专题04圆锥曲线中的定点定值定直线问题(典型例题题型归类练)

专题04圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题(典型例题+题型归类练)目录类型一：定点问题类型二：定值问题类型三：定直线问题一、必备秘籍一、定点问题1.求解(或证明)直线和曲线过定点的基本思路是：把直线或曲线方程中的变量，视作常数，把方程一边化为零，既然是过定点，那么这个方程就是对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于，的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．2.常用方法：一是引进参数法，引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点；二是特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.二、定值问题1.解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．常见定值问题的处理方法：（1）确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示（2）将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量），然后进行化简，看能否得到一个常数.2.定值问题的处理技巧：（1）对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向.（2）在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢（3）巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算三、定直线问题定直线问题是证明动点在定直线上，其实质是求动点的轨迹方程，所以所用的方法即为求轨迹方程的方法，如定义法、消参法、交轨法等．二、典型例题类型一：定点问题例题1．（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，左顶点为，上顶点为，．(1)求椭圆的标准方程；(2)不过椭圆点的直线交椭圆于，两点，记直线，，的斜率分别为，，，若．证明：直线过定点，并求出定点的坐标．【答案】(1)(2)证明见解析；定点(－，0)(1)由题意知：，，，，此时椭圆C的标准方程为：；(2)设直线l的方程为，M(，)，N(，)依题意知：A(－2，0)，，即化简得

①联立，整理得∴，，将它们代入①得：化简得．当时，直线l的方程为，此时直线l恒过点(－2，0)，不符合题意(舍去)；当时，直线l的方程为，此时直线l恒过点(－，0)．综上：直线l恒过定点(－，0)第（2）问解题思路1、由（1）知椭圆的标准方程为：；设直线方程为，直线交椭圆于，两点，左顶点为2、表示出，：，，由，代入，并化简：，即，整理得：3、联立直线由椭圆：，整理得，由韦达定理得：，代入：中，化简得．4、得到结果：或，代入直线：5、当时，直线的方程为，此时直线恒过点，不符合题意(舍去)；当时，直线的方程为，此时直线恒过点．例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知圆：的圆心为，圆：的圆心为，一动圆与圆内切，与圆外切，动圆的圆心的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程；(2)已知点，直线与曲线交于，两点，且，直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．【答案】(1)，；(2)过，.（1）设圆E的圆心为，半径为r，则，，所以．由双曲线定义可知，E的轨迹是以M，N为焦点、实轴长为6的双曲线的右支，所以动圆的圆心E的轨迹方程为，；（2）设，，直线l的方程为．由得，且，故又，所以．又，，所以，即．又故或．若，则直线l的方程为，过点，与题意矛盾，所以，故，所以直线l的方程为，过点．第（2）问解题思路1、由（1）知动圆的圆心的轨迹方程为，；2、设直线的方程为，，3、联立直线与曲线方程化简得：，且，4、由韦达定理得：，将韦达定理代入已知条件：，所以（，）化简得：，接下来因式分解：6、得或．7、若，则直线l的方程为，过点，与题意矛盾，所以，故，所以直线l的方程为，过点．例题3．（2022·辽宁丹东·模拟预测）已知圆经过点，且与直线相切，圆心的轨迹为．(1)求的方程；(2)经过点且不平行于轴的直线与交于，两点，点关于轴的对称点为，证明：直线经过定点．【答案】(1)(2)证明见详解(1)设圆心，根据题意可得：点M到点的距离与到直线的距离相等即圆心M的轨迹为C为以为焦点，为准线的抛物线∴圆心M的轨迹方程：(2)根据题意可知：直线PQ的斜率存在且不为0设直线PQ：，，则联立方程消去得：则直线QR的斜率直线QR的方程，整理得：即直线QR的方程，则直线QR经过定点第（2）问解题思路1、由（1）知的方程：，设直线：，,点关于轴的对称点为,所以2、联立直线与曲线消去得：，由韦达定理得3、求直线得斜率：，求直线方程：，整理得：4、将韦达定理代入直线方程中：化简为：，则直线QR经过定点类型二：定值问题例题1．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（文））如图所示，在平面直角坐标系中，已知椭圆，椭圆：与的长轴长之比为，离心率相同.(1)求椭圆的标准方程；(2)设点为椭圆上一点，过点作两条斜率分别为的直线，且直线与椭圆均有且只有一个公共点，求证：为定值.【答案】(1)；(2)证明见解析.（1）解：设椭圆的焦距为，由题意，，解得，因此椭圆的标准方程为.（2）证：设，所以直线的方程为，即，记，则的方程为，代入椭圆的方程，消去，得因为直线与椭圆有且只有一个公共点，所以，即将代入上式，整理得，同理可得，，所以为关于的方程的两根，从而.又点在椭圆上，所以，所以为定值.第（2）问解题思路1、由（1）知椭圆的标准方程为：，设2、设直线的方程为，即，记，则的方程为3、将直线的方程代入椭圆中,消去，得由于直线与椭圆只有一个交点，所以，化简得：将代入，整理得，4、类比直线的情况，由直线与椭圆只有一个交点，得到：5、综合步骤3,4得：为关于的方程的两根，利用韦达定理得：，由于在椭圆上，所以，所以为定值.例题2．（2022·江西宜春·模拟预测（理））双曲线与椭圆的焦点相同，且渐近线方程为，双曲线的上下顶点分别为，．过椭圆上顶点的直线与双曲线交于点，（，不与，重合），记直线的斜率为，直线的斜率为．(1)求双曲线的方程；(2)证明为定值，并求出该定值．【答案】(1)(2)证明见解析，(1)由椭圆的焦点，即中，渐近线方程为即，则由，即可求出.所以双曲线的方程为：.(2)，由题意可知，直线的斜率k存在，所以，设直线方程为联立方程，得由韦达定理得，两式相除，有①，∴②将①代入②得，第（2）问解题思路1、由（1）知双曲线的方程为：，，设直线方程为2、联立直线与双曲线：，得，由韦达定理得：，两式相除，有3、求出斜率，：，4、求出的表达式：将代入化简得：例题3．（2022·山西太原·一模（理））已知抛物线的焦点为，点为坐标原点，一条直线过定点与抛物线相交于、两点，且.(1)求抛物线方程；(2)连接，并延长交抛物线于、两点，设和的面积分别为和，则是否为定值？若是，求出其值；若不是，请说明理由.【答案】(1)；(2)存在定值，定值为.理由见解析.(1)设直线的方程为：，与抛物线方程联立为：，设，所以，因为，所以，化简得：，把代入得：，所以抛物线的方程为；(2)抛物线的焦点，设直线的方程为：，与抛物线方程联立为：，设，所以，即，设，同理可得：，即，，因为，所以，因为，所以，而，，，所以，因此为定值，定值为.第（2）问解题思路1、由（1）知抛物线方程为：，设直线的方程为：，2、联立直线与抛物线方程：，设，，由韦达定理得：，即，，即，3、求出的表达式：，因为，所以，又因为4、化简：，将，，代入表达式得：，因此为定值，定值为.类型三：定直线问题例题1．（2022·新疆乌鲁木齐·模拟预测（理））已知动点与定点的距离和它到定直线的距离之比为，记的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程；(2)过点的直线与曲线交于两点，分别为曲线与轴的两个交点，直线交于点，求证:点在定直线上．【答案】(1)(2)证明见解析(1)设动点，∵动点P与定点的距离和它到定直线的距离之比为，∴，整理得，∴曲线C的方程为；(2)设，，，直线方程，与椭圆方程联立，整理得：，，由韦达定理得：，化简得：，由已知得,,则直线的方程为，直线的方程为，联立直线和：，代入，、可得：，化简可得：，所以N点在一条定直线上．第（2）问解题思路1、由（1）知曲线的方程为：，设，，，直线方程，2、联立直线与椭圆方程联立，整理得：，由韦达定理得：，化简得：，3、求直线和的方程：由已知得,,则直线的方程为，直线的方程为4、联立直线和的方程，代入，、可得：，化简可得：，所以N点在一条定直线上．例题2．（2022·江西·赣州市第三中学模拟预测（文））如图，过抛物线焦点的直线与抛物线交于，两点，，，，分别垂直于坐标轴，垂足依次为，，，．(1)若矩形和矩形面积分别为，，求的值；(2)求证：直线与直线交点在定直线上．【答案】(1)4；(2)证明见解析.（1）抛物线的焦点，显然直线AB不垂直于y轴，设其方程为：，由消去x并整理得，，设点，，则，，矩形ANOM和矩形BDOC面积分别为，，所以．（2）由（1）得，，，，于是得直线MN的方程为：，直线CD的方程为：，由消去y并整理得：，而，因此有，即直线MN与直线CD交点在直线上.所以线MN与直线CD交点在定直线上.第（2）问解题思路1、由（1）得，，，，于是得直线的方程为：，直线的方程为：，2、联立直线与直线的方程：消去并整理得：，而，3、因此有，即直线与直线交点在直线上.所以线与直线交点在定直线上.三、题型归类练1．（2022·重庆南开中学高三阶段练习）已知椭圆经过点，且离心率.(1)求椭圆的标准方程；(2)直线与椭圆交于两点，为椭圆上顶点，直线交直线于两点，已知两点纵坐标之和为.求证：直线过定点，并求此定点坐标.【答案】(1)；(2)证明见解析，定点.（1）因为椭圆经过点，所以，因为离心率，所以，即，因为，所以解得所以方程为（2）设，则，得，由，得，则，直线为，则，直线为，则，所以，化简得：，所以化简得当，与点重合，不满足条件当，代入直线方程可得：，所以过定点.2．（2022·江苏·高二专题练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，以原点为圆心､椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点作直线交椭圆于两点（直线与轴不重合）.在轴上是否存在点，使得直线与的斜率之积为定值？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)；(2)存在，点的坐标为和.（1）由题意知，直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，即.因为，所以.故椭圆的标准方程为.（2）因为直线过点且与轴不重合，所以可设直线的方程为.联立方程，得化简并整理得设，则.所以设存在点，则直线与的斜率分别为，所以令，解得或.当时，；当时，.因此，满足条件的点的坐标为和.3．（2022·广东深圳·高三阶段练习）已知双曲线的离心率为，右焦点到一条渐近线的距离为.(1)求双曲线的方程；(2)若分别是的左､右顶点，过的直线与交于两点（不同于）.记直线的斜率分别为，请问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】(1)(2)是定值，定值为（1）设的半焦距为，由题意可知，又，双曲线的一条渐近线方程为，则，故，所以，所以双曲线的方程为.（2）由（1）可知.设直线的方程为，点，点，则.由得，所以.，所以.又，所以综上，为定值，且.4．（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）已知椭圆C:的上下顶点分别为，过点P且斜率为k(k<0)的直线与椭圆C自上而下交于两点，直线与交于点.(1)设的斜率分别为，求的值;(2)求证：点在定直线上.【答案】(1)(2)证明见解析（1）设，，，，所以.（2）设，得到，，，直线，直线，联立得:，法一：，解得.法二：由韦达定理得，.解得，所以点在定直线上.5．（2022·福建省福州第一中学高二期末）已知A（3，0），B（3，0），四边形AMBN的对角线交于点D（1，0），kMA与kMB的等比中项为，直线AM，NB相交于点P.(1)求点M的轨迹C的方程；(2)若点N也在C上，点P是否在定直线上?如果是，求出该直线，如果不是，请说明理由.【答案】(1)；(2)点P在定直线x=9上.理由见解析.(1)设点，则，又，所以，整理，得，即轨迹M的方程C为：；(2)点P在定直线上.由(1)知，曲线C方程为：，直线MN过点D(1,0)若直线MN斜率不存在，则，得，不符合题意；设直线MN方程为：，点，则，消去x，得，有，，，，所以直线PA方程为：，直线PB方程为：，所以点P的坐标为方程组的解，有，即，整理，得，解得，即点P在定直线上.6．（2022·江苏·南京市中华中学高二开学考试）在平面直角坐标系中，已知过点的直线与双曲线交于、两点，与轴交于点，且，.(1)当点在第一象限且时，求直线的方程；(2)求证：为定值.【答案】(1)(2)证明见解析(1)设，则，∵，∴，∴，点在第一象限，∴，又点在双曲线上，∴，，解得，即，所以直线的斜率为，直线的方程为，即；(2)由题意直线的斜率必然存在，设为，则直线的方程为，设、，由得，令得，且，设，由、、、四点共线且，，得，其中、、均不为0，∴，所以，点是在直线：上，∴，∴，∴，所以为定值1.7．（2022·全国·高二课时练习）如图，为抛物线上的一点，抛物线的焦点为，垂直于直线，垂足为，直线垂直于，分别交轴、轴于点A，．(1)求使为等边三角形的点的坐标．(2)是否存在点，使平分线段？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)存在满足条件的点，且点的坐标为．（1）由题意可知,设点的坐标为，满足,则点的坐标为，．由抛物线的定义知．因为，且为等边三角形，所以，又，所以，，所以点的坐标为．（2）假设存在点，使，连接，则点A的坐标为，点的坐标为，．又，所以，即，又，所以，．所以存在满足条件的点，且点的坐标为．8．（2022·云南·罗平县第一中学高二期中）如图，已知抛物线的焦点为F，点为坐标原点，一条直线过定点与抛物线相交于A，B两点，且.(1)求抛物线方程；(2)连接AF，BF并延长交抛物线于C，D两点，求证：直线CD过定点【答案】(1)(2)证明见解析（1）解：设直线的方程为，直线与抛物线的交点分别为，联立方程组，整理得，所以，因为，可得，即，所以，即，即，解得，所以抛物线的方程为.（2）解：设点的纵坐标分别为，设直线的方程为，联立方程组，整理得，所以，同理可得：，由（1）知，所以，设直线的方程为，联立方程组，整理得，则有，解得，即直线的方程为，所以直线恒过点.9．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知抛物线C：的焦点F，过x轴上一点作两条直线分别交抛物线于A，B和C，D，设和所在直线交于点P．设M为抛物线上一点，满足以下的其中两个条件：①M点坐标可以为；②轴时，；③比M到y轴距离大1．（1）抛物线C同时满足的条件是哪两个？并求抛物线方程；（2