2024届高考数学理科二轮复习专题突破：函数与导数

函数与导数

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.（2023广东高三学业考试）已知函数危户像::；'若修/总厕轲的值是（）

A.-2B.-lC.-D.；

102

2.（2023北京,4）下列函数中,在区间（0,+00）上单调递增的是（）

A.1/（x）=-lnxB：*x）今

C/D7U）=3LT

3.（2022天津,3）函数凡"的图象为（）

ABCD

4.（2022浙江,7）已知2“=5,1咱3=。,则4用二（）

A.25B.5C.-D.-

93

5.（2023福建漳州三模）英国物理学家和数学家牛顿曾提出物体在常温环境下温度（单位:℃）变化的冷却模型.

如果物体的初始温度是仇，环境温度是仇,则经过tmin物体的温度夕将满足0=%+（仇•%）e-"其中k是一个随

着物体与空气的接触情况而定的正常数.现有90°C的物体，若放在10°C的空气中冷却，经过lOmin物体的

温度为50℃,则若使物体的温度为20°C,需要冷却（）

A.17.5minB.25.5min

C.30minD.32.5min

6.（2023全国乙，文8）若函数人%）三？+成；+2存在3个零点，则”的取值范围是（）

A.（-oo,-2）Bg-3）

C.（-4,-DD.（-3,0）

7.（2023河北石家庄模拟）若曲线段）=3f・2与曲线g（x）=-2-〃”nx（〃¥0）存在公切线,则实数m的最小值为

（）

A.-6eB.-3eC.2\/eD.6e

8.(2021全国乙，理⑵设a=21n1.01,/?=ln1.02,c=VL04-l,RlJ()

\.a<b<cB.b<c<a

C.b<a<cD.c<a<b

二、选择题:本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得

5分,部分选对的得2分，有选错的得()分.

9.(2023山东临沂一模)已知«r)=/g(x)为定义在R上的偶函数,则函数仪工)的解析式可以为()

庆.蚣)=喏

B.^(x)=3x-3X

C展归+大

D.^(x)=ln(Vx2+1+x)

10.(2023山东河泽二模)已知RK2分别是函数人的=小：和g(x)=lnx—的零点，则()

.八1

A.0<xi<-

B.lnxi+lnX2=0

C.eX1lnX2=l

D.^<X|+X2<^

oN

11.(2023广东汕头二模)已知圆台的上下底面的圆周都在半径为2的球面上,圆台的下底面过球心，上底面半

径为"0<r<2),设圆台的体积为V.则下列选项中说法正确的是()

A.当r=l时,丫=7，5兀

B,存在最大值

C.当/•在区间(0,2)内逐渐增大时*逐渐减小

D.当「在区间(0,2)内逐渐增大时W光增大后减小

12.(2023山东滨州二模)函数产")在区间(g+oo)上的图象是一条连续不断的曲线,且满足

火3+幻次3㈤+6戈=0,函数川-2幻的色象关于点(0,1)对称，则()

AJU)的图象关于点(1,1)对称

B.8是7U)的一个周期

CJU)一定存在零点

D川01)=299

三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.

13.(2023全国甲，理13)若yU)=a-l)2+at+sin(x+以为偶函数，则折.

2

14.（2023广东湛江一模）若函数於）“，-"-。存在两个极值点xi内,且％2=2XI,贝ija=.

15.（2023广东深圳福田中学模拟）已知函数段）={j；：京;紫若./U）=m存在四个不相等的实根xi足用用，

且X|<V2Vx3VM则X4-（X|+X2）X3的最小值是.

16.（2021新高考〃,16）已知函数段）:-1|/<0/2>0,函数/）的图象在点4（即1/（即））和点8（必/8））的两条切

线互相垂直，且分别交），轴于M,N两点，则需的取值范围是.

四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）（2023峡西咸阳模拟）已知函数氏¥）=仙］x+x3.

⑴求曲线），=/㈤在点（1次1））处的切线方程；

⑵若M>\对任意的应机恒成立.，求实数m的取值范围.

18.（12分）（2021仝国甲，文20）设函数次x）=q2/+心31nx+l淇中a>0.

（1）讨论段）的单调性;

（2）若），二小）的图象与x轴没有公共点，求a的取值范围.

19.（12分）某工厂计划投资一定数额的资金生产甲、乙两种新产吊.甲产品的平均成本利润,”）（单位:万元）与

投资成本x（单位:万元）满足次此=竽+为常数,4力£R）;乙产品的平均成本利润g（x）（单位:万元）与投

资成本M单位:万元）满足:虱工）=手.已知投资甲产品为I万元,10万元时，获得的利润分别为5万元,16.515万

元•（平均成本利润二六）

⑴求〃力的值；

（2）若该工厂计划投入50万元用于甲、乙两种新产品的生产，每种产品投资不少于10万元,问怎样分配这50

万元，才能使该工厂获得最大利润?最大利润为多少万元？

（参考数据:In10-2.303,ln5kl.609）

20.（12分）（2023全国乙，文20）已知函数«r）=g+a）ln（l+x）.

⑴当〃=-1时，求曲线丁可⑴在点（1/））处的切线方程；

（2）若函数Ri）在（0,+8）单调递增，求a的取值范围.

21.（12分）（2023山东潍坊二模）已知函数凡i）=21na+l）-sinx.

（1）若/（.0在（0,十8）上周期为2兀,求2的值；

⑵当2=1时，判断函数府）在旨+co）上零点的个数；

⑶已知/U巨2（1七、）在x£[0,可上恒成立,求实数；的取值范围.

22.（12分）（2023全国乙，理21）已知函数於）:（3+a）ln（l+。

⑴当a=-l时，求曲线产儿r）在点（14））处的切线方程.

（2）是否存在。力，使得曲线y=/Q）关于直线对称?若存在，求公。的值;若不存在，说明理由.

⑶若心）在（0,+oo）存在极值点，求a的取值范围.

1.D解析a=f(^=\^=-1J(a)=J(-1)=2-'=1.

2.C解析因为y=lnx在(0,+s)上单调递增，所以_/U)=-lnx在(0,+8)上单调递减，故A错误；

因为产2，在(0,+8)上单调递增,旧在(0,+8)上单调递减，所以於)《在(0,+8)上单调递减，故B错误；

因为)W在(0,+8)上单调递减,所以凡1)=—在(0,+8)上单调递增，故C正确；

因为/Q)==3；=V3/1)=3|,',|=3°=1/2)=3|2-1|=3,

显然«i)=3卬”在(0,+8)上不单调，故D错误.故选C.

3.D解析函数,/(X)二号的定义域为3入¥0},

且/(_x)=d!=_K3=g),函数©为奇函数,A选项错误；

•XX

又当x<0时次x)=?^0,C选项错误；

当时色)=?=?=x3函数单调递增,B选项错误.故选D.

4.C解析因为2"=5/=log834og23,即23"=3,

所以产哥哆吟

5.C解析由题意得50=10+(90/0把一吗即e"号,

・••上靠n2,，。=%+(仇6”；叱

由20=10+(90-10)e^In2,^e^ln2=&

即=In2=ln^=-3ln2,解得f=30.

108

・•・若使物体的温度为20℃,需要冷却30min.

6.B解析令心)=0,得m=/+2,易知华),所以卬二子设四)二一,则函数段)存在3个零点等价于函数

g。尸子的图象与直线y=-a有三个不同的交点.

六号2当x>\时,g'(x)>0,函数仪幻在(1,+8)内单调递增，当A<l且/0时,g'(x)vO,函数且(工)在(-8,0),(0,1)

内单调递减，且g(l)=3,

当x从左侧趋近于0吐g(x)f8,当x从右侧趋近于0时,g(x)—+oo,当X—>+8吐g(.r)一+8,由此可作出函数g(x)

的大致图象，如图所示.

由国知，当.〃>3时，函数以.丫)=子的图象与直线y二-a有三个交点,即函数应¥)有3个零点，所以。<-3.故选B.

7.A解析因为儿r)=3P2,g(x)=2〃"nM〃M),

所以八x)=6x,g'(x)=W，

设公切线与曲线府)=3«-2相切『点(加,3无卜2),与曲线g(x)=-2-"?lnx相切于•点(必-2-/411X2)(X2>O),

所以6x-巴—・2・mln/2・(3好・2)_・7n[n42・3xj

乂2X2-Xj

所以"?=-6.bl2,所以6k=6"62E立3好,

必-必

所以x\=0或x\=2x2-2x2\n也，

因为"#0,所以为r0,所以X|=2.V2-2x2ln也，

所以zzz=-6(2.V2-2x21n^2)x2=12境InX2-\2蟾，

令尿x)=[2?lnx12?(x>0),则21nx1),

所以，当()<工<加时当%>在时,。3>0,

所以心)在(0,巫)上单调递减，在(花+8)上单调递增，

所以〃(x)min=/7(诧)=-6e,所以实数〃?的最小值为-6e.

8.B解析Va=lnL012=ln1.020l>ln1.02%,.••排除A,D.

令X-v)=ln(l+X)-(V1+2x-1)4>0,

则/(0.()2)=ln1.O2-(VTO4-1)=Z?-C.

..c，,K__l______2_“+2x-(l+x)

・J1)-l+x2>fl+2x~(l+x)Vl+2x，

当时,1+x=J(l+x)2=V1+2x+x2>Vl+2x,

・・ja)a,且/w不恒为o.

・・・加)在区间[0,+8)上单调递减,

/.J(0.02)</(0)=0,UPb-c<O^b<c.

令g(x)=2In(1+x)-(Vl+4x-1)/却、

则g(0.01)=21n1.01-(VL04-1)=«-C.

,・,，(.)=二_____4_2［旧石-(1+刈

・卜('~l+x2V1+4X-(l+x)/l+4x，

当0<r<2时XwZrnl+2^+式女］+2r+2ji,BP(1+x)2<1+4A；g'(A)>0在区间(0,2)内成立，且g'(x)不恒为0.

A式x)在区间［0,2)内单调递增,

:.g(0.01)>g(0)=0,即a-c>(),••・a>c.

综上可得故选B.

9.BD解析因为人幻=/以1)是偶函数，所以犬-幻=兀6,即g(-x)=-g(x),所以g(x)是定义在R上的奇函数.

对于A,定义域为(-1,1),所以不满足题意；

对于B,定义域为R,g(R=3"-3x=-式x),符合题意；

对于C,定义域为R,g(-x)W+百占=|+磊=!-击羊吆㈤,不符合题意；

对于D.定义域为R.g(-x)=ln(存~钉田,而gQjO+gaQlMyrFlR+lM"TN+xAO，即以-x)=-g(x),符合题

意.故选BD.

10.BCD解析令府)=0,得e"i=—,BPx\ex^=1田>0.令g(x)=O,得In%2二工，即对11x2=1,即(In

X1X2

X2)-(e,n孙)=1K2>1.记函数〃(x)=xe\x>0.则h'(x)=(x+1H>0,所以函数h(x)=xe^在(0,+co)上单调递增，因为

x

/?(A1)=xiex=l,/zQ)=l泥vl,所以立弓故A错误；

又h(x\)=x\ex'=又(InX2)=(lnX2)-(elnX2)=l,

所以为=lnX2,e，i=X2,所以InXi+lnx2=ln(xiX2)=ln(XieX1)=ln1=O,e'“n12二R1］*=1,故B,C正确；

又Z/(|)=泊>1所以用<泉结合xi+得沁i<|,因为1阳二1,所以工|+%2=汨+大且21<|,因为尸+：在

区司(30上单调递减,所以,+I+x~V*2,即+x2Vq，故D正确.

故选BCD.

H.BD解析设圆台的上底面的圆心为。i,下底面的圆心为。，点A为上底面圆周上任意一点，圆台的高为

九球的半径为R,如图所示，

则〃=001=JR2-(0]A)2=V4-r2,V=^(47r+V4Trnr2+7t/2)V4-r2=^(r2+2r+4)V4-r2(0<r<2),

当片1时,\/=卜(1+2+4»返=筝人错误；

V，q•二号等型,设人/)=_3d4/+4H8,则/⑺=一9户_"+4,

令/V)=0,解得rk耳亘/2=卓空，

易知/2£(0,2),且当r£(0/2)时/⑺>0；

当/•ESZ时/⑺<0g)在(0,2)内单调递增，在6,2)内单调递减曲40)=8")=5«2)=-24壬o£(l,2),使得

人⑹=0,当r£((Vo)次厂)>0,即V'X).

当/{(roZ^rKO.即WO,所以当，•在区间(0,2)内逐渐增大时W光增大，后减小，则B,D正确,C错误.

故选BD.

12.ACD解析对于A,由于川-2x)的图象关于点(0,1)对称，所以/U-2x)+./U+2x)=2,故川㈤+川+》)=2,所以

凡丫)的图象关于点(1,1)对称，故A正确；

由fl3+x)-j[3-x)+6A-0,f^fi3+x)+3x=j13-x)-3x^g(x)=y(3+x)+3.r,所以g(-x)=y(3-x)-3x,所以g(x)=g(-x),故g(x)

为偶函数，又/W的图象关于点(1,1)对称，所以外)+代工+2)=2,又危尸g(x-3)-3(x-3),从而

双"3)-33-3)+且(-工+2-3)-3(-/2-3)=2,所以双片3)+虱*1)=-1(),所以8。)的图象关于点(-2,-5)对称.

对于C,在川㈤"l+x)=2中,令尸0川)=1>0,所以双-2)习(1)-6=-5,所以以2)=-5可(5)+6,所以式5)=-11<0,由

于广风r)在区间(a,+8)上的图象是一条连续不断的曲线,由零点存在定理可得兀。在区间(1,5)内有零点，故C

正确；

对于D,由于g(x)的图象关于点(-2,-5)对称，以及g(x)招(㈤,得g(x)+g(-x-4)=-10,即g(x)+g(x+4)=-10.又

g(.x+8)+g(x+4)=-IO,所以g(.r)=g(.x+8),所以g(x)是周期为8的周期函

数川Ol)=g(98)-3x98招(2)-294=5294=299,故D正确；

对于B川)=1*9)=g(6)-18招(-2)-l8=g(2)-18=-5-18=-23须1),所以8不是於)的周期.

故选ACD.

13.2解析由题意整理得yU)=£+(a-2)x+cosx+l,

=(-x)2+(fl-2)(-X)+cos(-x)+1=x2+(2-6r)x+cosx+1,

•・•函数1AX)是偶函数，

，加)=7(/)，即f+3-2)x+cosx+\=A2+(2-a)x+cosx+1,解得a=2.

14.七解析yUAe'-av2-”,定义域为R,所以八x)=eJ2aL故e"】-2axi=0,eXz-2纱2=0.乂xi=2x\，所以e?/-4。内=0,

所以e2*i=2e*1.又e'i>0,故e，1二2,所以xi=h】2,所以a=—=

15.272c解析作函数段与y的图象如下,

(1-inx|,x>u=l1l

因为段)=〃?存在四个不相等的实根Xg田内且X1<X2<X3<M

则X]+12=-253>0田>0,且1-InX3=-(l-lnM,

贝ijInXi+\ng=2,即ln（X3xO=2,得A3AU=e2,

贝|JX4-（X1+X2）X3=X4+2.K3>,2y/2x3X4=2726,

当且仅当XI=2»3时，即A-3=^e,X4=V2e时，等号成立.

16.（0.1）解析由题意段

则ZU）二仁所以点4孙1七第1）和点8（必0，2-1）4.-铲1,依/产铲2,所以5•眇2=-1内+工2=0,所以

，4u,

AM.y-\+eXy=・0"1（r_¥1）,怀0百11]-物1+1）,所以依知|=/?^（6^1^|）^=V14-e2xi-|xi|,

同理|BM=«r再快|,所以默=瘠探=离=隔=（0,1）.

17.解（1lf（x）=lnA+3.?+1/（1）=4/1）=1.

则曲线），=/（幻在点（1川））处的切线方程为），/=4（心1）,即4x-y-3=0.

(2次工巨1,即1m+/一川.令人(幻=11]]+/3,由条件可知力(工心0对任意的x>m恒成立.因为“(x)W+2x+*>0,所

以人(x)在(0,+oo)匕单调递增.

因为。⑴=0,所以当x>\时,A(x)K),所以*1.

故实数〃?的取值范围为[1,+8).

18.解（1）・・次。二〃2『十at-3lnx+l,je（0,+oo）,

・“/\c，.32a2xz+ax-3（ax-l）（2ax+3）

••j（x）=2a-x+a--=-------------=----------------.

V<7>0^>0,/.^^>0,・•・当%£（0.）时&）v0；

当+8)时代)>0,・•・函数©在(0,；)上单调递减，在&+00)上单调递增.

⑵..•)，力(1)的图象与X轴没有公共点,..•函数/&)在(0,+8)上没有零点，由(1)可得函数於)在(0,3I：单调递减,

在&+8)上单调递增,・・，U=3-31n5=3+31n«>O,Aln«>-1,

・・・心也即实数〃的取值范围是(2+8).

f/(l)=5-b=5,

19,解6由题意知［10/(10)=10(嘤+卷町=16.515,

整理瞰窝泊10b=16.515解得〃=5力=。.

(2)设甲产品投资x万元，乙产品投资(50-x)万元，且［10,40］,由(1)知凡Y尸等+:

则该公司获得的利润夕(幻=人(等+?)+(50-x)•4浮=51n工+5+2同［［10,40］.则碇x)=：-

在［10,40］上单调递减，

令，(x)=0,解得户25,

当10令<25时秋幻>0,夕(1)单调递增,

当25VAy40时，"(x)<0,夕(幻单调递减，

所以9(x)max=奴25)=IOln5+15=10x1.609+15=31.09,

所以当甲、乙两种产品各投资25万元时，公司取得最大利润，最大利润为31.09万元.

20.解⑴当”“时危)=(Ll)|n(x+l)(x>/且.M))/(x)=-必等十一

XXX\X11/

VJll)=(1-l)xln(l+l)=O/(l)=-i^+T^=-ln2,

・・・卢加)在点(1次1))处的切线方程为RU)=/(l)(x-l),即(In2)x+y4n2=0.

⑵易知ZU)不恒为0.V函数7U)在(0,+8)单调递增,・・・/口心0在(0,+8)恒成立)*)=311。+1)+Hna+1),则

丹、二泰E(x+D,«=x+a/G+L+i)

八尸x2x+1—x2(x+l)'

.,.<7A2+X-(X+l)ln(x+1)>0在(0,+8)恒成立.

方法一:分离参数M3*丝在(0,+8)恒成立.令g。尸经号卢空Q0,

-xln(x+l)-21n(x+l)+2x

则g'(%)=

X5,

令m(x)=-x\n(x+l)-21n(x+1)+2x,x>0,则m\x)=l』n(x+1)岛.

令心尸”(x)=l-lna+l)-W/>°J心)=W+品=品(0，

・・・”a)在(o,+8)单调递减,

则7Hr(x)<l-ln1-1=0,则m(x)在(0,+oo)单调递减,

/.m(x)<0-21n1+0=0,BPg(x)在(0,+8)单调递减，

)<]而…n：+i)-x=〃帆等上2=Hm-即〃的取值范围为七+8).

x—0Xx-o2rx-*o2(X+1)222

方法二:令8(工)=加+_¥-。+1)ln(x+l)K>0,

则g'(x)=2ax+1-ln(x+1)-1=2ax-\n(x+1).

Vx+l>l,Aln(x+l)>0,

当a<0时,g'(x)<0,ga)在(0,+8)单调递减,

・•・7口)<。次用单调递减，不符合题意；

当«>0时，令/7(x)=2ar-ln(x+l)A>0,

则力'(%)=2。,=

X+lX+1

(7)当W时”(x)>0恒成立,・4。)在(0,+8)单调递增,・・・g'(x)>0-ln1=0,即g”)>0,g(x)在(0,+8)单调递胤・•・

g(x)>0+0-0=0恒成立，

即外外>0段)在(0,+8)单调递增，符合题意.

(力)当0<。〈时，令力。)>0,得x噎1；令Mx)vo,得04荔-l,・・・gra)在(0焉-1)单调递减，在(或-1,+8)单调递增.

又当又(0高-1)时£'(x)〈0-ln1=0,即g(x)在(0焉-1)单调递减，，当x£(0,亲1)时,g(x)v0+0-0=0,即f(x)v0在

(0,；1)恒成立府)在(0,aI)单调递减,不符合题意.

综上所述4的取值范围为6+8).

21.解⑴由题意，在x£(0,+oo)上/幻寸1+2兀)，

所以zln(.r+1)-sinx=zln(x+1+27t)-sin(.r+27t),

即A[ln(x+l)-ln(x+l+2K)]=0在xW(0,+oo)上恒成立，又ln(x+l)<ln(x+l+2冗)，故2=0.

(2)当2=1时卯x)=ln(x+l)-sinx,则/V尸.-cosx,当曲口)时「cos启0,击>0,所以,「(x)>0,即曲在若Jr)t

单调递增.又尼)=1喉+1>1<0刎=ln(7t+l)>0,所以加)在假,71)上有且仅有一个零点;当x^[n,+co)

时危)=ln(x+1)-sin公>3兀+1)-1>。,所以段)在6，+00)上无零点.综上段)在替+8)上有且仅有一个零点.

⑶由J[x}>2(1©),即21n(x+l)-sin於2(I整理得2ev-sinx+Aln(x+1)-2之0,令g(x)=2e'-sinx+Aln(x+-1)-2,则

g,(.v)=2ev-cos^+^-,3A>0时,对任意工£[0,兀]有cos[-1,1],又2cAN2,堂之0,所以如(%)>0,此时期文)在[0加上

单调递增，故g(x)N(0)=0,符合题意.当卜0时，令h(x)=gr(x)M/f(x)=2eA+sin入：上,所以，在[0,河上”(力>0

怛成立，即〃⑶=g'(x)在［0,可上单调递增.又g'(0)=/l+l,gS)=2e"+l+6.当Z+1K),即“9<()时，在［0,兀］上万

g'(.t巨0,此时g(x)在［0,冗］上单调递增,g(x)沟(0)=0,符合题意.当/1+1V0,即；<-1时，若g'⑺>0,即

-S+DQeH+DOv-l,由零点存在定理，存在XOW(OK)使第加故故当］£(0/0)时田”)〈0,所以g(x)在第(0,加

上单调递减，此时g(xo)vg(O)=O,不合题意.若g’m)W0,叩在-(兀+1)(2«*+1),此时对心£［0,兀］恒有g'(.r)WO且不恒

为0.即g(x)在［0,兀］上单调递减，所以gS)<g(0)=0,不合题意.综上工的取值范围是［-1,+8).

22.解⑴当〃=-1时危)=(m)ln(x+l)(x>-lKA-#))/U)=-^^+

人人人1人TXf

,.7l)=(7-l)xln(l+1)=0/(1)=-^^+-^=-ln2,

・•・/或r)在点(141))处的切线方程为y加)于1)(41),即(In2)x+y-ln2=0.

(2)••龙)=(x+砌吟+1),要使函数有意义则扣>0,解得xv・l或x>0,・,•函数心的定义域关于广.对称,

，若函数.尼)的图象关于直线x=