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文档简介

专题09向量的性质及其应用专题点拨能灵活运用两个重要结论解决问题：(1)(D是BC中点).(2)已知点不共线，且，则点共线的充要条件是.2．运用建立坐标系的方法解决向量问题时，遵循向量的坐标易于表示的原则.3．会用向量点乘向量等式(作数量积、两边平方、向量投影的几何意义)方法解决问题.4．能熟练地运用向量运算的几何意义作图求解.真题赏析（2021•上海）在中，为中点，为中点，则以下结论：①存在，使得；②存在，使得；它们的成立情况是A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立例题剖析【例1】在边长为1的正六边形中，记以为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，，，，若与的夹角记为，其中，，2，3，4，，且，则的最大值为．【变式训练1】（2021•浦东新区校级三模）已知边长为2的正方形边上有两点、，满足，设是正方形的中心，则的取值范围是．【例2】已知平面向量、满足条件：，，，，若向量．且，则的最小值为．【变式训练2】已知向量，，且，若向量满足，则的最大值为．【例3】已知圆心为、半径为的圆上有三点、、，，则．【变式训练3】已知圆心为、半径为的圆上有三点、、．若，则______________．巩固训练填空题1.（2021•金山区二模）已知向量与的夹角为，且，若，其中，则向量在上的投影的取值范围为．2.（2021•浦东新区二模）已知、，若曲线上存在两个不同的点满足条件，则的取值范围为．3.已知圆，圆．直线、分别过圆心、，且与圆相交于，两点，与圆相交于，两点，点是椭圆上任意一点，则的最小值为．4.（2021•普陀区模拟）已知向量，的夹角为锐角，且满足、，若对任意的，，，，都有成立，则的最小值为．5.（2021•浦东新区三模）已知，若存在，，使得与夹角为，且，则的最小值为．6.（2021•宝山区二模）如图，若同一平面上的四边形满足：，则当的面积是的面积的倍时，的最大值为．二、选择题 7．设表示平面向量，，都是小于9的正整数，且满足，，则和的夹角大小为A． B． C． D．8．（2021•杨浦区二模）在四边形中，，且满足，则A．2 B．6 C． D．9．（2021•闵行区二模）如图是函数在一个周期内的图象，该图象分别与轴、轴相交于、两点，与过点的直线相交于另外两点、，为轴上的基本单位向量，则A． B． C． D．三、解答题10.已知点是的中线上任意一点，且，实数满足：.记，，，，，若乘积取最大值时，求此时的值.11.已知为坐标原点，向量，，，，．（1）求证：；（2）若是等腰三角

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