第04讲空间向量及其运算的坐标表示（人教A版2019选择性）（原卷版）

第04讲空间向量及其运算的坐标表示【人教A版2019】·模块一空间直角坐标系·模块二空间向量的坐标运算·模块三用空间向量的坐标运算解决相关的几何问题·模块四课后作业模块一模块一空间直角坐标系1．空间直角坐标系(1)空间直角坐标系及相关概念①空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(i，j，k))，以O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.②相关概念：O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分．(2)右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．2．空间一点的坐标在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量eq\o(OA,\s\up6(→))，且点A的位置由向量eq\o(OA,\s\up6(→))唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使eq\o(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底{i，j，k}下与向量eq\o(OA,\s\up6(→))对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标．【考点1求空间点的坐标】【例1.1】（2023春·高二课时练习）在空间直角坐标系中，点(−2,1,4)关于x轴对称的点坐标是（

）A．(−2,1,−4) B．(2,1,−4) C．(−2,−1,−4) D．(2,−1,4)【例1.2】（2023·全国·高二专题练习）平行六面体ABCD−A1B1C1DA．0,4,7 B．−2,0,1 C．2,0,−1 D．2,0,1【变式1.1】（2023秋·高二课时练习）已知点A2,4,0、B1,3,3，且满足2AQ=QBA．113,53,1 B．53【变式1.2】（2023·高二单元测试）在空间直角坐标系中，已知点P(x,y,z)下列叙述中正确的是（

）①点P关于x轴的对称点是P②点P关于yOz平面的对称点是P③点P关于y轴的对称点是P④点P关于原点的对称点是PA．①② B．①③ C．②④ D．②③模块二模块二空间向量的坐标运算1．空间向量的坐标在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)．2．空间向量的坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有向量运算向量表示坐标表示加法a＋ba＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)减法a－ba－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)数乘λaλa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R数量积a·ba·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3【考点1空间向量运算的坐标表示】【例1.1】（2023春·安徽合肥·高二校考期末）已知a=(1,2,1)，b=(2,−4,1)，则2aA．(4,−2,0) B．(4,0,3)C．(−4,0,3) D．(4,0,−3)【例1.2】（2023春·甘肃张掖·高二校考阶段练习）已知向量a=(1,−2,1),a+b=(−1,2,−1),A．(2,−4,2) B．(−2,4,−2)C．(−2,0,−2) D．(2,1,−3)【变式1.1】（2023春·全国·高二开学考试）已知A1,1,0，B2,0,−1，C−1,3,−2，则ABA．4,−4,0 B．−4,4,0 C．2,−2,0 D．−2,2,0【变式1.2】（2023秋·河南周口·高二统考期末）已知a=1,0,1，b=−2,−1,1，c=A．−9,−3,0 B．0,2,−1C．9,3,0 D．9,0,0【考点2空间向量数量积运算的坐标表示】【例2.1】（2023春·宁夏固原·高二校考阶段练习）已知AB=(2,−1,3)，BC=(−4,1,1)，则AB⋅A．−7 B．−6 C．−5 D．−4【例2.2】（2023秋·广东深圳·高二统考期末）已知向量a=(1,1,x)，b=(−2,2,3)，若(2a−bA．−3 B．3 C．−1 D．6【变式2.1】（2023秋·高二课时练习）已知O为坐标原点，OA＝(1,2,3)，OB＝(2,1,2)，OP＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当QA⋅QB取得最小值时，点Q的坐标为（A．12,34,13 B．【变式2.2】（2023·全国·高二专题练习）已知正六棱柱ABCDEF−A1B1C1DA．(−12,C．(−12,1)模块三模块三用空间向量的坐标运算解决相关的几何问题1．空间向量的平行、垂直及模、夹角设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))；cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3))).2．空间两点间的距离公式设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则P1P2＝|eq\o(P1P2,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12).3．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路:(1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题；(2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围；(3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用空间向量的坐标运算可以求得．【考点1空间向量的模与两点间的距离】【例1.1】（2023春·江苏常州·高二校联考阶段练习）已知点A1,2,3关于Oxy平面的对称点为B，而点B关于x轴的对称点为C，则BC=（A．210 B．213 C．2【例1.2】（2023·高三课时练习）已知a=(1−t,1−t,t)，b=(2,t,t)，则|aA．355 B．555 C．11【变式1.1】（2023春·江苏常州·高二校考期中）平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=(1,2,4)A．43 B．12 C．52【变式1.2】（2023·全国·高二专题练习）如图，在直三棱柱ABC−A′B′C′中，AB=BC=BB′=2，AB⊥BC，D为AB的中点，点E在线段CA．55 B．255 C．1【考点2空间向量夹角问题】【例2.1】（2023秋·河北唐山·高二统考期末）已知向量a=0,−1,1，b=1,2,y，a⋅b=−3A．30° B．60° C．120° D．150°【例2.2】（2023春·江苏·高二校联考阶段练习）若向量a=1,λ,1,b=2,−1,−2，且a与b夹角的余弦值为A．−2 B．2 C．−2或2【变式2.1】（2023·全国·高三专题练习）已知a=cosα,−1,sinα，b=sinA．90° B．60° C．30° D．0°【变式2.2】（2023秋·浙江杭州·高二校考期末）设空间两个单位向量OA=m,n,0,OB=0,n,p与向量OC=A．π6 B．π4 C．π3【考点3空间向量的平行与垂直】【例3.1】（2023春·高二课时练习）设a=2,2m−3,n+2，b=4,2m+1,3n−2且a//【例3.2】（2023秋·湖南岳阳·高二统考期末）已知a=(2,−1,−4),(1)若(a−b(2)若(a+3b【变式3.1】（2023春·江苏扬州·高二统考期中）已知a=(3,4,x),(1)若(a+2b(2)若a+b⊥a−【变式3.2】（2023春·高二课时练习）已知点A−2，0，2、B−1，(1)若c=3，且c//BC(2)求cosa(3)若ka+b与k模块四模块四课后作业1．（2023秋·陕西宝鸡·高二统考期末）已知点A(3,−1,0)，若向量AB=−1,6,−3，则点B的坐标是（A．(1,−6,3) B．(5,4,−3) C．(−1,6,−3) D．(2,5,−3)2．（2023秋·广东汕尾·高二统考期末）已知空间向量a=2,−1,2,b=A．4,−2,4 B．2,−1,2 C．3,0,3 D．1,−2,13．（2023秋·山东潍坊·高二统考期末）在空间直角坐标系O−xyz中，若点M2a−a2,b+1,2c−1关于z轴的对称点M′的坐标为−1,2,9A．3 B．5 C．7 D．94．（2023春·高二课时练习）若a=2,3,2,b=A．−1 B．0 C．1 D．25．（2023·全国·高三对口高考）已知空间三点A1,0,0,B3,1,1,C2,0,1，则ABA．6，120° B．6，150° C．6，60° D．6，30°6．（2023春·辽宁阜新·高二校联考阶段练习）已知向量a=−2,1,4,b=x,−1A．5 B．21 C．4 D．217．（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知向量a=1,t,2，b=2,−2,s，若a∥A．−2 B．2 C．−4 D．−58．（2023·江苏淮安·江苏省校考模拟预测）若向量a→=(1,λ,0)，b→=(2,−1,2)，且a→,b→的夹角的余弦值为23A．0 B．−43 C．0或−49．（2023·全国·高三对口高考）向量a=−2,−3,1,A．a∥b,b⊥c B．a10．（2023·江苏·高二专题练习）在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=π2，AB=AC=AA1=1，已知G和E分别为A1B1和CCA．55,1 B．55,1 C．11．（2023春·高二课时练习）如图，已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1=2，底面ABCD是直角梯形，12．（2023春·高二课时练习）已知向量a→=4,2,−4，b(1)2a(2)a→(3)a→13．（2023春·福建龙岩·高二校考阶段练习）如图