2023年广东省中考数学冲刺专题练13图形的旋转

2023年广东省中考数学冲刺专题练——13图形的旋转一．选择题（共15小题）1．（2023•龙川县一模）如图是一个正八边形，则它（）A．只是轴对称图形 B．只是中心对称图形 C．既是轴对称图形，也是中心对称图形 D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形2．（2023•化州市一模）下列图形是中心对称图形，也是轴对称图形的是（）A． B． C． D．3．（2023•潮阳区模拟）在下列四个图案中，不是中心对称图形的是（）A． B． C． D．4．（2023•郁南县校级模拟）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．5．（2023•封开县一模）在下列平面图形中，是中心对称图形的是（）A．平行四边形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．角6．（2023•封开县一模）如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，若∠AOC的度数为100°，则∠DOB的度数是（）A．30° B．36° C．45° D．40°7．（2023•深圳一模）已知点A（a，﹣1）与点B（﹣4，b）关于原点对称，则a﹣b的值为（）A．﹣5 B．5 C．3 D．﹣38．（2023•南山区模拟）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，BC＝4，tan∠ACB＝3，AD⊥BC于D，若将△ADC绕点D逆时针方向旋转得到△FDE，当点E恰好落在AC上，连接AF．则AF的长为（）A．3510 B．31010 C．109．（2023•南海区校级模拟）如图，在△ABC中，∠C＝20°，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，AE与BC交于点F，则∠AFB的度数是（）A．60° B．70° C．80° D．90°10．（2023•阳山县一模）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．正六边形 B．正五边形 C．平行四边形 D．正三角形11．（2023•香洲区校级一模）在平面直角坐标系中，点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b），则ab的值为（）A．﹣4 B．4 C．12 D．﹣1212．（2023•惠来县校级一模）下列图形中，是中心对称图形（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个13．（2023•东莞市校级一模）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．等边三角形 B．圆 C．矩形 D．平行四边形14．（2023•禅城区校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，使点C′落在AB边上，连结BB′，则sin∠BB′C′的值为（）A．35 B．45 C．55 15．（2023•潮阳区模拟）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转55°得到△ADE，若∠E＝70°且AD⊥BC于点F，则∠BAC的度数为（）A．65° B．70° C．75° D．80°二．填空题（共6小题）16．（2023•南山区校级模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，P是△ABC的高CD上一个动点，以B点为旋转中心把线段BP逆时针旋转45°得到BP′，连接DP′，则DP′的最小值是．17．（2023•香洲区校级一模）在平面直角坐标系中，已知点P（﹣5，5）与点Q（5，m﹣2）关于原点对称，则m＝．18．（2023•惠城区校级一模）如图，将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AEFG的位置，则图中阴影部分的面积为．19．（2023•天河区校级一模）如图，正方形ABCD中，等腰直角△EBF绕着B点旋转，BF＝EF，∠BFE＝90°，则DE：AF＝．20．（2023•东莞市校级一模）点（2，﹣6）关于原点对称的点的坐标是．21．（2023•东莞市校级一模）如图，在矩形ABCD中，AD＝3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE＝EF，则AB的长为．三．解答题（共9小题）22．（2023•南海区一模）如图，在△ABC中，AC＝BC，点O是AB上的中点，将△ABC绕着点O旋转180°得△ABD．（1）求证：四边形ACBD是菱形；（2）如果∠B＝60°，BC＝2，求菱形ACBD的面积．23．（2022•南海区校级模拟）如图，△ABC中，∠C＝90°，将△BC绕点A逆时针旋转得到BC点C的对应点C恰好落在AB边上．（1）作图：作出△AB1C1（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）已知AC＝5，BC＝53，求点B所经过的路径长．24．（2022•惠城区校级二模）如图，在Rt△ABC中，AB＝8，∠ACB＝90°，∠A＝60°，点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿AB向终点B运动，当点P不与点A，B重合时，作∠BPD＝120°，边PD交折线AC﹣CB于点D，点A关于直线PD的对称点为E，连结ED，EP得到△PDE．设点P的运动时间为t（秒）．（1）直接写出线段PD的长（用含t的代数式表示）；（2）当点E落在边BC上时，求t的值；（3）设△PDE与△ABC重合部分图形的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出S的最大值．25．（2022•盐田区二模）定义：将图形M绕点P顺时针旋转90°得到图形N，则图形N称为图形M关于点P的“垂直图形”．例如：在图中，点D为点C关于点P的“垂直图形”．（1）点A关于原点O的“垂直图形”为点B．①若点A的坐标为（0，2），直接写出点B的坐标；②若点B的坐标为（2，1），直接写出点A的坐标；（2）已知E（﹣3，3），F（﹣2，3），G（a，0）．线段EF关于点G的“垂直图形”记为E'F'，点E的对应点为E'，点F的对应点为F'．①求点E'的坐标；②当点G运动时，求FF'的最小值．26．（2022•东莞市校级一模）如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点A的坐标是（﹣1，0），现将△ABC绕点A顺时针旋转90°得△AB1C1．（1）画出旋转后的△AB1C1；（2）点C的坐标是．（3）函数y=kx（x＞0，k为常数）的图象经过点C1，画出该函数图象，P为该函数图象上的动点，当P在直线AC1的上方且△APC1的面积为9227．（2022•紫金县二模）如图，将△ABC绕点C逆时针旋转90°得△DEC，其中点A，点B的对应点分别是点D，点E，点B落在DE上，延长AC交DE于点F，AB，DC交于点G．（1）若C是AF的中点，求证：△ABC是等腰三角形；（2）若BC＝5，BG=2，求BD28．（2022•东莞市校级一模）如图1，正方形ADEF中，点B、C分别在边AD、AF上，且AB＝AC．（1）如图2，当△ABC绕点A逆时针旋转a（0°＜a＜90°）时，请判断线段BD与线段CF的位置、数量关系，并说明理由；（2）当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，当AB＝2，AD=3+229．（2022•黄埔区二模）如图1，在直角坐标系中，点A（2，0），点C（0，2），点D，点E分别为OA，OC的中点，△ODE绕原点O顺时针旋转α角（0°＜α≤90°）得△OD1E1，射线CD1，AE1相交于点F．（1）求证：△OCD1≌△OAE1；（2）如图2，在△ODE旋转过程中，当点D1恰好落线段CE上时，求AF的长；（3）如图3，在旋转α角从0°≤α≤90°逐渐增大△ODE旋转过程中，求点F的运动路线长．30．（2022•东莞市一模）如图1，正方形ADEF中，∠DAF＝90°，点B、C分别在边AD、AF上，且AB＝AC．（1）如图2，当△ABC绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°）时，请判断线段BD与线段CF的位置、数量关系，并说明理由；（2）当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，当AB＝2，AD=3+2

2023年广东省中考数学冲刺专题练——13图形的旋转参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．（2023•龙川县一模）如图是一个正八边形，则它（）A．只是轴对称图形 B．只是中心对称图形 C．既是轴对称图形，也是中心对称图形 D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形【解答】解：正八边形既是轴对称图形，也是中心对称图形．故选：C．2．（2023•化州市一模）下列图形是中心对称图形，也是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；D、不中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：A．3．（2023•潮阳区模拟）在下列四个图案中，不是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：观察四个选项可知，只有A选项中的图形绕某一点旋转180°后不能与自身重合，因此A选项中的图形不是中心对称图形，故选：A．4．（2023•郁南县校级模拟）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A选项选项中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；B项选项中的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意；C项选项中的图形既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意；D选项中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；故选：C．5．（2023•封开县一模）在下列平面图形中，是中心对称图形的是（）A．平行四边形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．角【解答】解：A、平行四边形是中心对称图形，故本选项正确，符合题意；B、直角三角形不是中心对称图形，故本选项错误，不符合题意；C、等边三角形不是中心对称图形，故本选项错误，不符合题意；D、角不是中心对称图形，故本选项错误，不符合题意．故选：A．6．（2023•封开县一模）如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，若∠AOC的度数为100°，则∠DOB的度数是（）A．30° B．36° C．45° D．40°【解答】解：∵△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，∴∠AOD＝∠BOC＝30°，∴∠BOD＝∠AOC﹣∠AOD﹣∠BOC＝100°﹣30°﹣30°＝40°，故选：D．7．（2023•深圳一模）已知点A（a，﹣1）与点B（﹣4，b）关于原点对称，则a﹣b的值为（）A．﹣5 B．5 C．3 D．﹣3【解答】解：∵点A（a，1）与点B（﹣4，b）关于原点对称，∴a＝4，b＝1．∴a﹣b＝4﹣1＝3．故选：C．8．（2023•南山区模拟）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，BC＝4，tan∠ACB＝3，AD⊥BC于D，若将△ADC绕点D逆时针方向旋转得到△FDE，当点E恰好落在AC上，连接AF．则AF的长为（）A．3510 B．31010 C．10【解答】解：过点D作DH⊥AF于点H，∵∠ABC＝45°，AD⊥BC，∴AD＝BD，∵tan∠ACB=ADCD设CD＝x，∴AD＝3x，∴BC＝3x+x＝4，∴x＝1，∴CD＝1，AD＝3，∴AC=C∵将△ADC绕点D逆时针方向旋转得到△FDE，∴DC＝DE，DA＝DF＝3，∠CDE＝∠ADF，∴∠DCE＝∠DAF，∴tan∠DAH＝3，设AH＝a，DH＝3a，∵AH2+DH2＝AD2，∴a2+（3a）2＝32，∴a=3∴AH=3∴AF＝2AH=3故选：A．9．（2023•南海区校级模拟）如图，在△ABC中，∠C＝20°，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，AE与BC交于点F，则∠AFB的度数是（）A．60° B．70° C．80° D．90°【解答】解：∵△ABC绕点A顺时针旋转60°得△ADE，∴∠CAE＝60°，∵∠C＝20°，∴∠AFC＝100°，∴∠AFB＝80°．故选：C．10．（2023•阳山县一模）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．正六边形 B．正五边形 C．平行四边形 D．正三角形【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．故选：A．11．（2023•香洲区校级一模）在平面直角坐标系中，点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b），则ab的值为（）A．﹣4 B．4 C．12 D．﹣12【解答】解：∵在平面直角坐标系中，点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b），∴得a+2＝﹣4，﹣b＝﹣2，解得a＝﹣6，b＝2，∴ab＝﹣12．故选：D．12．（2023•惠来县校级一模）下列图形中，是中心对称图形（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：根据中心对称图形的概念，属于中心对称图形的为：；故选：B．13．（2023•东莞市校级一模）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．等边三角形 B．圆 C．矩形 D．平行四边形【解答】解：等边三角形不是中心对称图形，是轴对称图形，A不合题意；圆是中心对称图形，也是轴对称图形，B不合题意；矩形是中心对称图形，是轴对称图形，C不合题意；平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，D符合题意，故选：D．14．（2023•禅城区校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，使点C′落在AB边上，连结BB′，则sin∠BB′C′的值为（）A．35 B．45 C．55 【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB=AC2∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，∴AC＝AC'＝6，BC＝B'C'＝8，∠C＝∠AC'B'＝90°，∴BC'＝4，∴B'B=C'B'2∴sin∠BB′C′=BC'故选：C．15．（2023•潮阳区模拟）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转55°得到△ADE，若∠E＝70°且AD⊥BC于点F，则∠BAC的度数为（）A．65° B．70° C．75° D．80°【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转55°得△ADE，∴∠BAD＝55°，∠E＝∠ACB＝70°，∵AD⊥BC，∴∠DAC＝20°，∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝75°．故选：C．二．填空题（共6小题）16．（2023•南山区校级模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，P是△ABC的高CD上一个动点，以B点为旋转中心把线段BP逆时针旋转45°得到BP′，连接DP′，则DP′的最小值是22-2【解答】解：如图，在BC上截取BE＝BD，连接EP，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，CD⊥AB，∴BA＝42，∠ABC＝∠BAC＝∠BCD＝∠DCA＝45°，BD＝CD＝AD＝22=BE∵以B点为旋转中心把线段BP逆时针旋转45°得到BP′，∴BP＝BP'，∠PBP'＝45°＝∠ABC，∴∠DBP'＝∠CBP，在△BDP'和△BEP中，BD=BE∠DBP'=∠CBP∴△BDP'≌△BEP（SAS），∴PE＝P'D，∴当PE⊥CD时，PE有最小值，即DP'有最小值，∵PE⊥CD，∠BCD＝45°，∴CE=2PE＝BC﹣BE＝4﹣22∴PE＝22-2故答案为：22-217．（2023•香洲区校级一模）在平面直角坐标系中，已知点P（﹣5，5）与点Q（5，m﹣2）关于原点对称，则m＝﹣3．【解答】解：点P（﹣5，5）与点Q（5，m﹣2）关于原点对称，则m﹣2+5＝0，解得：m＝﹣3，故答案为：﹣3．18．（2023•惠城区校级一模）如图，将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AEFG的位置，则图中阴影部分的面积为312【解答】解：作MH⊥DE于H，如图，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝1，∠B＝∠BAD＝∠ADC＝90°，∵正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AEFG的位置，∴AE＝AB＝1，∠1＝30°，∠AEF＝∠B＝90°，∴∠2＝60°，∴△AED为等边三角形，∴∠3＝∠4＝60°，DE＝AD＝1，∴∠5＝∠6＝30°，∴△MDE为等腰三角形，∴DH＝EH=1在Rt△MDH中，MH=33DH∴S△MDE=12×故答案为：31219．（2023•天河区校级一模）如图，正方形ABCD中，等腰直角△EBF绕着B点旋转，BF＝EF，∠BFE＝90°，则DE：AF＝2．【解答】解：如右图，连接BD，由题知，四边形ABCD为正方形，△EBF为等腰直角三角形∵∠FBA+∠ABE＝∠FBE＝45°，∠ABE+∠EBD＝∠ABD＝45°，∴∠FBA＝∠EBD，由题知，△EBF为等腰直角三角形，△ABD为等腰直角三角形，∴FBBE∴△AFB∽△EBD，∴DEAF故答案为：2．20．（2023•东莞市校级一模）点（2，﹣6）关于原点对称的点的坐标是（﹣2，6）．【解答】解：点（2，﹣6）关于原点对称的点的坐标是（﹣2，6），故答案为：（﹣2，6）．21．（2023•东莞市校级一模）如图，在矩形ABCD中，AD＝3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE＝EF，则AB的长为32．【解答】解：由旋转得：AD＝EF，AB＝AE，∠D＝90°，∵DE＝EF，∴AD＝DE，即△ADE为等腰直角三角形，根据勾股定理得：AE=32+则AB＝AE＝32，故答案为：32三．解答题（共9小题）22．（2023•南海区一模）如图，在△ABC中，AC＝BC，点O是AB上的中点，将△ABC绕着点O旋转180°得△ABD．（1）求证：四边形ACBD是菱形；（2）如果∠B＝60°，BC＝2，求菱形ACBD的面积．【解答】（1）证明：∵将△ABC绕着点O旋转180°得△ABD，∴△ABC≌△BAD，∴AD＝BC，AC＝BD，∵AC＝BC，∴AD＝BC＝AC＝BD，∴四边形ACBD是菱形；（2）解：连接CD，交AB于点O，∵四边形ACBD是菱形，∴AB⊥CD，OA＝OB，OC＝OD，∵∠ABC＝60°，BC＝2，∴OC＝sin60°•BC=32×2=3，OB＝cos60∴CD＝23，AB＝2，∴菱形的面积为：1223．（2022•南海区校级模拟）如图，△ABC中，∠C＝90°，将△BC绕点A逆时针旋转得到BC点C的对应点C恰好落在AB边上．（1）作图：作出△AB1C1（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）已知AC＝5，BC＝53，求点B所经过的路径长．【解答】解：（1）△AB1C1如图所示；（2）在△ABC中，∠C＝90°，∵AC＝5，BC＝53，∴tanB=AC∴∠B＝30°，∴AB＝2AC＝10，∠BAC＝60°，∴∠BAB1＝60°，∴点B所经过的路径长=60π×1024．（2022•惠城区校级二模）如图，在Rt△ABC中，AB＝8，∠ACB＝90°，∠A＝60°，点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿AB向终点B运动，当点P不与点A，B重合时，作∠BPD＝120°，边PD交折线AC﹣CB于点D，点A关于直线PD的对称点为E，连结ED，EP得到△PDE．设点P的运动时间为t（秒）．（1）直接写出线段PD的长（用含t的代数式表示）；（2）当点E落在边BC上时，求t的值；（3）设△PDE与△ABC重合部分图形的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出S的最大值．【解答】解：（1）①当0＜t≤2时，∵∠BPD＝120°，∴∠APD＝180°﹣120°＝60°，∵∠A＝60°，∴△APD是等边三角形，∴PD＝AP＝2t，②当2＜t＜4时，如图：∵∠A＝60°，∴∠B＝30°，∵∠BPD＝120°，∴∠B＝∠PDB＝30°，∴PD＝PB＝8﹣2t；综上所述，PD=2t（2）如图：∵A，E关于PD对称，∴△PED≌△PAD，∴PE＝2t，∠APD＝∠EPD＝60°，∴∠BPE＝60°，∵∠C＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝30°，∴∠BEP＝90°，∴BP＝2PE＝4t，∴AB＝AP+BP＝6t，∵AB＝8，∴6t＝8，∴t=4（3）当0＜t≤4重叠部分是△PDE，S=34×（2t）2=当43＜t≤重叠部分是四边形PDNM，∵∠B＝30°，∠BPE＝180°﹣∠APD﹣∠EPD＝60°，∴∠BMP＝90°＝∠EMN，∴PM=12PB=12（AP﹣AP）=12（8﹣2∴ME＝PE﹣PM＝2t﹣（4﹣t）＝3t﹣4，∵∠E＝∠A＝60°，∴MN=3EM=3（3t﹣∴S＝S△PDE﹣S△EMN=34×（2t）2-12×（3t﹣4）×3（3t﹣4）=-7当2＜t＜4时，如图：重叠部分是△PQD，∵PQ=12BP=12（AB﹣AP）＝4﹣t，DQ=3∴S=12×（4﹣t）×3（4﹣t）=32t2﹣综上所述，S=325．（2022•盐田区二模）定义：将图形M绕点P顺时针旋转90°得到图形N，则图形N称为图形M关于点P的“垂直图形”．例如：在图中，点D为点C关于点P的“垂直图形”．（1）点A关于原点O的“垂直图形”为点B．①若点A的坐标为（0，2），直接写出点B的坐标；②若点B的坐标为（2，1），直接写出点A的坐标；（2）已知E（﹣3，3），F（﹣2，3），G（a，0）．线段EF关于点G的“垂直图形”记为E'F'，点E的对应点为E'，点F的对应点为F'．①求点E'的坐标；②当点G运动时，求FF'的最小值．【解答】解：（1）①∵点A关于原点O的“垂直图形”为点B，且点A（0，2），∴点B（2，0）；②如图1，过点A作AP⊥x轴于P，过点B作BQ⊥x轴于Q，∴∠APO＝∠OQB＝90°，∴∠A+∠AOP＝90°，∵点A关于原点O的“垂直图形”为点B，∴OA＝OB，∠AOB＝90°，∴∠AOP+∠BOQ＝90°，∴∠A＝∠BOQ，∴△AOP≌△OBQ（AAS），∴OP＝BQ，AP＝OQ，∵B（2，1），∴OQ＝2，BQ＝1，∴OP＝1，AP＝2，∴A（﹣1，2）；（2）①Ⅰ、当a≥﹣3时，如图2，过点E作EM⊥x轴于M，过点E'作E'N⊥x轴于N，同（1）②的方法得，△EGM≌△GE'N（AAS），∴EM＝GN，MG＝NE'，∵E（﹣3，3），G（a，0），∴EM＝3，MG＝a﹣（﹣3）＝a+3，∴GN＝3，NE'＝a+3，∴ON＝a+3，∴E'（a+3，a+3）；Ⅱ、当a＜﹣3时，如图3，过点E作EK⊥x轴于K，过点E'作E'L⊥x轴于L，同（1）②的方法得，△EGK≌△GE'L（AAS），∴EK＝GL，KG＝LE'，∵E（﹣3，3），G（a，0），∴EK＝3，KG＝﹣3﹣a＝﹣（a+3），∴GL＝3，LE'＝﹣（a+3），∴OL＝a+3，∴E'（a+3，a+3）；即点E的坐标为（a+3，a+3）；②Ⅰ、当a≥﹣2时，同①的方法得，点F'（a+3，a+2），Ⅱ、当a＜﹣2时，同①的方法得，点F'（a+3，a+2），∴点F'（a+3，a+2），∴点F'在直线y＝x﹣1上，∴FF'⊥直线y＝x﹣1时，FF'最小，如图4，记直线y＝x﹣1与x，y轴相交于V，W，∴V（1，0），则∠OVW＝45°，连接FV，过点F作FT⊥x轴于T，∵F（﹣2，3），∴FT＝VT＝3，∴∠FVT＝45°，∴⊥FVW＝90°，即点F'和点V重合时，FF'最小值为FV，FV=(1+2)2即FF'最小值为32．26．（2022•东莞市校级一模）如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点A的坐标是（﹣1，0），现将△ABC绕点A顺时针旋转90°得△AB1C1．（1）画出旋转后的△AB1C1；（2）点C的坐标是（﹣2，3）．（3）函数y=kx（x＞0，k为常数）的图象经过点C1，画出该函数图象，P为该函数图象上的动点，当P在直线AC1的上方且△APC1的面积为92【解答】解：（1）如图，△AB1C1为所作；（2）C（﹣2，3）；故答案为（﹣2，3）；（3）∵C1（2，1），∴k＝2×1＝2，∴反比例函数解析式为y=2x（x＞过P点作PD⊥x轴于D，C1E⊥x轴于E，如图，设P（t，2t∵△APC1的面积＝△APD的面积+梯形PDEC1的面积﹣△AC1E的面积，∴12×（t+1）×2t+12×（1+2t）×（整理得t2+10t﹣6＝0，解得t1=31-5，t2=∴P点坐标为（31-5，331+27．（2022•紫金县二模）如图，将△ABC绕点C逆时针旋转90°得△DEC，其中点A，点B的对应点分别是点D，点E，点B落在DE上，延长AC交DE于点F，AB，DC交于点G．（1）若C是AF的中点，求证：△ABC是等腰三角形；（2）若BC＝5，BG=2，求BD【解答】（1）证明：∵将△ABC绕点C逆时针旋转90°得△DEC，∴CE＝CB，∠BCE＝90°＝∠ACD，AC＝CD，∠A＝∠D，又∵∠AGC＝∠BGD，∴∠DBG＝∠ACG＝90°，∵点C是AF的中点，∴BC＝AC，∴△ABC是等腰三角形；（2）解：如图，过点C作CH⊥DE于H，∵将△ABC绕点C逆时针旋转90°得△DEC，∴CE＝CB，∠BCE＝90°＝∠ACD＝∠FCD，∠A＝∠D，∴∠E＝∠CBE＝45°，∠BCD＝∠ECF，∵∠A＝∠D，∠BGD＝∠AGC，∴∠DBG＝∠ACD＝90°，∴∠ABC＝∠EBC＝45°＝∠E，在△ECF和△BCG中，∠E=∴△ECF≌△BCG（ASA），∴EF＝BG=2∵CE＝CB＝5，∠BCE＝90°，CH⊥BE，∴BE＝52，CH＝BH＝EH=5∴FH=3∵∠D+∠DFC＝90°＝∠DFC+∠FCH，∴∠FCH＝∠D，∴tanD＝tan∠FCH，∴FHCH∴32∴BD=528．（2022•东莞市校级一模）如图1，正方形ADEF中，点B、C分别在边AD、AF上，且AB＝AC．（1）如图2，当△ABC绕点A逆时针旋转a（0°＜a＜90°）时，请判断线段BD与线段CF的位置、数量关系，并说明理由；（2）当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，当AB＝2，AD=3+2【解答】解：（1）BD＝CF，BD⊥CF，理由如下：延长DB交CF于G，交AF于H，如图：∵四边形ADEF是正方形，∴AF＝AD，∠FAD＝90°，∵△ABC绕点A逆时针旋转α，∴∠DBA＝α＝∠FAC，∵AB＝AC，∴△DBA≌△FCA（SAS），∴CF＝BD，∠AFC＝∠ADB，∵∠ADB+∠AHD＝90°，∴∠AFC+∠AHD＝90°，∵∠AHD＝∠GHF，∴∠AFC+∠GHF＝90°，∴∠FGH＝90°，∴CF⊥BD；（2）过B作BK⊥AD于K，如图：∵∠BAK＝45°，∴△ABK是等腰直角三角形，∴BK＝AK=22AB∵AD=3∴DK＝AD﹣AK=3在Rt△BKD中，BD=B∴sin∠ABD=BK由（1）知，∠CFA＝∠ABD，∴sin∠CFA=1029．（2022•黄埔区二模）如图1，在直角坐标系中，点A（2，0），点C（0，2），点D，点E分别为OA，OC的中点，△ODE绕原点O顺时针旋转α角（0°＜α≤90°）得△OD1E1，射线CD1，AE1相交于点F．（1）求证：△OCD1≌△OAE1；（2）如图2，在△ODE旋转过程中，当点D1恰好落线段CE上时，求AF的长；（3）如图3，在旋转α角从0°≤α≤90°逐渐增大△ODE旋转过程中，求点F的运动路线长．【解答】（1）证明：∵△ODE绕原点O顺时针旋转α角（0°＜α≤90°）得△OD1E1，∴∠D1OE1＝∠COA＝90°，D1O＝DO，E1O＝EO，∵A（2，0），C