导数与不等式证明 课件-2025届高三数学一轮复习

第四单元高考专攻二导数与不等式证明2025届1在证明与函数有关的不等式时，我们可以把不等式问题转化为函数的最值问题，也常构造函数，把不等式的证明问题转化为利用导数研究函数的单调性或最值问题．01课堂突破

01课堂突破特训点1特训点2特训点3典例1

(2023·新高考全国Ⅱ卷)证明：当0＜x＜1时，x－x2＜sinx＜x.[解题指导]

分别构建函数F(x)＝x－sinx，x∈(0，1)，G(x)＝x2－x＋sinx，x∈(0，1)→分别求导→利用导数判断原函数的单调性→最小值大于0→确定结论．特训点1移项构造差函数证明不等式【师生共研类】证明：构建函数F(x)＝x－sinx，x∈(0，1)，则F′(x)＝1－cosx＞0对∀x∈(0，1)恒成立，则F(x)在(0，1)上单调递增，可得F(x)＞F(0)＝0，所以x＞sinx，x∈(0，1)．构建函数G(x)＝sinx－(x－x2)＝x2－x＋sinx，x∈(0，1)，则G′(x)＝2x－1＋cosx，x∈(0，1)．构建函数g(x)＝G′(x)，x∈(0，1)，则g′(x)＝2－sinx＞0对∀x∈(0，1)恒成立，则g(x)在(0，1)上单调递增，可得g(x)＞g(0)＝0，即G′(x)＞0对∀x∈(0，1)恒成立，则G(x)在(0，1)上单调递增，可得G(x)＞G(0)＝0，所以sinx＞x－x2，x∈(0，1)．综上所述，x－x2＜sinx＜x.

待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”或“右减左”的函数，利用研究其单调性等相关函数性质证明不等式．

…………………练能力学方法

特训点2分拆函数法证明不等式【师生共研类】

若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目的.本例中同时含lnx与ex，不能直接构造函数，把指数与对数分离两边，分别计算它们的最值，借助最值进行证明．已知函数f(x)＝elnx－ax(a∈R)．(1)讨论函数f(x)的单调性；…………………练能力学方法

(2)当a＝e时，证明：xf(x)－ex＋2ex≤0.

特训点3放缩后构造函数证明不等式【师生共研类】

导数方法证明不等式中，最常见的是ex和lnx与其他代数式结合的问题，对于这类问题，可以考虑先对ex和lnx进行放缩，使问题简化，简化后再构建函数进行证明．常见的放缩公式如下：(1)ex≥1＋x，当且仅当x＝0时取等号；(2)lnx≤x－1，当且仅当x＝1时取等号．

…………………练能力学方法∴当x∈(0，1)时，φ′(x)＜0，当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)＞0，∴φ(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴φ(x)min＝φ(1)＝0，∴φ(x)≥0，∴f(x)≥φ(x)≥0，即f(x)≥0.(方法二)令g(x)＝ex－x－1，则g′(x)＝ex－1.当x∈(－∞，0)时，g′(x)＜0，当x∈(0，＋∞)时，g′(x)＞0，∴g(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，∴g(x)min＝g(0)＝0，故ex≥x＋1，当且仅当x＝0时取“＝”．同理可证lnx≤x－1，当且仅当x＝1时取“＝”．由ex≥x＋1得ex-1≥x(当且仅当x＝1时取“＝”)，由x－1≥lnx得x≥lnx＋1(当且仅当x＝1时取“＝”)