湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题 含解析

2024年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考高一数学试卷命题学校：黄石二中命题教师：李朝盛王小平审题学校：蕲春一中审题教师：周强锋考试时间：2024年11月11日上午08：00—10：00试卷满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列各组对象不能构成集合的是（）A.中国古代四大发明 B.所有无理数C.2024年高考数学难题 D.小于的正整数【答案】C【解析】【分析】根据题意利用集合中元素具有确定性的性质，对选项逐一判断可得结论.【详解】对于A，中国古代四大发明是指造纸术、指南针、火药、印刷术，满足集合定义，即A能构成集合；对于B，所有无理数定义明确，即B能构成集合;对于C，2024年高考数学难题定义不明确不具有确定性，不符合集合的定义，即C构不成集合；对于D，小于的正整数只有1，2，3，具有确定性，满足集合定义，即D能构成集合.故选：C2已知集合，，则（）A B.C. D.【答案】D【解析】【分析】解不等式化简集合，再利用交集的定义求解即得.【详解】依题意，，而，所以.故选：D3.已知函数是幂函数，且在(0,+∞)上递增，则实数（）A.2 B. C.4 D.2或【答案】B【解析】【分析】利用幂函数的定义求出m值，再由单调性验证即得.【详解】因函数是幂函数，则，即，解得或，当时，函数在(0,+∞)上递增，则，当时，函数在(0,+∞)上递减，不符合要求，实数.故选：B4.已知是定义在上的减函数，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据的定义域以及单调性可得，满足的条件，由此即可解得的范围．【详解】由题意，函数是定义在上的减函数，因为得，解得，所以x的取值范围是.故选：A.5.若，，，则的最小值为（）A.1 B.3 C.6 D.9【答案】B【解析】【分析】利用乘“1”法即可求出最值.【详解】根据题意可得当且仅当即时，等号成立，此时最小值为3.故选：B.6.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.下面的图象对应的函数可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】首先由函数的定义域排除CD，再由时，排除A，即可得答案.【详解】由图象可知，函数的定义域为，因为的定义域为，所以排除C，因为的定义域为，所以排除D，因为当时，，所以排除A，故选：B7.已知函数，若关于x的不等式的解集为空集，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】令，求出不等式的解，再代入判断列式求解.【详解】函数，设，不等式为，即，解得，依题意，无解，即不等式无解，因此，解得，所以实数a的取值范围是.故选：C8.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉.函数称为高斯函数，其中，表示不超过x的最大整数，例如：，，则方程的所有大于零的解之和为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】，，使，可得，，分类讨论k为奇数和偶数的情况，求出k的值，再代入求解即可.【详解】，，使，则，于是，，若k为奇数，则，，，则，解得，或，当时，，，，，解得，当时，，，，，解得；若k偶数，则，则，，则，解得，或，当时，，，，，解得，当时，，，，，解得，所以所有大于零的解之和为.故选：D【点睛】结论点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18'分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.有下列四种说法，正确的说法有（）A.奇函数图象不一定过坐标原点B.命题“，”的否定是“，”C.若，则“”的充要条件是“”D.定义在上函数对任意两个不等实数a，b，总有成立，则在上是增函数【答案】AD【解析】【分析】对A举反例即可；对B，利用全称命题的否定为特称命题即可判断；对C，举反例即可；对D，根据单调性的定义即可判断.【详解】对于A，奇函数的图象不一定过坐标原点，如是奇函数，它的图象不过原点，所以A正确；对于B，命题“，”的否定是“”，B错误；对于C，若，则由不能推出故“”不是的充要条件，故C错误；对于D，根据题意知，时，，时，，由单调性的定义知，y=fx在R上是增函数，D正确故选：AD.10.已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（）A. B.的解集为C. D.的解集为【答案】BCD【解析】【分析】根据给定条件，可得，再给一元二次不等式的求解逐项判断即得.【详解】由不等式的解集为或，得且是方程的两个根，则，即，对于A，，A错误；对于B，不等式为，而，解得，B正确；对于C，，C正确；对于D，不等式为，即，解得D正确.故选：BCD11.已知函数的定义域为，对任意实数x，y满足：，且.当时，.则下列选项正确的是（）A. B.C.为奇函数 D.为上的增函数【答案】ABC【解析】【分析】对A直接赋值即可；对B，赋值即可；对C，利用奇偶性定义判断即可；对D，根据单调性的判断方法判断即可.【详解】对于A，由题可知故，故A正确；对于B，由题可知，故B正确；对于C，，故为奇函数，故C正确；对于D，当时，，∵∴fx是R上的减函数，故D错误故选：ABC.二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数的定义域为______.【答案】【解析】【分析】根据每个式子有意义的条件分别求出自变量的取值范围，再求交集即可.【详解】因为所以解得且，所以函数的定义域为(.故答案为：.13.已知集合，，若，则_________.【答案】【解析】【分析】根据题意利用集合中元素的互异性分类讨论即可求得结果.【详解】依题意可知，由于可知，此时，所以，解得或(舍去)即.故答案为：14.设函数关于x的方程有三个不等实根，且，则的取值范围是_________.【答案】【解析】【分析】画出函数图象，数形结合得到，，求出答案.【详解】画出函数的图象，观察图形知，仅当时，方程有三个不等实根，分别对应直线与图象三个交点的横坐标，其中两个交点位于二次函数图象上，不妨设，显然关于对称，则，另一个交点位于直线上，在中，当时，，即，因此，所以.故答案为：三、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字、证明过程或演算步骤.15.设全集，已知集合，.（1）若，求实数m的取值范围；（2）若“”是“”的充分条件，求实数m的取值范围.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）先求出集合，然后结合集合的交集运算即可求解；（2）由题意得，然后结合集合的包含关系即可求解．【小问1详解】由，解得，所以．因为，且，所以或，得或，所以实数的取值范围是或；【小问2详解】因为“”是“”的充分条件，所以，所以，解得，所以实数的取值范围是．16.用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小?并求出所用篱笆长度的最小值.【答案】等腰三角形腰长为，所用篱笆长度的最小值为.【解析】【分析】建立函数模型，利用基本不等式求解.【详解】设，上底，分别过点，作下底的垂线，垂足分别为，，则，，则下底，该等腰梯形的面积，所以，则所用篱笆长为当且仅当即，时取等号.所以，当等腰梯形的腰长为时，所用篱笆长度最小，其最小值为.17.函数的定义域为，且满足对于任意，有，当时，.（1）证明：是偶函数；（2）如果，解不等式.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）令，从而得到，即可证明；（2）通过赋值代换得，再证明其单调性，从而得到不等式组，解出即可.【小问1详解】因对定义域内的任意，有，令，则有，又令，得，再令，得，从而，于是有，所以是偶函数.【小问2详解】由于，所以，于是不等式可化为，由（1）可知函数是偶函数，则不等式可化为，设，则，由于，所以，所以，所以，所以，所以在上是增函数，所以可得，解得，所以不等式的解集为.18.已知函数为上的奇函数，且.（1）求实数的值；（2）试判断函数在区间的单调性，并说明理由；（3）求函数（其中）的值域.【答案】（1），；（2）函数在区间单调递增，理由见解析；（3）答案见解析【解析】【分析】（1）根据奇偶性定义以及函数值解方程可得结果；（2）利用单调性定义按照步骤即可证明在区间1,+∞单调递增；（3）由换元法得出函数的表达式，再由（2）中的结论得出其在上的单调性，利用二次函数性质分类讨论即可得出结果.【小问1详解】根据题意可得，即，可得；再由可得，解得；当，可得，经检验此时满足，为奇函数，所以，【小问2详解】取任意，且，则;由，可得，；所以，即可得，即函数在区间1,+∞的单调递增；【小问3详解】由，由(2)得当时，，所以，即，所以函数0,1上单调递减；因此函数在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，又函数为上的奇函数，所以函数的减区间为，递增区间为,当时，,令，有①当时，即，,此时函数的值域为;②当时，即时，可得此时函数的值域为③当时，即时，，此时函数的值域为④当时，即，，此时函数的值域为，综上所述，时，其值域为;当时，值域为当时，值域为；当时，值域为【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用换元法得出函数的表达式，再证明得出函数的单调性，利用二次函数性质分类讨论即可得出结果函数的值域.19.已知n为正整数，集合，对于中任意两个元素和，定义：；（1）当时，设，，写出，并计算；（2）若集合满足，且，，求集合S中元素个数的最大值，写出此时的集合S，并证明你的结论