第08讲二面角（核心考点讲与练）-2022-2023学年高二数学考试满分全（2020必修三）（原卷版）

第08讲二面角（核心考点讲与练）考点考点考向二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.(3)二面角的范围：[0，π].方法技巧方法技巧找二面角的平面角的常用方法（1）由定义做出二面角的平面角（2）用三垂线定理找二面角的平面角（3）找公垂面（4）划归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角能力拓展能力拓展题型一：二面角的概念及辨析一、单选题1．（2021·上海交大附中闵行分校高二阶段练习）设α﹣l﹣β是直二面角，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且a､b与l均不垂直，则（

）A．a与b可能垂直，但不可能平行B．a与b可能垂直也可能平行C．a与b不可能垂直，但可能平行D．a与b不可能垂直，也不可能平行2．（2021·上海·复旦附中高二期中）在矩形中，，，E、F分别为边、上的点，且，现将沿直线折成，使得点在平面上的射影在四边形内（不含边界），设二面角的大小为，直线与平面所成的角为，直线与直线所成角为，则（

）A． B． C． D．3．（2021·上海市行知中学高二阶段练习）已知两个平面和三条直线,若,且,设和所成的一个二面角的大小为,直线和平面所成的角的大小为,直线所成的角的大小为,则（

）A． B．C． D．二、填空题4．（2021·上海市七宝中学高二阶段练习）若两个相交平面，所成的锐二面角的大小为.则称平面，成角，已知平面，成70°角.则过空间一点且与，都成55°角的平面的个数为______个5．（2021·上海市南洋模范中学高二期中）若两个半平面所成二面角的大小为.则的取值范围是______6．（2021·上海·高二专题练习）已知为锐二面角内一点，且到两个半平面及棱的距离之比为，则此二面角的度数为________．题型二：求二面角一、填空题1．（2021·上海大学附属南翔高级中学高二期中）如果二面角的平面角是锐角，空间一点Р到平面、和棱的距离分别为、4和，则二面角的大小为_______________.2．（2021·上海浦东新·高二期中）在正方体中，平面与平面所成的锐二面角的大小是___________.二、解答题3．（2021·上海南汇中学高二阶段练习）如图所示，正四棱锥中，为底面正方形的中心，侧棱与底面所成的角的正切值为.(1)求侧面与底面所成的二面角的大小；(2)若是的中点，求异面直线与所成角的正切值；(3)在（2）的条件下，问在棱上是否存在一点，使侧面，若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由.题型三：由二面角大小求线段长度或距离一、单选题1．（2021·上海市奉贤中学高二阶段练习）二面角的大小是60°，在该二面角内有一点P到的距离是3，到的距离是5，又动点A和B，，，则△PAB的周长的最小值是（

）A． B． C．12 D．142．（2020·上海奉贤区致远高级中学高二阶段练习）在直角坐标系中，设，沿着轴将直角坐标平面折成的二面角后，长为（

）A． B． C． D．二、填空题3．（2021·上海·复旦附中高二期中）二面角是，其内一点P到的距离分别为和，则点P到棱l的距离为_________．4．（2021·上海外国语大学闵行外国语中学高二期中）如图，二面角等于，A､B是棱l上两点，分别在半平面内，，，且，则的长等于___________.5．（2021·上海市市西中学高二期中）正方形的边长是2，分别是和的中点，将正方形沿折成直面角（如图所示），为矩形内的一点，如果，和平面所成角的正切值为，那么点到直线的距离为_________．6．（2021·上海市进才中学高二期中）如图，一斜坡的倾斜度（坡面与水平面所成二面角的度数）是，斜坡上有一直道，它和坡脚水平线成角，沿这条直道向上行走100米后升高______米．三、解答题7．（2021··高二期中）如图1，平面四边形关于直线对称，，，．把沿折起（如图2），使二面角的余弦值等于．对于图2，完成以下各小题：（1）求、两点间的距离；（2）证明：平面；（3）求直线与平面所成角的正弦值．8．（2021·上海·华师大二附中高二开学考试）如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是A1D1和CC1的中点.（1）求异面直线EF与AB所成角的余弦值；（2）求异面直线EF与AB之间的距离（3）在棱BB1上是否存在一点P，使得二面角PACB的大小为30°?若存在，求出BP的长，若不存在，请说明理由.题型四：由二面角大小求异面直线所成的角一、填空题1．（2021·上海·闵行中学高二阶段练习）已知二面角的大小为，直线分别在平面内且都垂直于棱，则与所成角的大小为__________.二、解答题2．（2021·上海·华东师范大学第三附属中学高二期中）如图所示，圆锥的底面圆半径，母线.(1)求此圆锥的体积和侧面展开图扇形的面积；(2)如图，半平面与半平面所成二面角大小为，设线段中点为，求异面直线与所成角的余弦值.巩固巩固提升一、单选题1．（2021·上海市进才中学高二期中）正三棱台侧面与底面所成角为，侧棱与底面所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．2．（2021·上海奉贤区致远高级中学高二期中）已知四棱锥S−ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S−AB−C的平面角为θ3，则（

）A．θ1≤θ2≤θ3 B．θ3≤θ2≤θ1C．θ1≤θ3≤θ2 D．θ2≤θ3≤θ13．（2021·上海市宝山中学高二期中）如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面上有一个小孔，点到的距离为3，若该正方体水槽绕倾斜（始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面与桌面所成角的正切值为（

）A． B． C． D．24．（2021·上海·高二专题练习）等腰直角斜边CB上一点P满足，将沿AP翻折至，使二面角为，记直线、、CP与平面所成角分别为、、，则（

）A． B． C． D．二、填空题5．（2020·上海市金山中学高二期末）在北纬45°的线圈上有两地，它们的经度差为90°，若地球半径为，则两地的球面距离为______.6．（2021·上海师范大学第二附属中学高二期末）已知一个正四棱锥的底面边长为2，侧面与底面所成角的大小为，则该四棱锥的侧面积为______．7．（2021·上海市洋泾中学高二阶段练习）已知二面角的大小为，A为平面上的一点，且的面积为2，过A点的直线交平面于B点，，且与成角，当变化时，的面积最大为___________.8．（2021·上海市控江中学高二期中）已知，矩形中，，，，分别为边，上的定点，且，，分别将，沿着，向矩形所在平面的同一侧翻折至与处，且满足，分别将锐二面角与锐二面角记为与，则的最小值为______．9．（2021·上海市西南位育中学高二期中）已知正三棱柱的各棱长都是4，点是棱的中点，动点在侧棱上，且不与点重合，设二面角的大小为，则的最小值为_________.三、解答题10．（2021·上海市甘泉外国语中学高二期中）在四面体ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥平面BCD，CD⊥BD，点M为AD上动点，连结BM，CM，如图.(1)求证：BM⊥CD；(2)若AM＝2MD，求二面角M﹣BC﹣D的余弦值；(3)是否存在一个球，使得四面体ABCD的顶点都在此球的球面上？若存在，确定球心的位置并证明；若不存在，请说明理由.11．（2021·上海市大同中学高二阶段练习）如图，已知、分别是正方形边、的中点，与交于点，、都垂直于平面，且，，是线段上一动点.（1）求证：平面；（2）若平面，试求的值；（3）当是中点时，求二面角的余弦值.12．（2021·上海师范大学第二附属中学高二期中）如图，已知点在圆柱的底面圆上，，圆的直径，圆柱的高.（1）求点到平面的距离；（2）求二面角的余弦值大小.13．（2021·上海市七宝中学高二阶段练习）在120°的二面角的面，内分别有，两点，且，到棱距离，分别是2，4，，如图所示，求：（1）直线与棱所成角的余弦值：（2）直线与平面所成角的正弦值：（3）二面角的平面角的正切值.14．（2021·上海·华东师大附属枫泾中学高二期中）如图，在四棱锥中，底面，底面为直角梯形，，且．（1）若，直线与所成的角为，求二面角的大小；（2）若E为线段上一点，试确定点E的位置，使得平面平面，并说明理由．15．（2021·上海交大附中高二期中）如图，正四棱柱的底面是边长为的正方形，侧棱长为1．（1）求直线与直线所成角的余弦值；（2）求二面角平面角大小的余弦值；（3）在直线上是否存在一个动点，使得在平面的投影恰好为的重心，若存在，求线段的长度，若不存在，说明理由．16．（2021·上海市第三女子中学高二期末）如图，在多面体中，均垂直于平面ABC，，．（1）求点A到平面的距离；（2）求平面ABC与平面所成锐二面角的大小；（3）求这个多面体的体积．17．（2021·上海市松江二中高二期中）在三棱柱中，点为棱的中点，点是线段上的一动点，（1）证明：；（2）求平面与平面所成的二面角的正弦值；（3）设直线与平面､平面､平面所成角分别为求的取值范围.18．（2019·上海市民办市北高级中学高二期中）如图，是圆柱的直径且，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点.（1）求三棱锥体积的最大值