测试卷06-2022年高考数学考前冲刺卷（新高考专用）

班级：______考号：_______姓名：_______分数：_______【考前15天·一天一测】2022年高考考前冲刺卷数学（第六测）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．设集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意得，，则.故选：B.2．若复数，则（

）A．2 B． C．4 D．5【答案】B【解析】因为复数，所以，所以，故选：B3．非零向量、满足，在方向上的投影为，则的最小值为(

)A．1 B． C．2 D．【答案】A【解析】∵在方向上的投影为，∴=，∴，∴当时，．故选：A﹒4．从一批含有13件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为ξ，则E(5ξ＋1)＝(

)A．2 B．1 C．3 D．4【答案】C【解析】的可能取值为.，，.∴的分布列为：ξ012P于是，故.故选：C.5．设，分别是双曲线的左､右焦点，是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设，，则由双曲线的定义可得：，所以，故，，又，故，故，所以的面积为.故选：C.6．已知实数a，b均为正数，且满足，那么的最小值为（

）A．1 B．e C． D．【答案】D【解析】对等号两边取以a为底的对数，得到，由于，因此，即，则，当且仅当a=2b，即，时，等号成立，而以e为底的指数函数是单调递增的，因此的最小值为.故选：D7．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W､信道内信号的平均功率S､信道内部的高斯噪声功率N的大小.其中叫做信噪比，当信噪比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从100提升至900，则C大约增加了（

）(，)A．28% B．38% C．48% D．68%【答案】C【解析】当时，，当时，，∴，∴约增加了48%.故选：C8．已知某正三棱锥的内切球与外接球的球心恰好重合，如果其内切球的半径为，其外接球的体积为，那么这个三棱锥的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意可知，点在底面内的射影点为等边的中心，取线段的中点，连接，则，易知三棱锥的外接球球心在线段上，设正三棱锥的外接球半径为，则，解得，设正三棱锥的内切球的半径为，则，故，平面，平面，，易知，则，所以，，故，所以，，由勾股定理可得，所以，正三棱锥是边长为的正四面体，因此，正三棱锥的表面积为.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列说法正确的是（

）A．若幂函数的图象经过点，则解析式为B．若函数，则在区间上单调递减C．幂函数（）始终经过点和D．若函数，则对于任意的，有【答案】CD【解析】若幂函数的图象经过点，则解析式为，故错误；函数是偶函数且在上单调递减，故在单调递增，错误；幂函数（）始终经过点和，正确；任意的，，要证，即，即，即，易知成立，故正确；故选：.10．下图为陕西博物馆收藏的国宝——唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，巧夺天工，是唐代金银细作的典范．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线的右支与直线围成的曲边四边形绕y轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底外直径为，双曲线C的左右顶点为，则（

）A．双曲线C的方程为B．双曲线与双曲线C有相同的渐近线C．存在一点，使过该点的任意直线与双曲线C有两个交点D．双曲线C上存在无数个点，使它与两点的连线的斜率之积为3【答案】ABD【解析】由题意可得，所以，即，解得，所以双曲线方程为，所以A正确，双曲线的渐近线方程为，双曲线的渐近线方程为，所以B正确，由双曲线的性质可知，过平面内的任意一点的直线与双曲线的渐近线平行时，只与双曲线有一个交点，所以不存在一点，使过该点的任意直线与双曲线C有两个交点，所以C错误，由题意得，设为双曲线上任意一点，则，，所以，所以双曲线C上存在无数个点，使它与两点的连线的斜率之积为3，所以D正确，故选：ABD11．声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数，纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则（

）A．在上是增函数 B．的最大值为C．在上有3个零点 D．在上有2个极值点【答案】BCD【解析】因为，又，故是周期为的函数；下面研究其一个周期内的单调性：又，令，解得，即，令，解得，即，故在单调递增，在单调递减，在单调递增；对：由上述推导可知，在不单调，故错误；对：因为，，则在一个周期内的最大值为，故的最大值为，故正确；对：因为，，故和都是的零点，又，故在上也有一个零点，综上所述，在有3个零点，故正确；对：由上述推导可知，在有2个极值点，分别是和，故D正确.故选：.12．一个笼子里关着10只猫，其中有4只黑猫､6只白猫，把笼子打开一个小口，使得每次只能钻出1只猫，猫争先恐后地往外钻，如果10只猫都钻出了笼子，事件表示“第只出笼的猫是黑猫”，，则（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】由题，，事件表示“第1，2只出笼的猫都是黑猫”，则，故A错误；事件表示“第1只或第2只出笼的猫是黑猫”，则，故B正确；则，故C正确；事件表示“第2，10只出笼的猫是黑猫”，则，则，故D正确，故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在数列中，，，则数列的通项公式是______．【答案】【解析】根据题意，.故可得.故答案为：.14．已知f(x)＝，则f＝________．【答案】－1【解析】因为f(x)－tan2x，所以f＝－tan2＝－tan2＝－tan2＝－tan2＝－1.故答案为1.15．在的展开式中，除项之外，剩下所有项的系数之和为___________.【答案】299【解析】令，得.所以的展开式中所有项的系数和为.由可以看成是5个因式相乘.要得到项，则5个因式中有1个因式取，一个因式取，其余3个因式取1，然后相乘而得.所以的展开式中含的项为，所以的展开式中，除项之外，剩下所有项的系数之和为.故答案为：299.16．如图，在长方体中，，，为线段的中点，是棱上的动点，若点为线段上的动点，则的最小值为__．【答案】2【解析】连接，则，点、、在平面中，且，，，如图1所示；在△中，以为轴，为轴，建立平面直角坐标系，如图2所示，则，，；设点关于直线的对称点为，的方程为，①，直线的方程为，②由①②组成方程组，解得，，直线与的交点，．对称点，．则的最小值为2．故答案为：2．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列前n项和（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．【解析】（1）当n=1时，，当又（2）设数列的前项和为，即两式相减得所以．综上，数列前n项和为18．如图，在五面体中，平面，，，，的中点为.(1)求证：平面；(2)若，，五面体的体积为2，求平面与平面的夹角的余弦值.【解析】(1)取CD的中点F，连接OF､EF，∵O､F为AC､CD的中点∴，，∴，∴四边形为平行四边形∴，又∵平面，平面∴平面.(2)由平面，平面，则平面平面，故中上的高即为到平面的距离即为，因为，，则，故，所以上的高.又平面，则，而，有，，所以为直角梯形，令，则梯形的面积，五面体的体积，故，则，.由知，因为平面，，则平面，又平面，所以，，综上，，，两两垂直，故可构建如图示的空间直角坐标系，则，，，所以，，易知平面的法向量为设平面的法向量，则，令，则，则,由几何体的特征可知平面与平面的夹角是锐角,故平面与平面的夹角的余弦值为.方法二(几何法)在梯形中，延长相交于,连接.是平面与平面的交线由，，可知是中点，故，又,从而可得,故是直角三角形且平面且，故为平面与平面的二面角的平面角在中，，故，所以余弦值为.19．甲､乙､丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终胜利，比赛结束.经抽签，甲､乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为.(1)求比赛四场结束且丙获胜的概率；(2)求甲最终获胜的概率.【解析】(1)设甲失败的事件为,乙失败的事件为,丙失败的事件为,比赛四场结束且丙获胜的事件为，则；(2)设甲失败的事件为,乙失败的事件为,丙失败的事件为,甲最终获胜事件为，则.20．已知椭圆过点，且离心率.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设C的左､右焦点分别为，，过点作直线l与椭圆C交于A，B两点，，求的面积.【解析】(1)将代入椭圆方程可得，即①因为离心率，即，②，由①②解得，，故椭圆C的标准方程为.(2)由题意可得，，设直线l的方程为，将直线l的方程代入中，得，设，，则，.所以，，所以，，，，，由，解得，所以，，因此.21．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知．(1)求B的值；(2)若，且，求的面积．【解析】(1)，,，，又，即，又.(2)因为，且，所以，则.由正弦定理可得，即，化简得，又，联立可解得故△ABC的面积为.22．已知函数，．(1)当a＝2时，求曲线在处的切线方程；(2)讨论关于x的方程的实根个数．【解析】(1)当a＝2时，，，则切线的斜率为，又，所以曲线在处的切线方程是