4.1 对数的概念 课件-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

第四章4.1对数的概念1.了解对数的概念.2.弄清指数与对数之间的关系,并对它们进行灵活的转化,对于常用对数、自然对数的简记方法要熟悉.3.了解对数、常用对数、自然对数的概念,并体会将指数式化为对数式,将对数式化为指数式的含义与作用.1光年为9460730472580800米.一个人走完一光年需要大约196,362,193年，约2亿年.英国数学家卡斯纳（E.Kasner）的侄子创造了单词“googol”——大数，10100指数的指数——超指数象征无与伦比的搜索能力很多巨大的数可以用指数来表示感受指数

在16至17世纪，天文学开始迅速发展，天文学家为了计算一个行星的位置，时常需要耗费几个月甚至几年的时间，问题主要就集中在“大数”运算上.因此，改进运算方法成为了天文学家们的当务之急.一、对数的产生数学家们也在试图改进运算方法，他们发现借助指数幂是有效的方法.

不太好解决m138

引入减法

x=N-a

引入除法

引入开方

引入什么？

对数！

（1）已知a+x=N，求x

（2）已知ax=N

，

求x

二、对数的定义

一般地，如果

，那么数x叫做以a为底N的对数(logarithm)，记作

.其中a叫做对数的底数，N叫做真数，读作：以a为底N的对数.表示一种运算

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思考交流底数底数指数对数幂真数？关系图2.在对数的定义中为什么规定a>0,且a≠1?

因为对数概念源出于指数,对数式logaN=b是由指数式ab=N转化而来,对数的底数就是指数的底数,而ab=N中要使它对任意实数b都有意义,必须a>0,且a≠1,所以对数式中也必须要求a>0,且a≠1.请判断“因为(-2)4=16,所以log(-2)16=4”这个说法正确吗?不正确.因为要求底数大于0,否则指数式与对数式不能互化.为什么零和负数没有对数？

由对数的定义：ax＝N(a＞0且a≠1)，则总有N＞0，所以转化为对数式x＝logaN时，不存在N≤0的情况．例1.已知对数log(1－a)(a＋2)有意义，求实数a的取值范围．[解]由于对数log(1－a)(a＋2)有意义，则有，解得－2<a<0或0<a<1.所以实数a的取值范围是(－2，0)∪(0，1).三、两种特殊的对数(1)常用对数:当对数的底数a=10时,通常称之为常用对数,并将log10N简记为lgN.

(2)自然对数:在科学技术领域,常常使用以无理数e=2.71828…为底数的对数,称之为自然对数,并将logeN简记为lnN.

答案:(2)0

1

(3)N

1.对数式与指数式关系图

对数式logaN=b是由指数式ab=N变换而来的,两式底数相同,对数式中的真数N就是指数式中的幂的值N,而对数值b是指数式中的幂指数.2.并非所有指数式都可以直接化为对数式.如(-3)2=9就不能直接写成log(-3)9=2,只有当a>0,且a≠1,N>0时,才有ax=N⇔x=logaN.互化经验

解析:(1)由log3(log2(lgx))=0,可得log2(lgx)=1,所以lgx=2,所以x=100.（2）已知log2[log3(log4x)]=log3[log4(log2y)]=0,求x+y的值.解:因为log2[log3(log4x)]=0,所以log3(log4x)=1,所以log4x=3,所以x=43=64.同理可得y=24=16所以x+y=80.

求值经验

1.判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.(1)1的对数是1.(×)(2)2log22-1=-1.(×)(3)对数运算的实质是求幂指数.(

√

)

？

？

？2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是(

)A．e0＝1与ln1＝0B．

与C．log39＝2与D．log77＝1与71＝7答案：C

解析：根据ab＝N⇔b＝logaN可知，A，B，D均正确，C不正确．log39＝2⇒32=9，⇒

解:由题意,有解得x>10,且x≠11.故x的取值范围是{x|x>10,且x≠11}.4.求下列各式中x的值(1)log2(log5x)＝0；(2)log3(lgx)＝1；(3)log3(log4(log5x))＝0.解：(1)∵log2(log5x)＝0，∴log5x＝20＝1，∴x＝51＝5.(2)∵log3(lgx)＝1，∴lgx＝31＝3，∴x＝103＝1000.(3)由log3(log