2023-2024学年湖南长沙麓山国际实验校中考一模数学试题含解析

2023-2024学年湖南长沙麓山国际实验校中考一模数学试题

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.已知〃1+,〃=1—,则代数式+//_的值为（）

A.±3B.3C.5D.9

2.七年级1班甲、乙两个小组的14名同学身高（单位：厘米）如下：

甲组158159160160160161169

乙组158159160161161163165

以下叙述错误的是（）

A.甲组同学身高的众数是160

B.乙组同学身高的中位数是161

C.甲组同学身高的平均数是161

I）.两组相比，乙组同学身高的方差大

3.小明和小张两人练习电脑打字，小明每分钟比小张少打6个字，小明打120个字所用的时间和小张打180个字所用

的时间相等.设小明打字速度为x个/分钟，则列方程正确的是（）

120180

4.如图，AABC内接于OO,AD为。O的直径，交BC于点E,若DE=2,OE=3,则tanNACB-tanNABC=()

5.有6个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（）

金和方向

c

6.一元二次方程f+2x+4=0的根的情况是（）

A.有一个实数根B.有两个相等的实数根

C.有两个不相等的实数根D.没有实数根

7.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架弟子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4

米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为（）

A.0.7米B.1.5米C.2.2米D.2.4米

8.如图是由四个相同的小正方体堆成的物体，它的正视图是（）

庙

1

A.+B•日二C.田|，明

9.已知线段AB=8cm,点C是直线AB上一点，BC=2cm,若M是AB的中点，N是BC的中点，则线段MN的长

度为（）

A.5cmB.5cm或3cmC.7cm或3cmI).7cm

10.等腰RtZxABCW,/6AC=90°,D是AC的中点，蔗_16。于旧，交9人的延长线于F,若叱=12,则“3C

的面积为（）

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.如图，CB=CA,ZACB=90°,点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FGJ_CA,

交CA的延长线于点G,连接FB,交DE于点Q,给出以下结论:①AC=FG；②SAFAB：S四边形CBFG=1：2；③NABC=NABF；

®AD2=FQ*AC,其中正确的结论的个数是.

12.反比例函数y=&的图象经过点（1,6）和（，七一3）,则，〃=.

X

13.在“三角尺拼角”实验中，小明同学把一副三角尺按如图所示的方式放置，则Nl=1

14.已知一粒米的质量是1.111121千克，这个数字用科学记数法表示为.

15.如图，这是一幅长为3m,宽为1m的长方形世界杯宣传画，为测量宣传画上世界杯图案的面积，现将宣传画平铺

在地上，向长方形宣传画内随机投掷骰子（假设骰子落在长方形内的每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，

发现骰子落在世界杯图案中的须率稳定在常数0.4附近，由此可估计宣传画上世界杯图案的面积约为

16.在不透明的口袋中有若干个完全一样的红色小球，现放入10个仅颜色不同的白色小球，均匀混合后，有放回的随

机摸取30次，有10次摸到白色小球，据此估计该口袋中原有红色小球个数为____.

17.据国家旅游局数据中心综合测算，2018年春节全国共接待游客3.86亿人次，将“3.86亿“用科学计数法表示，可记

为.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）如图，在RtAABC中，ZC=90°,O为BC边上一点，以OC为半径的圆O,交AB于D点，且AD=AC,

延长DO交圆O于E点，连接AE.求证：DE_LAB；若DB=4,BC=8,求AE的长.

19.(5分)(1)解方程：x2-5x-6=0；

.r+4<3(x+2)

(2)解不等式组：\x-]x

-------<—

23

20.(8分)如图，四边形ABCD内接于圆,对角线AC与BD相交于点E,F在AC±,AB=AD,ZBFC=ZBAD=2ZDFC.

求证：

(1)CD1DF；

3

21.(10分)如图，在平面直角坐标中，点O是坐标原点，一次函数yi=kx+b与反比例函数y2=—(XA0)的星象交于

x

A(1,m)、B(n,1)两点.

(1)求直线AB的解析式；

(2)根据图象写出当”>y2时，x的取值范围；

(3)若点P在y轴上，求PA+PB的最小值.

22.(10分)在甲、乙两个不透明的布袋里，都装有3个大小、材质完全相同的小球，其中甲袋中的小球上分别标有

数字1,1，2；乙袋中的小球上分别标有数字-1,-2,1.现从甲袋中任意摸出一个小球，记其标有的数字为x,再

从乙袋中任意摸出一个小球，记其标有的数字为y,以此确定点M的坐标(x,y).请你用画树状图或列表的方法，

写出点M所有可能的坐标；求点M(x,y)在函数的图象上的概率.

23.(12分)在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点B的坐标为(0,4),BC平分NABO交x轴于

点C(2,0).点P是线段AB上一个动点(点P不与点A,B重合)，过点P作AB的垂线分别与x轴交于点D,与

y轴交于点E,DF平分NPDO交y轴于点F.设点D的横坐标为t.

(1)如图1,当0VtV2时，求证：DF〃CB；

(2)当tVO时，在图2中补全图形，判断直线DF与CB的位置关系，并证明你的结论;

(3)若点M的坐标为(4,4),在点P运动的过程中，当△MCE的面积等于ABCO面积的(倍时，直接写出此时

24.(14分)已知关于x的方程(+(lk-1)x+k-l=O有两个实数根治，xi.求实数k的取值范围；若xi,xi满足

xj+xj=16+xixi,求实数k的值.

参考答案

一、选择题(每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分)

1、B

【解析】

由已知可得：+n=2,mn=(1+\/2)(1—>/2)=-1,+n~+〃)？-5〃?〃•

【详解】

由已知可得："7+〃=2,〃〃7=(1+拉)(1-0)=-1,

原式=1(/"+〃)2-5〃"7=722-5x(-1)=如=3

故选：B

【点睛】

考核知识点：二次根式运算.配方是关键.

2、I)

【解析】

根据众数、中位数和平均数及方差的定义逐一判断可得.

【详解】

A.甲组同学身高的众数是160,此选项正确:

B.乙组同学身高的中位数是161,此选项正确:

158+159+160x3+161+169

C.甲组同学身高的平均数是=161,此选项正确;

7

Q（\34

I）.甲组的方差为与，乙组的方差为亍，甲组的方差大，此选项错误.

故选D.

【点睛】

本题考查了众数、中位数和平均数及方差，掌握众数、中位数和平均数及方差的定义和计算公式是解题的关键.

3、C

【解析】

解：因为设小明打字速度为x个/分钟，所以小张打字速度为（x+6）个/分钟，根据关系：小明打120个字所用的时间

和小张打180个字所用的时间相等,

180

可列方程得—=-->

xx+6

故选C.

【点睛】

本题考查列分式方程解应用题，找准题目中的等量关系，难度不大.

4、C

【解析】

如图（见解析），连接BD、CD,根据圆周角定理可得=4乙再根据相似三角形的判定

ACCEARAF

定理可得MCE〜MOE,然后由相似三角形的性质可得,同理可得）==；又根据圆周角定理可得

BDDECDCE

An人「

ZABD=ZACD=90°,再根据正切的定义可得lan/AC8=lan/AO8=——,lan/ABC=lan/A。。=—,然

BDCD

后求两个正切值之积即可得出答案.

【详解】

如图，连接BD、CD

/.ZACB=ZADB,乙ABC=ZADC

ZACE=NBDE

在MCE和ABZ无中，」

NAEC=/BED

:2CE~^BDE

ACCE

~BD~~DE

DE=ZOE=3

.•.OA=OD=DE+OE=5,AE=OA+OE=8

ACCE

同理可得：MBE〜ACDE

ABAEAB8

..----=----,即Bn----=----

CDCECDCE

•「AD为OO的直径

:.ZABD=ZACD=90°

tanZACB=tanNADB=—,tan/ABC=tanZADC=—

B2DCD

AB

八〜/ACABCE

tanNACB-tanZ.ABC=------------=-------------=A

BDCDBDCD2CE=4

故选：C.

【点睛】

本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定定理与性质、正切函数值等知识点，通过作辅助线，结合圆周角定理得出

相似三角形是解题关键.

5、C

【解析】

试题分析：根据主视图是从正面看得到的图形，可得答案.

解：从正面看第一层三个小正方形，第二层左边一个小正方形，右边一个小正方形.

故选C.

考点：简单组合体的三视图.

6、I)

【解析】

试题分析：△=22・4X4=-12<0,故没有实数根;

故选D.

考点：根的判别式.

7、C

【解析】

在直角三角形中利用勾股定理计算出直角边，即可求出小巷宽度.

【详解】

在RtAA'BD中，•.•NA'DB=90°,A'D=2米，BD2+A,D2=A,B,2,/.BD2+22=6.25,ABD2=2.25,VBD>0,..BD=1.5

米,，CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米.故选C.

【点睛】

本题考查勾股定理的运用，利用梯子长度不变找到斜边是关键.

8、A

【解析】

【分析】根据正视图是从物体的正面看得到的图形即可得.

【详解】从正面看可得从左往右2列正方形的个数依次为2,1,

如图所示:

故选A.

【点睛】本题考查了三视图的知识，正视图是从物体的正面看得到的视图.

9、B

【解析】

(1)如图1,当点C在点A和点B之间时，

•.•点M是AB的中点，点N是BC的中点，AB=8cm,BC=2cm,

11

.\MB=-AB=4cm,BN=-BC=lcm,

22

/.MN=MB-BN=3cm；

(2)如图2,当点C在点B的右侧时，

丁点M是AB的中点，点N是BC的中点，AB=8cm,BC=2cm,

11

.\MB=-AB=4cm,BN=-BC=lcm,

22

/.MN=MB+BN=5cm.

综上所述，线段MN的长度为5cm或3cm.

故选B.

AMCNBAMBNC

即图2

点睛：解本题时，由于题目中告诉的是点C在直线AB上，因此根据题目中所告诉的AB和BC的大小关系要分点C

在线段AB上和点C在线段AB的延长线上两种情况分析解答，不要忽略了其中任何一种.

10、C

【解析】

VCFIBD,/.ZBFF=90%V/RAC=90°,/./CAF=90°,

AZFAC=ZBAD=90%ZABD+ZF=90°,ZACF+ZF=90°,

・・・NABD=NACF,

又・.・AB=AC,AAABD^AACF,AAD=AF,

VAB=AC,D为AC中点，AAB=AC=2AD=2AF,

VBF=AB+AF=12,.\3AF=12,，AF=4,

.\AB=AC=2AF=8,

：•SAEBC="xBFxAC=-xl2x8=48,故选C.

22

二、填空题(共7小题，每小题3分，满分21分)

11、®®®®.

【解析】

由正方形的性质得出NK4O=90。，AD=AF=EF,证出NC4D=NAFG,白AAS证明△0△ACD,得出AC=

FG,①正确；

证明四边形C3FG是矩形，得出52£48=,尸8•尸G=1S四边形C8产G,②正确；

22

由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出N4VC=NA5/=45。，③正确；

证出AACDs△产E。，得出对应边成比例，得出④正确.

【详解】

解：•・•四边形AOE尸为正方形，

，NE4D=90。，AD=AF=EF,

；.NC4O+NE4G=90。，

VFGLCA,

；.NGA尸+N4尸G=90°,

工NCAD=NAFG,

在和△4CO中，

ZG=ZC

4AFG=4CAD,

AF=AD

工MGAdACD(AAS),

**»AC=FG,①正确；

•;BC=AC,

；.FG=BC,

VZAC£f=90°,FG±CAt

：.FG//BC,

.••四边形C8FG是矩形，

=

**•NCBF=90°,SAFAB—FB*FG=—S四姚CBFG，②正确；

22

•：CA=CB,NC=NCBF=90。,

：,ZABC=ZABF=45°t③正确：

VZFQE=ZDQB=ZADC,NE=NC=90°,

•••△AC"△尸EQ,

/.AC：AD=FE：FQ,

2

AD»FE=AD=FQ^ACf④正确：

故答案为①@③④.

【点睛】

本题考查了相似二角形的判定与性质、全等二角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角二角

形的性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键.

12、-1

【解析】

先把点（1,6）代入反比例函数¥=七，求出k的值.进而可得出反比例函数的解析式，再把点（m,・3）代入即可得

X

出m的值.

【详解】

解：.••反比例函数产上的图象经过点（1,6）,

x

k

••6=—,解得k=6,

・♦•反比例函数的解析式为y=9.

x

・・♦点（m,・3）在此函数图象上上，

-3=—,解得m=-L

m

故答案为-1.

【点睛】

本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此

题的关键.

13、1

【解析】

试题分析：由三角形的外角的性质可知，/1=90。+30。=1。，故答案为1.

考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理.

14、2Jxl（T'

【解析】

绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为axl「n,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是

负指数黑，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的1的个数所决定.

【详解】

解：1.111121=2.1xll-2.

故答案为：2.1X11」.

【点睛】

本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为axil,其中1£囿＜11,n由原数左边起第一个不为零的数字前面

的1的个数所决定.

15、1.4

【解析】

由概率估计图案在整副画中所占比例，再求出图案的面积.

【详解】

估计宣传画上世界杯图案的面积约为3xlx(1.4=1.4mL

故答案为1.4

【点睛】

本题考核知识点：几何概率.解题关键点：由几何概率估计图案在整副画中所占比例.

16、20

【解析】

利用频率估计概率，设原来红球个数为x个，根据摸取30次，有10次摸到白色小球结合概率公式可得关于x的方程,

解方程即可得.

【详解】

设原来红球个数为x个，

解得，x=20,

经检验x=20是原方程的根.

故答案为20.

【点睛】

本题考查了利用频率估计概率和概率公式的应用，熟练掌握概率的求解方法以及分式方程的求解方法是解题的关键.

17、3.86x108

【解析】

根据科学记数法的表示(axion,其中lw|a|V10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少

位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值N1时，n是非负数；当原数的绝对值VI时，n是负数)形式

可得：

3.86亿=386000000=3.86x108.

故答案是：3.86x10s.

三、解答题(共7小题，满分69分)

18、(1)详见解析：⑵60

【解析】

(1)连接CD,证明NODC+N4DC=9(产即可得到结论；

(2)设圆O的半径为口在RMBDO中，运用勾股定理即可求出结论.

【详解】

(1)证明：连接CD,

*/OD=OC

・•・ZODC=ZOCD

AD=AC

/.ZADC=ZACD

NOCD+ZACD=90°,二/QDC+ZADC=90,/.DE1AB.

(2)设圆O的半径为L.H+产=(8-r)，)=3,

：

设AD=AC=x,.-.X2+8:=(x+4),.-.x=6,/.AE=V62+6:=6&.

【点睛】

本题综合考查了切线的性质和判定及勾股定理的综合运用.综合性比较强，对于学生的能力要求比较高.

19、(1)xi=6,X2=-1；(2)-1<X<1.

【解析】

(1)先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可;

(2)先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集即可.

【详解】

(1)x2-5x-6=0,

(x-6)(x+1)=0,

x-6=0,x+l=0,

Xi=6,X2=-1;

X+443(X+2)①

(2)x-lXd

23

•・♦解不等式①得：史-1,

解不等式②得：x<l,

・•・不等式组的解集为-1qVI.

【点睛】

本题考查了解一元一次不等式组和解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解(1)的关键，能根据

不等式的解集找出不等式组的解集是解(2)的关键.

20、(1)详见解析；(2)详见解析.

【解析】

(1)利用在同圆中所对的弧相等，弦相等，所对的圆周角相等，三角形内角和可证得NCDF=90。，则CD_LDF；

(2)应先找到BC的一半，证明BC的一半和CD相等即可.

【详解】

证明：(1)VAB=AD,

二弧AB=MAD,ZADB=ZABD.

VZACB=ZADB,ZACD=ZABD,

:.ZACB=ZADB=ZABD=ZACD.

.\ZADB=(180°-ZBAD)4-2=900-ZDFC.

AZADB+ZDFC=90°,即NACD+NDFC=90°,

ACDIDF.

(2)过F作FG_LBC于点G,

VZACB=ZADB,

又,.,NBFC=NBAD,

:.ZFBC=ZABD=ZADB=ZACB.

/.FB=FC.

・・・FG平分BC,G为BC中点，NGFC=L/BAD=NDFC,

2

;在△FGC和△DFC中，

NGFC=NDFC

<FC=FC

ZACI3=ZACD,

AAFGC^ADFC(ASA),

；.CD=GC=LBC.

2

ABC=2CD.

'D

B

【点睛】

本题用到的知识点为：同圆中，相等的弧所对的弦相等，所对的圆周角相等，注意把所求角的度数进行合理分割；证

两条线段相等，应证这两条线段所在的三角形全等.

21、(1)y=-x+4；(2)1<X<1；(1)2y/5.

【解析】

(1)依据反比例函数yz=3(x>0)的图象交于A(1,m)、B(n,1)两点，即可得到A(b1)、B(1,1),代入一

X

次函数yi=kx+b,可得直线AB的解析式；

(2)当IVxVI时，正比例函数图象在反比例函数图象的上方，即可得到当山>也时，x的取值范围是IVxVI：

(1)作点A关于y轴的对称点C,连接BC交y轴于点P,则PA+PB的最小值等于BC的长，利用勾股定理即可得

到BC的长.

【详解】

3

(1)A(1,m)、B(n,1)两点坐标分别代入反比例函数丫2=—(x>0),可得

x

in=l,n=L

・••A(1,1)、B(1,1),

把A(1,1)、B(1,1)代入一次函数》『kx+b,可得

3=k+b伙=-1

〈r,「解得，,，

\=3k+b[b=4

・,•直线AB的解析式为y=-x+4；

(2)观察函数图象，发现：

当IVxVI时，正比例函数图象在反比例函数图象的上方，

・••当yi>〉2时，x的取值范围是IVxVI.

(I)如图，作点A关于y轴的对称点C,连接BC交y轴于点P,则PA+PB的最小值等于BC的长，

过C作y轴的平行线，过B作x轴的平行线，交于点D,则

\0N'x

RtABCD中，BC=J。02+BD?=正+4?=2石，

APA+PB的最小值为24.

【点睛】

本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，根据函数图象的上下位置关系结合交点的横坐标，得出不等式的取

值范围是解答此题的关键.

22、(1)树状图见解析，则点M所有可能的坐标为：(1,-1),(1,-2),(1,1),(1,-1),(1,-2),(1,1),

(2,-1),(2,-2),(2,1)；(2)j.

【解析】

试题分析：(1)画出树状图，可求得所有等可能的结果；(2)由点M(x,y)在函数y=■:的图象上的有：(1,-2),

(2,-1),直接利用概率公式求解即可求得答案.

试题解析：(1)树状图如下图：

乙袋-1-20-1-20-1-2°

则点M所有可能的坐标为：(1,-1),(1,-2),(1,1),(1,-1),(1,-2),(1,1),(2,-1),(2,-2),(2,

1);(2)点M(x,y)在函数y=・*|的图象上的有：(1,-2),(2,-1),

二点M(x,y)在函数y=■三的图象上的概率为：=.

U9

考点：列表法或树状图法求概率.

23、(1)详见解析；(2)详见解析；(3)详见解析.

【解析】

(1)求出NPBO+/PDO=180。，根据角平分线定义得出NCBO=，NPBO,ZODF=-ZPDO,求出

22

ZCBO+ZODF=90°,求出NCBO=NDFO,根据平行线的性质得出即可；

(2)求出NABO=NPDA,根据角平分线定义得出NCBO=；NABO,ZCDQ=yZPDO,求出NCBO=NCI)Q,推

出NCDQ+NDCQ=90。，求出NCQD=90。，根据垂直定义得出即可；

(3)分为两种情况：根据三角形面积公式求出即可.

【详解】

(1)证明；如图1.

•.•在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点B的坐标为(0,4),

/.ZAOB=90°.

•・・DP_LAB于点P,

:.ZDPB=90c,

•・•在四边形DPBO中，ZDPB+ZPBO+ZBOD+ZPDO=360°,

.•.ZPBO+ZPDO=180°,

YBC平分NABO,DF平分NPDO,

.,.ZCBO=-ZPBO,ZO