专题二十四正弦定理和余弦定理（原卷版）

第二十四章正弦定理和余弦定理思维导图知识要点知识要点1．正弦定理和余弦定理在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.

正弦定理余弦定理内容(R为△ABC外接圆半径)a2＝b2＋c2－2bccosAb2＝a2＋c2－2accosBc2＝a2＋b2－2abcosC常见变形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sinA＝

，sinB＝

，sinC＝

；(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC

解决的问题(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角

(1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角

2.三角形中的常见结论(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.(2)在三角形中大边对大角，大角对大边：∠A>∠B⇔a>b⇔sinA>sinB.(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(4)△ABC的面积公式：①S＝a·h(h表示a边上的高)；②S＝absinC＝acsinB＝bcsinA.典例解析典例解析【例1】辨析感悟：对正弦、余弦定理的理解及应用．(1)在△ABC中，sinA＞sinB的充分不必要条件是∠A＞∠B.()(2)在△ABC中，若sinAsinB＜cosAcosB，则此三角形是钝角三角形．()(3)在△ABC中，若b2＋c2＞a2，则此三角形是锐角三角形．【变式训练1】在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sin2C，判定△ABC的形状．【例2】在△ABC中，∠A＝60°，求a＝，b＝，求∠B.【变式训练2】在△ABC中，若，则△ABC是三角形．【例3】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)，求cosA.【变式训练3】在△ABC中，内角A，B，C的对边边长分别是a，b，c若a2－b2＝bc，sinC＝2sinB，则∠A等于()A．30°B．60°C．120°D．150°【例4】在△ABC中，已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC.(1)求角A的大小；(2)若sinB＋sinC＝，试判断△ABC的形状．【变式训练4】在△ABC中，已知a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且a＝c＋bcosC.(1)求角B的大小；(2)若S△ABC＝，b＝，求a＋c的值．【例5】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcosC＋csinB.求角B.【变式训练5】在△ABC中，若＝，则∠B的值为()A．30°B．45°C．60°D．90°高考链接高考链接1．在△ABC中，a∶b∶c＝2∶3∶4，则sinA∶sinB∶sinC＝.2．(四川省2015年对口升学考试试题)已知△ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝5，c＝，∠A＝.求：(1)sinC的值；(2)5sin2C＋sin.3.(四川省2017年对口升学考试试题)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝c·sinA.(1)求sinC的值；(2)若a＝5，b＝3，求c的长．4．(四川省2019年对口升学考试试题)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，tanC＝－2，△ABC的面积为2.求：(1)边b的长；(2)cosB的值．同步精练同步精练选择题1．在△ABC中，若∠B＝120°，AB＝5，BC＝7，则△ABC的面积S为()A.B.C.D.2．在△ABC中，已知∠A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为()A.B.C．2D．23．△ABC的对边分别为a，b，c，若b＝2，c＝3，∠A＝30°，则△ABC的面积为()A.B.C.D.4．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若∠B＝2∠A，a＝1，b＝，则c等于()A．2B．2C.D．15．在△ABC中，已知∠A＝15°，AB＝3，∠B＝135°，则AC＝()A．B．－C.D．－6．在△ABC中，acosA＝bcosB，则△ABC是()A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰或直角三角形7．在△ABC中，若a2－c2＋b2＝ab，则∠C等于()A．30°B．45°C．60°D．120°填空题8．在△ABC中，a∶b∶c＝2∶3∶4，则三角形为________三角形(填“锐角”“直角”或“钝角”)．9．在△ABC中，“∠A>∠B”是“sinA>sinB”的．10．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠A＝60°，则cosB＝________.解答题11．在△