同步优化设计2024年高中数学第二章圆锥曲线2.1双曲线及其标准方程课后篇巩固提升含解析北师大版选择性必修第一册

其次章圆锥曲线§2双曲线2.1双曲线及其标准方程课后篇巩固提升合格考达标练1.双曲线方程为x2-2y2=1,则它的右焦点坐标为()A.22,0 B.62,0 C.52,0 D.(3,0)答案B解析将双曲线方程化为标准方程为x2-y21∴a2=1,b2=12,∴c2=a2+b2=32,∴c=故右焦点坐标为62,0.2.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,若|PF1|-|PF2|=b,A.x24-y2=1 B.xC.x2-y24=1 D.x答案C解析由题意得|解得a则该双曲线的方程为x2-y24=3.已知双曲线x2λ-3+y22-λ=1,焦点在yA.32 B.5 C.7 D.答案D解析依据题意可知,双曲线的标准方程为y22-由其焦距为4,得c=2,则有c2=2-λ+3-λ=4,解得λ=124.已知双曲线x24-y25=1上一点P到左焦点F1的距离为10,则PF1的中点NA.3或7 B.6或14 C.3 D.7答案A解析连接ON,ON是△PF1F2的中位线,∴|ON|=12|PF2|∵||PF1|-|PF2||=4,|PF1|=10,∴|PF2|=14或|PF2|=6,∴|ON|=7或|ON|=3.5.如图,已知双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),点A,B均在双曲线的右支上,线段AB经过双曲线的右焦点F2,|AB|=m,F1为双曲线的左焦点,A.2a+2m B.4a+2m C.a+m D.2a+4m答案B解析由双曲线的定义,知|AF1|-|AF2|=2a,|BF1|-|BF2|=2a.又|AF2|+|BF2|=|AB|,所以△ABF1的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=4a+2|AB|=4a+2m.6.与圆x2+y2=1及圆x2+y2-8x+12=0都外切的圆P的圆心在()A.一个椭圆上 B.一个圆上C.一条抛物线上 D.双曲线的一支上答案D解析由x2+y2-8x+12=0,得(x-4)2+y2=4,画出圆x2+y2=1与(x-4)2+y2=4的图象如图,设圆P的半径为r,∵圆P与圆O和圆M都外切,∴|PM|=r+2,|PO|=r+1,则|PM|-|PO|=1<4,∴点P在以O,M为焦点的双曲线的左支上.7.以椭圆x23+y24=1答案y2-x23解析由题意知,双曲线的焦点在y轴上,设双曲线的标准方程为y2a2-x2b2=1,则a=1,c=2,所以b2=3,8.已知点F1,F2分别是双曲线x29-y216=1的左、右焦点,若点P是双曲线左支上的点,且|PF1|·|PF2|=32,则△F1答案16解析因为P是双曲线左支上的点,所以|PF2|-|PF1|=6,两边平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=36,所以|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|·|PF2|=36+2×32=100.在△F1PF2中,由余弦定理,得cos∠F1PF2=|PF所以∠F1PF2=90°,所以S△F1PF2=12|PF1|·9.已知与双曲线x216-y29=1共焦点的双曲线过点P-52,解已知双曲线x216则c2=16+9=25,∴c=5.设所求双曲线的标准方程为x2a2-y2b依题意知b2=25-a2,故所求双曲线方程可写为x2a2∵点P-52,-6在所求双曲线上,∴代入有(-5化简得4a4-129a2+125=0,解得a2=1或a2=1254当a2=1254时,b2=25-a2=25-1254=-25不合题意,舍去,∴a2=1,b2=24,∴所求双曲线的标准方程为x2-y224=等级考提升练10.“mn<0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案C解析因为mn<0,所以m,n均不为0且异号,方程mx2+ny2=1,可化为x21m+y21n=1,因为1m与1n异号,所以方程x21m+y21n=1表示双曲线,故“mn<0”是“方程mx2+ny2=1表示双曲线”的充分条件;反之,若mx2+ny2=1表示双曲线,则其方程可化为x21m+y21n=1,可知1m与1n异号,则必有mn<0,故“mn<011.已知平面内两定点A(-5,0),B(5,0),动点M满意|MA|-|MB|=6,则点M的轨迹方程是()A.x216-y29=1 B.C.x29-y216=1 D.答案D解析由|MA|-|MB|=6,且6<|AB|=10,得a=3,c=5,b2=c2-a2=16.故其轨迹为以A,B为焦点的双曲线的右支.所以点M的轨迹方程为x29-y21612.动圆与圆x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切,则动圆圆心的轨迹是()A.双曲线的一支 B.圆C.椭圆 D.双曲线答案A解析设动圆的圆心为M,半径为r,圆x2+y2=1与x2+y2-8x+12=0的圆心分别为O1和O2,半径分别为1和2,由两圆外切的充要条件,得|MO1|=r+1,|MO2|=r+2.∴|MO2|-|MO1|=1,又|O1O2|=4,∴动点M的轨迹是双曲线的一支(靠近O1).13.若双曲线x2n-y2=1(n>1)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上,且满意|PF1|+|PF2|=2n+2,则△PF1F2的面积为A.1 B.12 C.2 D.答案A解析设点P在双曲线的右支上,则|PF1|-|PF2|=2n,已知|PF1|+|PF2|=2n+2解得|PF1|=n+2+n,|PF2|PF1|·|PF2|=2.又|F1F2|=2n+1则|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,∴△PF1F2为直角三角形,∠F1PF2=90°,∴S△PF1F2=12|PF1|·14.已知左、右焦点分别为F1,F2的双曲线C:x2a2-y2=1(a>0)过点15,-63,点P在双曲线C上,若|PF1|=3,则|PF2|=(A.3 B.6 C.9 D.12答案C解析由左、右焦点分别为F1,F2的双曲线C:x2a2-y2=1(a>0)过点15,-63,可得15解得a=3,b=1,c=10,a+c>3,点P在双曲线C上,若|PF1|=3,可得P在双曲线的左支上,则|PF2|=2a+|PF1|=6+3=9.故选C.15.若曲线C:mx2+(2-m)y2=1是焦点在x轴上的双曲线,则m的取值范围为.

答案(2,+∞)解析由曲线C:mx2+(2-m)y2=1是焦点在x轴上的双曲线,可得x21即有m>0,且m-2>0,解得m>2.16.焦点在x轴上的双曲线经过点(42,-3),且Q(0,5)与两焦点的连线相互垂直,则此双曲线的标准方程为.

答案x216解析设焦点F1(-c,0),F2(c,0)(c>0),则由QF1⊥QF2,得kQF∴5c·5-c设双曲线的标准方程为x2a2-y2∵双曲线过点(42,-3),∴32a2-又c2=a2+b2=25,∴a2=16,b2=9,∴双曲线的标准方程为x216-17.已知双曲线E:x216-y24=1的左、右焦点分别为(1)若点M在双曲线上,且MF1·MF2=0,(2)若双曲线C与双曲线E有相同的焦点,且过点(32,2),求双曲线C的方程.解(1)如图所示,不妨设点M在双曲线E的右支上,点M到x轴的距离为h,MF1则MF1⊥MF2,设|MF1|=m,|MF2|=n,由双曲线定义,知m-n=2a=8,①又m2+n2=(2c)2=80,②由①②得mn=8,∴12mn=4=12|F1F2|·∴h=25(2)设所求双曲线C的方程为x216-λ-y24+由于双曲线C过点(32,2),∴1816-解得λ=4或λ=-14(舍去),∴所求双曲线C的方程为x212-新情境创新练18.已知△OFQ的面积为26,且OF·FQ=m,其中O(1)设6<m<46,求OF与FQ的夹角θ(2)设以O为中心,F为其中一个焦点的双曲线经过点Q,如图所示,|OF|=c,m=64-1c2,当|OQ|取得最小值时,求此双曲线的标准方程.解(1)因为1所以tanθ=46又6<m<46,所以1<tanθ<4,即tanθ的取值范围为(1,4).(2)