最大？解：设截下的小正方形的边长为厘米，则方形容器的底边为，高为，于是容积等于,令，得驻点，由于不在定义域内，故舍去。只需考察驻点。当时，，当时，，所以函数在处取得极大值（立方厘米）。是函数在内的惟一极大值点，所以是在上的最大值。因此，当被截去的小正方形的边长等于8（厘米）时，容器容积最大，最大容积为（立方厘米）。7.某产品总成本（单位：万元）为年产量（单位：吨）的函数其中味待定常数。已知固定成本为400万元，且当年产量时，总成本，问年产量为多少时，才能使得平均单位成本最低？最低单位成本值为多少？解：由于总成本，从而当产量时的总成本，说明常数项为固定成本，因此将已知条件：时，代入到总成本函数中，得到从而可确定常数所以，总成本函数表达式为于是，平均单位成本函数为计算一阶导数令一阶导数，得到惟一驻点，再计算二阶导数于是，惟一驻点为极小值点，也是最小值点。此时所以，当年产量为200时，才能使得平均单位成本最低，为每吨4万元。8.某产品总成本（单位：元）为日产量（单位：千克）的函数产品销售价格为每千克元。它与日产量的关系为问日产量为多少时，才能使得每日产量全部销售后获得的总利润最大，最大利润值为多少?解：生产产品，以每千克元价格销售，总收益为又已知生产产品的总成本为于是，每日产量全部销售后得到的总利润为由于产量；又由于销售价格，即，得到，因此，总利润函数的定义域为。

计算一阶导数令一阶导数，得到惟一驻点为惟一极大值点，也是最大值点，此时所以，当日产量为45时，才能使得每日产量全部销售后获得的总利润最大，最大利润为800元。习题4.41.求下列曲线的凹凸区间和拐点：(1)解：函数的定义域，计算函数的一阶导数、二阶导数，令二阶导数，得到根，列表如下00+拐点所以，函数曲线的上凸区间为，下凸区间为，拐点为。(2)解：函数的定义域，计算函数的一阶导数、二阶导数，令二阶导数，得到根和。列表如下：10+0拐点拐点所以，函数曲线的上凸区间为和，下凸区间为，拐点为和。(3)解：函数的定义域，计算函数的一阶导数、二阶导数，令二阶导数，得到根，列表如下：00+拐点所以函数曲线的上凸区间为，下凸区间为，拐点为。（4）解：函数的定义域，计算函数的一阶导数、二阶导数，令二阶导数，得到根，列表如下：1+0拐点:所以函数曲线的下凸区间为，上凸区间为，拐点为。2．求下列曲线的渐近线：(1)解：由，可知是曲线的一条铅垂渐近线。又可知曲线的一条斜渐近线。(2)解：由，可知是曲线的一条铅垂渐近线。又，可知是曲线的一条水平渐近线。(3)解：由，且，可知及是曲线的两条铅垂渐近线。3.描绘下列函数的图形：(1)解：函数的定义域：；函数的单调性、凹凸性和拐点：令，得和。列表如下:000+曲线曲线间断曲线0曲线渐近线：由本节习题5.(1)知是曲线的一条铅垂渐近线。曲线的一条斜渐近线。描几个点：最后作出函数的图形如下：(2)解：定义域：函数的单调性、凹凸性和拐点：令，有，即。当时，，曲线上凸；当时，，曲线下凸；当时，，点为曲线的拐点。渐近线：因为所以和为两条水平渐近线。曲线称为逻辑斯蒂曲线，它是实际应用中的一条重要的曲线。习题4.5柯西中值定理与泰勒公式求函数在处的泰勒公式。解：，，，，，函数在处的泰勒公式是写出下列函数的麦克劳林公式：(1)解：(2)解：(3)解：3.设函数，求的带皮亚诺型余项的二阶泰勒公式。解：，求函数处的带皮亚诺型余项的二阶泰勒公式，并求。解：，因为所以利用泰勒公式求下列极限：（1）解：，(2)解：，(3)解：，(4)解：令，则当时，。6.试问下列函数当时是的几阶无穷小。(1);(2)(3)(4)解：（1），（一阶）（2），（三阶）（3），（三阶）（4），（四阶）综合习题4:一、填空选择题：1.设函数在开区间内二阶可导，且，，则函数曲线在开区间内（C）。（A）上升且是下凸的（B）下降且是下凸的（C）上升且是上凸的（D）下降且是上凸的2.若点为函数曲线的拐点，则常数的值为（A）。（A）（B）（C）（D）3.函数满足拉格朗日中值定理条件的区间是（D）。（A）（B）（C）（D）4.如果函数与对于区间内每一点都有，则在内必有（D）（A）（B）（为常数）（C）（D）（为常数）5.，则方程有（B）。（A）一个实根（B）二个实根（C）三个实根（D）无实根6.当时，，当时，，则必定为函数的（D）。（A）驻点（B）极大值点（C）极小值点（D）以上都不正确二．计算或证明题1.求下列函数的单调区间与极值:（1）解：函数的定义域，计算函数的一阶导数所以，函数在定义域上单调增加，无极值。（2）解：函数的定义域，计算函数的一阶导数令得驻点为且函数在点导数不存在。列表如下：0+不存在0+单调增加极值：单调减少单调增加所以，函数的单调减少区间是，单调增加区间为和，极大值是。2.计算下列函数的极限：(1)解：(2)解：(3)解：(4)解：3.证明下列不等式：（1）。证明：令，则所以函数当时单调增加，故既有：（2）证明：令，则所以函数当时单调减少，由，故既有：3.证明：设，则当时，，则单调增加，，即又由于，所以是偶函数，当时，也有故4.设在上可导，证明：至少存在一点，使得证明：利用常数法构造辅助函数。设，则，令则，在上满足罗尔定理条件，故存在，使得，由，即得5.某工厂生产某型号的车床，年产量为台，分若干批进行生产，每批生产准备费为元。设产品均匀投入市场，且上一批用完后立即生产下一批，即平均库存量为批量的一半。设每年每台库存费为元。求（1）一年中库存费与生产准备费的和与批量的函数关系。（2）在不考虑生产能力的条件下，每批生产多少台时，最小。解：（1）库存量=每件产品的库存量批量的一半=生产准备费=每批生产准备费批数=所以，一年中库存费与生产准备费的和为，（2）计算一阶导数，令一阶导数为零，即，得到唯一的驻点，（因为，所以舍去）再计算二阶导数，所以唯一驻点为唯一的极小值点，也是最小值点，所以，在不考虑生产能力的条件下，每批生产台时，一年中库存费与生产准备费的和最小。6.某化工厂日产能力最高位1000吨，每日产量的总成本为（单位：元）是日产量（单位：吨）的函数求当日量为100吨时的边际成本。求当日量为100吨时的平均单位成本。解：（1）边际成本函数为日产量为100吨时的边际成本为（2）平均单位成本为日产量为100吨时的平均单位成本为7.欲做一个容积为500立方米的无盖圆柱形蓄水池，已知池底单位造价为周围单位造价的两倍。问蓄水池的尺寸应如何设计才能使总造价最低？解：设圆柱形的蓄水池的底半径为r米，高为h米，则有设圆柱形蓄水池周围单位造价为每平米a元，圆柱形的蓄水池的底单位造价为每平米2a元，总造价为计算一阶导数，令一阶导数为零，即，得到唯一的驻点r=5,再计算二阶导数,,所以唯一驻点r=5为唯一的极小值点，也是最小值点，为最优解。此时圆柱形蓄水池的高h=10米，所以，圆柱形蓄水池的底半径r=5,高h=10米才能使得总造价最低。第五章不定积分习题5.11.求下列不定积分：(1)解:(2)解:(3)解:(4)解：(5)解：(6)解：(7)解：

(8)解：(9)解：(10)解：(11)解：（12）解：（13）解：(14)解：(15)解：(16)解：2.设曲线通过点，且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程．解：设曲线方程为，因为曲线任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数，所以满足：因而存在常数，使得又曲线通过点，所以有故，所以所求曲线方程为3.证明函数,和都是的原函数．证明：因为，，所以，函数,和都是的原函数．习题5.２1.求下列不定积分：（第一类换元法）（1）解:（2）解：（3）解：（4）解：（5）解：（6）解：（7）解：（8）解：（9）解：（10）解：（11）解：（12）解：（13）解：（14）解：(15)解：(16)解：(17)解：(18)解：(19)解：(20)解：(21)解：(22)解：(23)解：(24)解：=(25)解：(26)解：=(27)解：(28)解：(29)解：（30）解：(31)解:(32)解：2.求下列不定积分：（第二类换元法）(1)解：令，则=(2)解：令，则=2(3)解：令，则(4)解：令，则（5）解：令，则（6）解：令，，则(7)解：令，则(8)解：令，则=2习题5.31.求下列不定积分：(1)解：