4.3.1 对数函数的概念 课件-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

第四章4.3.1对数函数的概念1.理解对数函数的概念以及对数函数与指数函数间的关系.2.了解指数函数与对数函数互为反函数,并会求指数函数或对数函数的反函数.情境：前面我们讲过细胞分裂时得到的细胞的个数y是分裂次数x的函数，这个函数可以用指数函数y=2x表示．现在我们研究相反的问题．例如一个这样的细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个，……细胞，那么分裂次数x就是得到的细胞个数y的函数．这个函数写成对数的形式就是x=log2y．按照习惯，用x表示自变量，y表示函数，这个函数就是y=log2x．因为y=ax是单调函数,每一个y都有唯一确定的x与之对应,所以x是y的函数.两个特殊的对数函数:①常用对数函数:以10为底的对数函数,记作

y=lgx;

②自然对数函数:以无理数e为底的对数函数,记作

y=lnx.一、对数函数的定义

形如y=logax（a＞0且a≠1）的函数叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是（0，+∞)，值域是R.中真数不是自变量x，不是对数函数．中对数式后加2，所以不是对数函数中真数为x＋1，不是x，系数不为1，故不是对数函数．中底数是自变量x，而非常数，所以不是对数函数．经验一判断一个函数是不是对数函数的方法(1)看形式:判断一个函数是不是对数函数,关键看解析式是否符合y=logax(a>0,且a≠1)这一结构形式.(2)明特征:对数函数的解析式具有三个特征①系数为1;②底数为大于0,且不等于1的常数;③对数的真数仅有自变量x.只要有一个特征不具备,则不是对数函数.R(0,+∞);R[0,+∞);(0,+∞);R{x∈R|x≠0}1．函数f(x)＝log2(x－1)的定义域是(

)A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)C．(－∞，1) D．(－∞，1]练一练由x－1＞0，得x＞12.函数

的定义域为

.解析：要使函数有意义，需有解得-2＜x＜1，所以函数

的定义域为（-2，1）.经验二1求含有对数式的函数的定义域,需保证每个对数式有意义,即真数大于零,底数大于零且不等于1.2.附加有偶次根号，分母等，需要额外添加限制经验三3.求含有对数式的函数的定义域,要求原函数的定义域，不要求化简变形后的函数的定义域。

指数函数y=ax是对数函数y=logax的反函数,对数函数y=logax也是指数函数y=ax的反函数.即它们互为反函数.二、反函数的概念

指数函数y=ax是对数函数y=logax的反函数,对数函数y=logax也是指数函数y=ax的反函数.即它们互为反函数.

指数函数y=ax(a>0,且a≠1)和对数函数x=logay(a>0,且a≠1)刻画的是同一对变量x,y之间的关系,所不同的是:在指数函数中,x是自变量,y是x的函数,其定义域是R;在对数函数x=logay(a>0,且a≠1)中,y是自变量,x是y的函数,其定义域是(0,+∞).像这样的两个函数叫作互为反函数.

指数函数y=ax是对数函数y=logax的反函数,对数函数y=logax也是指数函数y=ax的反函数.即它们互为反函数.函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象与y=ax(a>0,且a≠1)的图象关于直线y=x对称.互为反函数的两个函数的定义域、值域相反,并且反函数是相对而言的.（1)指数函数y=10x,它的底数是10,它的反函数是对数函数y=lgx(x>0).(4)对数函数y=log7x,它的底数是7,它的反函数是指数函数y=7x(x∈R).1.若函数f(x)=ax-1的反函数的图象过点(4,2),则a=

.解析:因为f(x)的反函数的图象过点(4,2),

所以f(x)的图象过点(2,4),

所以a2-1=4,

所以a=4.答案:4练一练1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)y=logx3是对数函数. (

)(2)y=loga5x(a>0,且a≠1)是对数函数. (

)(3)函数y=loga(x2+x+1)的定义域为R. (

)解：(1)×.y=logx3不是对数函数,对数函数的底数是常数.(2)×.对数函数自变量x的系数为1.(3)√.因为Δ=1-4=-3<0,所以x2+x+1>0恒成立.2.设f(x)=logax(a>0,且a≠1),对于任意的正实数x,y都有(

)A.f(xy)=f(x)f(y)B.f(x+y)=f(x)f(y)C.f(x+y)=f(x)+f(y)D.f(xy)=f(x)+f(y)解析:因为f(x)=logax(a>0,且a≠1),所以f(xy)=loga(xy).又f(x)+f(y)=logax+logay=loga(xy),所以f(xy)=f(x)+f(y).3.函数

的定义域是

.解析：要使函数有意义，需有解得-3＜x＜0，所以函数

的定义域为（-3，0）.4.若函数y=f（x）是函数y=ax（a＞0，且a≠1）的反函数，其图象经过点（

，a），则f（x）=（

）A.B.C.2-x