2023-2024学年上海大学附中高二（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年上海大学附中高二（下）期中数学试卷一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.抛物线C的方程为y2=tx，(t>0)，焦点为F，点A(3,m)为C上一点，且|AF|=4，则t的值为(

)A.1 B.2 C.4 D.82.某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲必须参加且不担任四辩，则不同的安排方法种数为(

)A.180 B.120 C.90 D.2403.下列命题正确的有(    )个．

(1)函数f(x)在R上存在导函数.且f(x)在R上为严格增函数.则f′(x)>0对所有的x∈R恒成立

(2)周期函数f(x)在R上存在导函数，则导函数f′(x)也为周期函数

(3)定义在R上的函数f(x)，满足f(0)=0且f′(x)>2对所有的x∈R恒成立，则f(x)>2x对所有x>0恒成立A.3 B.2 C.1 D.04.已知圆(x+2)2+y2=9的圆心为C，过点M(2,0)且与x轴不重合的直线l交圆C于A、B两点，点A在点M与点B之间，过点M作直线AC的平行线交直线BC于点PA.圆的一部分 B.椭圆的一部分 C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分二、填空题：本题共12小题，共54分。5.已知等差数列{an}，a1+a6.已知直线l的方程为2x+y+1=0，则直线l的倾斜角为______．7.函数f(x)=xex的极值点为______．8.若排列数P6m=6×5×4，则m=9.已知空间向量a=(x,1,−2)与b=(1,−1,2)夹角为钝角，则实数x的取值范围为______．10.若无论实数a取何值，直线ax−y+1=0与圆x2+y2=11.已知全集U={1,2}，集合A，B为U的子集，则有序集合(A,B)一共有______组.12.关于x的方程lnx=kx2(k∈R)有两个不同实数根，则k13.若函数f(x)=cosxsinx+acosx在[0,π]上为严格增函数，则实数a的取值范围为______．14.给定数列{an},an=−n15.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1、F2，椭圆C的弦ST与UV分别平行于x轴与y轴，且相交于点P.已知线段PU，PS，PV，PT的面积为______．16.已知空间向量a,b,c,e均为单位向量，且a与b夹角为π2,a三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题14分)

已知函数f(x)=ex−2x．

(1)求函数在点(0,1)处的切线方程；

(2)求18.(本小题14分)

已知数列{an}，它的通项公式为an=3⋅2n+a2n．

(1)若a=0，求数列19.(本小题14分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠BAD=90°，AD//BC，AB=2，AD=1，PA=BC=4，PA⊥平面ABCD．

(1)求异面直线BD与PC所成角的大小；

(2)求二面角A−PC−D的余弦值．20.(本小题18分)

已知椭圆Γ：x24+y23=1的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线l与椭圆Γ相交于P、Q．

(1)求△F1PQ的周长；

(2)设点A为椭圆Γ的上顶点，点P在第一象限，点M在线段AF2上，若F1M=23F1P，求点21.(本小题18分)

已知函数f(x)=x3−3ax．

(1)若a=2，求函数的严格减区间；

(2)若方程x3−3ax=13x4−8x2在实数集上有四个解，求实数a的取值范围；

(3)若a=1，数列{an参考答案1.C

2.A

3.B

4.C

5.4

6.π−arctan2

7.x=−1

8.3

9.(−∞,−1)∪(−1,5)

10.[1,+∞)

11.16

12.(0,113.(−∞,−1]

14.4

15.1516.17+617.解：(1)f(x)=ex−2x，故可得f′(x)=ex−2，

所以f(0)=1，f′(0)=−1，

故f(x)在(0,1)点处的切线方程为y−1=−(x−0)，即x+y−1=0；

(2)f(x)=ex−2x，

则f′(x)=ex−2，

令f′(x)=0，解得x=ln2，

故当x∈(−∞,ln2)，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(ln2,+∞)，f′(x)>0，f(x)18.解：(1)当a=0时，an=3×2n，

则1an=13×12n，

所以数列{1an}的各项和为13×12(1−12n)1−12=1−1219.解：(1)∵在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠BAD=90°，

AD//BC，AB=2，AD=1，PA=BC=4，PA⊥平面ABCD．

∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，

B(2,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,4)，C(2,4,0)，

BD=(−2,1,0)，PC=(2,4,−4)，

∵BD⋅PC=−4+4+0=0，∴BD⊥PC，

∴异面直线BD与PC所成角的大小为π2．

(2)AP=(0,0,4)，AC=(2,4,0)，

DP=(0,−1,4)，DC=(2,3,0)，

设平面APC的法向量n=(x1,y1,z1)，

则n⋅AP=4z1=0n⋅AC=2x1+4y1=0,

取20.解：(1)由题意可得a=2，

则△F1PQ的周长=|PF1|+|QF1|+|PQ|=|PF1|+|QF1|+|PF2|+|QF2|=4a=4×2=8，

(2)设P(x0,y0)，0<x0<2，

∴x024+y023=1，

∵A(0,3)，F2(1,0)，

∴直线AF的方程为y=−3x+3，

设M的坐标为(xM,yM)，

∴yM=−3xM+3，

∵F1M=23F1P，

∴(xM+1,yM)=23(x0+1,y0)，

∴x21.解：(1)当a=2时，f(x)=x3−6x，函数的定义域为R，

可得f′(x)=3x2−6=3(x2−2)，

令f′(x)<0，

解得−2<x<2，

则函数f(x)的单调递减区间为(−2,2)；

(2)易知x=0是方程x3−3ax=13x4−8x2的一个解，

此时方程x2−3a=13x3−8x有三个解，

不妨设g(x)=13x3−x2−8x,y=−3a，函数定义域为R，

可得g′(x)=x2−2x−8=(x+2)(x−4)，

当x<−2时，g′(x)>0，g(x)单调递增；

当−2<x<4时，g′(x)<0，g(x)单调递减；

当x>4时，g′(x)>0，g(x)单调递增，

又g(−2)=13×(−2)3−(−2)2−8×(−2)=283，g(4)=13×43−42−8×4=−803，

当x→−∞时，g(x)→−∞；当x→+∞时，g(x)→+∞，

此时函数g(x)=13x3−x2−8x与y=−3a有3个