第1章 一元二次方程全章复习与测试（解析版）

第1章一元二次方程全章复习与测试1.了解一元二次方程及有关概念；2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．一、一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念：

通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．

2.一元二次方程的一般式：

3.一元二次方程的解：

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.

要点诠释：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．二、一元二次方程的解法1．基本思想一元二次方程一元一次方程2．基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．要点诠释：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解

法，再考虑用公式法．三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.一元二次方程根的判别式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是，那么，.注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0.要点诠释：1.一元二次方程的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：

(1)不解方程判定方程根的情况；

(2)根据参系数的性质确定根的范围；

(3)解与根有关的证明题．

2.一元二次方程根与系数的应用很多：

(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；

(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；

(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．四、列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节：

一是整体地、系统地审题；

二是把握问题中的等量关系；

三是正确求解方程并检验解的合理性.

2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.

3.解决应用题的一般步骤：

审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；

设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；

列(根据题目中的等量关系，列出方程)；

解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验(检验方程的解能否保证实际问题有意义）；

答(写出答案，切忌答非所问).

4.常见应用题型

数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.要点诠释：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.一．一元二次方程的定义（共2小题）1．（2022秋•丹徒区期末）下列方程中，一定是一元二次方程的是（）A．x2﹣+2＝0 B．x2+2x+3＝x（x+1） C．2x+3y＝6 D．（a2+2）x2﹣2x+3＝0【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．【解答】解：A．此方程是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B．由原方程变形得到：x+3＝0，该方程是关于x的一元一次方程，故本选项不符合题意；C．方程2x+3y＝6中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；D．方程a2+2x＝x2+1是一元二次方程，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，只有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．2．（2022秋•大丰区期末）如果（m﹣3）x2+5x﹣2＝0是一元二次方程，则（）A．m≠0 B．m≠3 C．m＝0 D．m＝3【分析】利用一元二次方程定义可得答案．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．【解答】解：∵（m﹣3）x2+5x﹣2＝0是一元二次方程，∴m﹣3≠0，解得：m≠3．故选：B．【点评】此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握一元二次方程的二次项系数不为零．二．一元二次方程的一般形式（共2小题）3．（2022秋•建邺区期中）将方程（x﹣1）2＝6化成一元二次方程的一般形式，正确的是（）A．x2﹣2x+5＝0 B．x2﹣2x﹣5＝0 C．x2+2x﹣5＝0 D．x2+2x+5＝0【分析】先去括号，再移项，最后合并同类项即可．【解答】解：（x﹣1）2＝6，x2﹣2x+1﹣6＝0，x2﹣2x﹣5＝0，即将方程（x﹣1）2＝6化成一般形式为x2﹣2x﹣5＝0，故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）．4．（2021秋•海州区校级期末）一元二次方程3x2﹣2x＝1的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．3，﹣2，1 B．3，2，1 C．3，﹣2，﹣1 D．3，2，﹣1【分析】要确定二次项系数、一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式．【解答】解：∵方程3x2﹣2x＝1化成一般形式是3x2﹣2x﹣1＝0，∴二次项系数是3，一次项系数为﹣2，常数项为﹣1．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式．正确记忆一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）是解题关键．三．一元二次方程的解（共2小题）5．（2022秋•邳州市期末）已知关于x的方程x2+bx+2＝0的一个根为x＝1，则实数b的值为（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3【分析】根据题意可得：把x＝1代入方程x2+bx+2＝0中得：12+b+2＝0，然后进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：把x＝1代入方程x2+bx+2＝0中得：12+b+2＝0，解得：a＝﹣3，故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的意义是解题的关键．6．（2023•武进区校级模拟）若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+x+k2﹣4＝0有一个根是0，则k的值是（）A．﹣2 B．2 C．0 D．﹣2或2【分析】先把x＝0代入（k﹣2）x2+x+k2﹣4＝0得k2﹣4＝0，解关于k的方程得k1＝2，k2＝﹣2，然后根据一元二次方程的定义可确定k的值．【解答】解：把x＝0代入（k﹣2）x2+x+k2﹣4＝0得：k2﹣4＝0，解得k1＝2，k2＝﹣2，而k﹣2≠0，所以k＝﹣2．故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．四．解一元二次方程-直接开平方法（共2小题）7．（2022秋•苏州期末）方程x2＝4的根是（）A． B．2 C．或 D．2或﹣2【分析】直接两边开平方即可得到答案．【解答】解：两边开平方得，x＝±2．故选：D．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．8．（2022秋•宜兴市期末）方程（x+3）2＝4的根是（）A．x1＝﹣1，x2＝﹣5 B．x1＝1，x2＝﹣5 C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝﹣1，x2＝5【分析】利用直接开平方法解方程即可．【解答】解：（x+3）2＝4，∴x+3＝±2，∴x1＝﹣1，x2＝﹣5，故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．五．解一元二次方程-配方法（共2小题）9．（2017秋•灌云县月考）已知一元二次方程x2+4x﹣3＝0，下列配方正确的是（）A．（x+2）2＝3 B．（x﹣2）2＝3 C．（x+2）2＝7 D．（x﹣2）2＝7【分析】方程常数项移到右边，两边加上4配方得到结果，即可做出判断．【解答】解：方程移项得：x2+4x＝3，配方得：x2+4x+4＝7，即（x+2）2＝7，故选：C．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．10．（2022秋•京口区校级期末）解下列方程：（1）3（x﹣1）2﹣12＝0；（2）2x2﹣4x﹣7＝0．【分析】（1）先把方程变形为（x﹣1）2＝4，然后利用直接开平方法解方程；（2）先利用配方法得到（x﹣1）2＝，然后利用直接开平方法解方程．【解答】解：（1）3（x﹣1）2﹣12＝0，（x﹣1）2＝4，x﹣1＝±2，所以x1＝3，x2＝﹣1；（2）2x2﹣4x﹣7＝0，x2﹣2x＝，x2﹣2x+1＝，（x﹣1）2＝，x﹣1＝±，所以x1＝1+，x2＝1﹣．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．也考查了直接开平方法．六．解一元二次方程-公式法（共1小题）11．（2022秋•海安市期末）用适当的方法解下列方程：（1）4x2﹣4x+1＝x2+2x+1；（2）x2﹣x﹣1＝0．【分析】（1）利用因式分解法求解即可；（2）利用公式法求解即可．【解答】解：（1）4x2﹣4x+1＝x2+2x+1，（2x﹣1）2＝（x+1）2，（2x﹣1）2﹣（x+1）2＝0，[（2x﹣1）+（x+1）][（2x﹣1）﹣（x+1）]＝0，∴3x＝0或x﹣2＝0，∴x1＝0，x2＝2．（2）x2﹣x﹣1＝0，∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣1，∴b2﹣4ac＝1﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，∴x＝＝，∴x1＝，x2＝．【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有：直接开平方法，因式分解法，公式法，配方法等等．七．解一元二次方程-因式分解法（共2小题）12．（2023•鼓楼区二模）解方程：x（x﹣6）＝﹣4（x﹣6）．【分析】先移项得到x（x﹣6）+4（x﹣6）＝0，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：x（x﹣6）＝﹣4（x﹣6），x（x﹣6）+4（x﹣6）＝0，（x﹣6）（x+4）＝0，∴x﹣6＝0或x+4＝0∴x1＝6，x2＝﹣4．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．13．（2023•武进区校级模拟）按要求解方程：（1）直接开平方法：4（t﹣3）2＝9（2t﹣3）2；（2）配方法：2x2﹣7x﹣4＝0；（3）公式法：3x2+5（2x+1）＝0；（4）因式分解法：3（x﹣5）2＝2（5﹣x）．【分析】（1）先把方程两边开方得到2（t﹣3）＝±3（2t﹣3），然后解两个一次方程即可；（2）利用配方法得到（x﹣）2＝，然后利用直接开平方法解方程；（3）先把方程化为一般式，再计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解；（4）先移项，再利用因式分解法把方程转化为x﹣5＝0或3x﹣15+2＝0，然后解两个一次方程即可．【解答】解：（1）4（t﹣3）2＝9（2t﹣3）2，2（t﹣3）＝±3（2t﹣3），即2（t﹣3）＝3（2t﹣3）或2（t﹣3）＝﹣3（2t﹣3），所以t1＝，t2＝；（2）2x2﹣7x﹣4＝0，x2﹣x＝2，x2﹣x+（）2＝2+（）2，（x﹣）2＝，x﹣＝±，解得x1＝4，x2＝﹣；（3）3x2+5（2x+1）＝0，3x2+10x+5＝0，∵a＝3，b＝10，c＝5，∴Δ＝102﹣4×3×5＝40＞0，∴x＝＝＝，∴x1＝，x2＝；（4）3（x﹣5）2＝2（5﹣x），3（x﹣5）2+2（x﹣5）＝0，（x﹣5）（3x﹣15+2）＝0，x﹣5＝0或3x﹣15+2＝0，所以x1＝5，x2＝．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法和公式法．八．换元法解一元二次方程（共2小题）14．（2022秋•建湖县校级月考）用适当的方法解下列方程：（1）x2+4x﹣6＝0．（2）（x+4）2＝5（x+4）．（3）3x2﹣1＝4x．（4）（x+2）2﹣8（x+2）+15＝0．【分析】（1）先移项，再配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；（3）移项后求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出方程的解即可；（4）先把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．【解答】解：（1）x2+4x﹣6＝0，x2+4x＝6，配方，得x2+4x+4＝6+4，（x+2）2＝10，开方，得x+2＝，x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣；（2）（x+4）2＝5（x+4），（x+4）2﹣5（x+4）＝0，（x+4）（x+4﹣5）＝0，x+4＝0，或x+4﹣5＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝1；（3）3x2﹣1＝4x，3x2﹣4x﹣1＝0，∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×3×（﹣1）＝28＞0，∴方程有两个不相等的实数根，x＝＝，解得：x1＝，x2＝；（4）（x+2）2﹣8（x+2）+15＝0，（x+2﹣3）（x+2﹣5）＝0，x+2﹣3＝0或x+2﹣5＝0，解得：x1＝1，x2＝3．【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．15．（2021秋•工业园区校级期中）小敏与小霞两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下框：小敏：两边同除以（x﹣3），得3＝x﹣3，则x＝6．小霞：移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0．则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0，解得x1＝3，x2＝0．你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．【分析】小敏：没有考虑x﹣3＝0的情况；小霞：提取公因式时出现了错误．利用因式分解法解方程即可．【解答】解：小敏：×；小霞：×．正确的解答方法：移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x+3）＝0．则x﹣3＝0或3﹣x+3＝0，解得x1＝3，x2＝6．【点评】本题主要考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程时可以采取公式法，因式分解法，配方法以及换元法等，至于选择哪一解题方法，需要根据方程的特点进行选择．九．根的判别式（共2小题）16．（2022秋•邗江区期末）已知关于x的方程mx2+nx﹣2＝0（m≠0）．（1）若方程有两个相等的实数根，请求出m，n的关系；（2）求证：当n＝m﹣2时，方程总有两个实数根．【分析】（1）根据根的判别式符号进行求解；（2）根据判别式以及一元二次方程的解法即可求出答案．【解答】解：（1）由题意得：Δ＝n2﹣4m⋅（﹣2）Δ＝n2+8m，∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝0，∴n2+8m＝0，∴n2＝﹣8m；（2）当n＝m﹣2时，Δ＝（m﹣2）2+8m＝m2+4m+4，∵m2+4m+4＝（m+2）2≥0，∴方程始终有两个实数根．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的判别式．17．（2022秋•泰兴市期末）已知关于x的一元二次方程x2+4x+k＝0有两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）取一个合适的k的值，使得方程的解为负整数并求出此时方程的解．【分析】（1）根据方程有两个实数根可知△≥0，求出k的值即可；（2）取k＝3或4，代入方程求出x的值即可．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+4x+k＝0有两个实数，∴Δ＝16﹣4k≥0，∴k≤4；（2）取k＝3或4，若k＝3时x1＝﹣1，x2＝﹣3，若k＝4时x1＝x2＝﹣2．【点评】此题主要考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是根据方程有两个不等的实数根，求出k的值；一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．一十．根与系数的关系（共3小题）18．（2023•南京三模）若x1，x2是方程x2﹣ax﹣2＝0的两个根，则（）A．x1≠x2 B．x1+x2＞0 C．x1•x2＞0 D．x1＜0，x2＜0【分析】先计算根的判别式的值得到Δ＝a2+8＞0，则根据根的判别式的意义可对A选项进行判断；再根据根与系数的关系得x1+x2＝a，x1x2＝﹣2＜0，则可对C选项进行判断；然后利用a的符号不能确定可对B选项和D选项进行判断．【解答】解：∵Δ＝（﹣a）2﹣4×（﹣2）＝a2+8＞0，∴方程有两个不相等的实数解，即x1≠x2，所以A选项符合题意；根据根与系数的关系得x1+x2＝a，x1x2＝﹣2＜0，∴方程的两个根异号，所以C选项不符合题意；∵a的符号不能确定，∴B选项和D选项不符合题意．故选：A．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根的判别式．19．（2022秋•太仓市期末）已知a，b是一元二次方程x2+x﹣2＝0的两根，求代数式a2+2a+b﹣5的值．【分析】先根据一元二次方程根的定义得到a2＝2﹣a，利用降次方法得到a2+2a+b﹣5＝a+b﹣3，再根据根与系数的关系得到a+b＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵a是一元二次方程x2+x﹣2＝0的根，∴a2+a﹣2＝0，即a2＝2﹣a，∴a2+2a+b﹣5＝2﹣a+2a+b﹣5＝a+b﹣3，∵a，b是一元二次方程x2+x﹣2＝0的两根，∴a+b＝﹣1，∴a2+2a+b﹣5＝﹣1﹣3＝﹣4．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了解一元二次方程．20．（2022秋•大丰区期末）已知关于x的一元二次方程ax2﹣（2a﹣2）x+a﹣2＝0（a≠0）（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数a的值．【分析】（1）求出Δ＝b2﹣4ac即可证出结论；（2）利用求根公式解方程，然后利用有理数的整除性确定a的值．【解答】（1）证明：∵Δ＝（2a﹣2）2﹣4a（a﹣2），＝4a2﹣8a+4﹣4a2+8a，＝4＞0；∴方程有两个不相等的实数根；（2）解：，x1＝1，．∵方程的根均为整数，∴为整数，∴a＝±1或a＝±2，∴正整数a为1，2．【点评】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0时，方程由两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根．一十一．一元二次方程的应用（共2小题）21．（2022秋•常州期末）常州大剧院举办文艺演出．经调研，如果票价定为每张50元，那么1200张门票可以全部售出；如果票价每增加1元，那么售出的门票将会减少20张．要使门票收入达到60500元，票价应定为多少元？【分析】可设票价应定为x元，根据票价×销售的票数＝获得门票收入，即可列出一元二次方程解题．【解答】解：设票价应定为x元，由题意得：x[1200﹣20（x﹣50）]＝60500，解得：x1＝x2＝55．答：票价应定为55元．【点评】本题考查一元二次方程的应用，根据题意正确列出方程式解题的关键．22．（2022秋•江阴市期末）某校为表彰“学生节”中表现优异的学生，计划购买古典诗词和散文两类图书作为奖品．已知古典诗词类图书每本60元，散文类图书每本40元．为弘扬中国传统文化，商家决定对古典诗词类图书推出销售优惠活动，但是散文类图书售价不变．若购买古典诗词类图书不超过40本时，均按每本60元价格销售；超过40本时，每增加2本，单价降低1元．（1）如果购买古典诗词类图书46本，则每本古典诗词类图书的单价是57元；（2）如果该校共购进图书100本，用去购书款4750元．求该校购进古典诗词类图书多少本？【分析】（1）利用每本古典诗词类图书的单价＝60﹣1×，即可求出结论；（2）设该校购进古典诗词类图书x本，则购进散文类图书（100﹣x）本，分x≤40及x＞40两种情况考虑，当x≤40时，利用总价＝单价×数量，可得出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，结合x为正整数，可得出该情况不符合题意，舍去；当x＞40时，利用总价＝单价×数量，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．【解答】解：（1）根据题意得：60﹣1×＝60﹣1×＝60﹣3＝57（元）．故答案为：57；（2）设该校购进古典诗词类图书x本，则购进散文类图书（100﹣x）本．当x≤40时，60x+40（100﹣x）＝4750，解得：x＝，又∵x为正整数，∴x＝不符合题意，舍去；当x＞40时，（60﹣1×）x+40（100﹣x）＝4750，整理得：x2﹣80x+1500＝0，解得：x1＝30（不符合题意，舍去），x2＝50．答：该校购进古典诗词类图书50本．【点评】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元一次方程（一元二次方程）是解题的关键．一十二．配方法的应用（共1小题）23．（2022秋•淮安区校级期末）先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值．解：因为m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，所以m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0．所以（m+n）2+（n﹣3）2＝0．所以m+n＝0，n﹣3＝0．所以m＝﹣3，n＝3．问题：（1）若x2+2xy+5y2+4y+1＝0，求xy的值；（2）已知a，b，c是等腰△ABC的三边长，且a，b满足a2+b2＝10a+8b﹣41，求△ABC的周长．【分析】（1）仿照例题的思路，配成两个完全平方式，然后利用偶次方的非负性，进行计算即可解答；（2）仿照例题的思路，配成两个完全平方式，再利用偶次方的非负性，先求出a，b的值，然后分两种情况，进行计算即可解答．【解答】解：（1）∵x2+2xy+5y2+4y+1＝0，，∴x2+2xy+y2+4y2+4y+1＝0，∴（x+y）2+（2y+1）2＝0，∴x+y＝0，2y+1＝0，∴x＝﹣，y＝，∴xy＝×（﹣）＝﹣，∴xy的值为﹣；（2）∵a2+b2＝10a+8b﹣41，∴a2﹣10a+25+b2﹣8b+16＝0，∴（a﹣5）2+（b﹣4）2＝0，∴a﹣5＝0，b﹣4＝0，∴a＝5，b＝4，因为△ABC是等腰三角形，所以c＝5或4，分两种情况：当c＝5时，△ABC的周长为5+5+4＝14，当c＝4，△ABC的周长为5+4+4＝13，所以△ABC的周长为13或14．【点评】本题考查了配方法的应用，偶次方的非负性，三角形的三边关系，熟练掌握完全平方式是解题的关键．一十三．高次方程（共2小题）24．（2022•扬州一模）已知x1、x2、x3为方程x3+3x2﹣9x﹣4＝0的三个实数根，则下列结论一定正确的是（）A．x1x2x3＜0 B．x1+x2﹣x3＞0 C．x1﹣x2﹣x3＞0 D．x1+x2+x3＜0【分析】由x3+3x2﹣9x﹣4＝0可得x2+3x﹣9＝则x1、x2、x3可以看作是抛物线y＝x2+3x﹣9与反比例函数y＝的三个交点的横坐标，由此画出函数图象求解即可．【解答】解：∵x3+3x2﹣9x﹣4＝0，当x＝0时，﹣4≠0，∴x2+3x﹣9﹣＝0，∴x1、x2、x3可以看作是抛物线y＝x2+3x﹣9与反比例函数y＝的三个交点的横坐标，由函数图象可知x1x2x3＞0，x1+x2+x3＜0，根据已知条件无法判定x1+x2﹣x3＞0，x1﹣x2﹣x3＞0，故选：D．【点评】本题主要考查了反比例函数与二次函数综合，正确理解题意得到x1、x2、x3可以看作是抛物线y＝x2+3x﹣9与反比例函数y＝的三个交点的横坐标是解题的关键．25．（2022秋•镇江月考）阅读理解：回顾我们学过的各类方程的解法，不难发现：各类方程的解法虽各不相同，但是它们的一个共同的基本数学思想——转化，即化未知为已知．用转化的数学思想，我们可以解一些新的方程．例如：一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）＝0，解一元一次方程x＝0和一元二次方程x2+x﹣2＝0，可得x＝0，x＝﹣2，x＝1；操作尝试：解一元三次方程x4+x3﹣x2＝0．【分析】先通过因式分解把方程化为两个二次方程，再利用公式法求解二次方程．【解答】解：x4+x3﹣x2＝0，∴x2（x2+x﹣1）＝0．∴x2＝0，x2+x﹣1＝0．当x2＝0时，x1＝x2＝0；当x2+x﹣1＝0时，x＝．∴x3＝，x4＝．【点评】本题考查了一元二次方程、高次方程的解法，看懂题例掌握一元二次方程的解法是解决本题的关键．一十四．无理方程（共2小题）26．（2022秋•邳州市期中）我们已探索过二元一次方程组、分式方程及一元二次方程方程的解法，在学习过程中感受到转化数学思想及检验反思的数学方法．（1）你能否用这些数学思想方法来探索方程﹣x+＝﹣1的解？（2）在求解的过程中，你有何疑惑，请尝试解决这些疑惑？【分析】（1）根据两边分别平方，把无理方程转化为有理方程，结果一定要检验；（2）根据解题过程解答．【解答】解：（1）解：移项，得：＝x﹣1，方程两边平方，得x+5＝x2﹣2x+1，即x2﹣3x﹣4＝0，解方程，得x＝﹣1或x＝4，经检验：x＝4是原方程的解；（2）疑惑是：如何把无理方程化为有理方程，通过两边平方解决．【点评】本题考查了无理方程，转化思想是解题的关键．27．（2022秋•太仓市期中）阅读理解以下内容，解决问题：例：解方程：x2+|x|﹣2＝0．解：∵x2＝|x|2，∴方程即为：|x|2+|x|﹣2＝0，设|x|＝t，原方程转化为：t2+t﹣2＝0解得，t1＝1，t2＝﹣2，当t1＝1时，即|x|＝1，∴x1＝1，x2＝﹣1；当t2＝﹣2时，即|x|＝﹣2，不成立．∴综上所述，原方程的解是x1＝1，x2＝﹣1．以上解方程的过程中，将其中|x|作为一个整体设成一个新未知数t，从而将原方程化为关于t的一元二次方程，像这样解决问题的方法叫做“换元法”（“元”即未知数）．（1）已知方程：x2+﹣2x﹣﹣1＝0，若设x+＝m，则利用“换元法”可将原方程化为关于m的方程是m2﹣2m﹣3＝0；（2）仿照上述方法，解方程：﹣﹣5＝0．【分析】（1）根据完全平方公式由x+＝m，得，再变形原方程便可；（2）设，则，得m2﹣m﹣6＝0，再解一元二次方程，最后代入所设代数式解方程便可．【解答】解：（1）设x+＝m，则，∴x2+﹣2x﹣﹣1＝0可化为：m2﹣2﹣2m﹣1＝0，即m2﹣2m﹣3＝0，故答案为：m2﹣2m﹣3＝0；（2）设，则，原方程可化为：m2﹣1﹣m﹣5＝0，整理得m2﹣m﹣6＝0，（m﹣3）（m+2）＝0，m﹣3＝0或m+2＝0，∴m＝3或﹣2，当m＝3时，，解得x＝，当m＝﹣2时，（无解），检验，当x＝时，左边＝8﹣3﹣5＝0＝右边，∴x＝是原方程的解，故原方程的解为：x＝．【点评】本题主要考查了换元法，无理方程，关键掌握换元法的思想方法．一十五．一元二次方程的整数根与有理根（共2小题）28．（2022秋•连云港期末）一元二次方程x2﹣8x﹣a＝0的两实数根都是整数，则下列选项中a可以取的值是（）A．12 B．16 C．20 D．24【分析】分别代入数值解方程，逐一判断即可解题．【解答】解：当a＝12时，方程为x2﹣8x﹣12＝0，解得不是整数，故A选项不符合题意；当a＝16时，方程为x2﹣8x﹣16＝0，解得不是整数，故B选项不符合题意；当a＝20时，方程为x2﹣8x﹣20＝0，解得x＝10或x＝﹣2是整数，故C选项符合题意；当a＝24时，方程为x2﹣8x﹣24＝0，解得不是整数，故D选项不符合题意；解法二：x＝4±，由选项可知，a＝20，符合题意．故选：C．【点评】本题考查一元二次方程的整数根与有理根，解题的关键是利用特殊值法解决问题．29．（2022•工业园区校级自主招生）已知关于x的方程|x2+2px﹣3p2+5|﹣q＝0，其中p，q都是实数．（1）若q＝0时，方程有两个不同的实数根x1，x2，且，求实数p的值．（2）若方程有三个不同的实数根x1，x2，x3，且，求实数p和q的值．（3）是否同时存在质数p和整数q使得方程有四个不同的实数根x1，x2，x3，x4且x1x2x3x4＝3（）4？若存在，求出所有满足条件的p，q．若不存在，说明理由．【分析】（1）根据根与系数的关系可得△＝（2p）2﹣4（﹣3p2+5）＝16p2﹣20＞0，x1+x2＝﹣2p，x1x2＝5﹣3p2，代入可得关于p的方程，解方程即可；（2）由方程有三个不同的实数根x1、x2、x3，可得x3＝﹣p，x1、x2是方程x2+2px﹣3p2+5＝q的两根；由根与系数的关系可得x1+x2＝﹣2p，x1x2＝10﹣7p2，x3＝﹣p．△＝（2p）2﹣4（﹣7p2+10）＝32p2﹣40＞0，进而得到关于p的方程，解出p即可求出q的值；（3）方程有四个不同的实数根x1，x2，x3，x4，由（2）知0＜q＜4p2﹣5，不妨设x1，x2是方程x2+2px﹣3p2+5﹣q＝0的两根，x3，x4是方程x2+2px﹣3p2+5+q＝0的两根，可得3p4＝3p4×1＝p4×2＝3p3×p＝p3×3p＝3p2×p2，进行讨论即可求解．【解答】解：（1）若q＝0，则方程为x2+2px﹣3p2+5＝0．因该方程有两个不同的实数x1、x2，可得△＝（2p）2﹣4（﹣3p2+5）＝16p2﹣20＞0，x1+x2＝﹣2p，x1x2＝5﹣3p2，解得p2＞；由，得+＝＝＝，解得p＝5或﹣．（注意5﹣3p2≠0）因为p2＞，所以p＝5．（2）显然q＞0．方程可写成x2+2px﹣3p2+5＝±q．因该方程有三个不同的实数根，即函数y1＝x2+2px﹣3p2+5与y2＝±q的图象有三个不同的交点，可得：x3＝﹣p，﹣q＝＝5﹣4p2，即q＝4p2﹣5，因为x1、x2是方程x2+2px﹣3p2+5＝q的两根，即x2+2px﹣7p2+10＝0．则x1+x2＝﹣2p，x1x2＝10﹣7p2，x3＝﹣p．△＝（2p）2﹣4（﹣7p2+10）＝32p2﹣40＞0，解得p2＞．由，得+＝+＝＝0，解得p2＝2＞，所以p＝﹣或，q＝4p2﹣5＝3．（3）存在．方程有四个不同的实数根x1，x2，x3，x4，由（2）知0＜q＜4p2﹣5，不妨设x1，x2是方程x2+2px﹣3p2+5﹣q＝0的两根，x3，x4是方程x2+2px﹣3p2+5+q＝0的两根，则x1+x2＝﹣2p，x1x2＝﹣3p2+5﹣q，x3+x4＝﹣2p，x3x4＝﹣3p2+5+q，则x1+x2+x3+x4＝﹣4p，x1x2x3x4＝（﹣3p2+5﹣q）（﹣3p2+5+q）＝（3p2﹣5+q）（3p2﹣5﹣q），因为x1x2x3x4＝3（）4，所以（3p2﹣5+q）（3p2﹣5﹣q）＝3p4，因为P是质数，p≥2，3p2﹣5+q＞3p2﹣5﹣q＞0，所以3p2﹣5+q＞p2＞p2，3p4＝3p4×1＝p4×2＝3p3×p＝p3×3p＝3p2×p2，则，则3p4﹣6p2+11＝0无解，则，则3p4﹣6p2+13＝0无解，则，则3p3﹣6p2+p+10＝0，解得p＝﹣1，则，则p3﹣6p2+3p+10＝0，解得p＝﹣1，2，5，则，则2p2﹣10＝0，解得p＝±．故p＝2，5，所以存在满足条件的p，q．当p＝2时，q＝1；当p＝5时，q＝55．【点评】本题考查了一元二次方程的整数根与有理根，根与系数的关系，牢记两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的关键．一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）下列方程属于一元二次方程的是（）A．1﹣x＝2x B．x+2y＝3 C．2x2﹣x+1＝0 D．【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【解答】解：A、未知数的最高次数是1，故本选项不符合题意；B、方程含有两个未知数，故本选项不符合题意；C、符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意；D、不是整式方程，故本选项不符合题意．故选：C．【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．2．（3分）把方程x2+2x＝5（x﹣2）化成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（）A．1，﹣3，2 B．1，7，﹣10 C．1，﹣5，12 D．1，﹣3，10【分析】先把x2+2x＝5（x﹣2）化简，然后根据一元二次方程的一般形式即可得到a、b、c的值．【解答】解：x2+2x＝5（x﹣2），x2+2x＝5x﹣10，x2+2x﹣5x+10＝0，x2﹣3x+10＝0，则a＝1，b＝﹣3，c＝10，故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a≠0），其中a叫二次项系数，b叫一次项系数，c叫常数项．3．（3分）下列配方有错误的是（）A．x2﹣4x﹣1＝0，化为（x﹣2）2＝5 B．x2+6x+8＝0，化为（x+3）2＝1 C．2x2﹣7x﹣6＝0，化为（x﹣）2＝ D．3x2﹣4x﹣2＝0，化为（3x+2）2＝6【分析】根据配方法的一般步骤对各选项进行判断．【解答】解：A、由x2﹣4x﹣1＝0可化为（x﹣2）2＝5，所以A选项的计算正确；B、由x2+6x+8＝0可化为（x+3）2＝1，所以B选项的计算正确；C、先化为x2﹣x＝3，则可化为（x﹣）2＝，所以C选项的计算正确；D、先化为x2﹣x＝，则可化为（x﹣）2＝，所以D选项的计算错误．故选：D．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．4．（3分）关于x的方程x2+（k2﹣4）x+k+1＝0的两个实数根互为相反数，则k的值是（）A．k＝±2 B．k＝2 C．k≥﹣1 D．k＝﹣2【分析】根据一元二次方程根与系数的关系列出方程求解即可．【解答】解：设x1，x2是关于x的一元二次方程x2+（k2﹣4）x+k+1＝0的两个实数根，且两个实数根互为相反数，则x1+x2＝﹣＝﹣（k2﹣4）＝0，即k＝±2，当k＝2时，方程无解，故舍去．故选：D．【点评】本题考查的是根与系数的关系．x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2＝﹣，x1•x2＝．5．（3分）若关于x的方程（x2+2x）2+2（x2+2x）﹣8＝0有实数根，则x2+2x的值为（）A．﹣4 B．2 C．﹣4或2 D．4或﹣2【分析】设x2+2x＝y，则原方程可化为y2+2y﹣8＝0，解得y的值，即可得到x2+2x的值．【解答】解：设x2+2x＝y，则原方程可化为y2+2y﹣8＝0，解得：y1＝﹣4，y2＝2，当y＝﹣4时，x2+2x＝﹣4，即x2+2x+4＝0，Δ＝22﹣4×1×4＜0，方程无解，∴x2+2x的值为2，故选：B．【点评】本题考查了换元法解一元二次方程，的关键是把x2+2x看成一个整体来计算，即换元法思想．6．（3分）一元二次方程x2﹣2x﹣6＝0，其中较大的一个根为x1，下列最接近x1的范围是（）A．3＜x1＜4 B．3＜x1＜3.5 C．3.5＜x1＜3.7 D．3.7＜x1＜4【分析】先利用求根公式解方程得到x1＝1+，x2＝1﹣，然后利用无理数的估算进行判断．【解答】解：△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣6）＝28，x＝＝1±，所以x1＝1+，x2＝1﹣，而2.5＜＜2.7，所以3.5＜1+＜3.7．故选：C．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．7．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则（）A．m＜1 B．m＞1 C．m≠0 D．0＜m＜1【分析】利用判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4m＞0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4m＞0，解得m＜1．故选：A．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．8．（3分）已知无论x取何值，等式（x+a）（x+b）＝x2+2x+n恒成立，则关于代数式a3b+ab3﹣2的值有下列结论：①交换a，b的位置，代数式的值不变；②该代数式的值是非正数；③该代数式的值不会小于﹣2，上述结论正确的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【分析】由等式（x+a）（x+b）＝x2+2x+n恒成立，表示出a+b＝2，ab＝n，将a3b+ab3﹣2化简为ab[（a+b）2﹣2ab]﹣2，将a+b，ab的值代入然后配方可得．【解答】解：∵等式（x+a）（x+b）＝x2+2x+n恒成立，即x2+（a+b）x+ab＝x2+2x+n恒成立，∴，∴a3b+ab3﹣2＝ab（a2+b2）﹣2＝ab[（a+b）2﹣2ab]﹣2＝n[22﹣2n]﹣2＝4n﹣2n2﹣2＝﹣2n2+4n﹣2＝﹣2（n﹣1）2≤0，∵﹣2（n﹣1）2中只与n有关，故①正确；根据偶次幂为非负数得：﹣2（n﹣1）2≤0，故②正确，③错误；故选：A．【点评】本题以恒等式为背景考查了配方法的应用和偶次幂为非负数的应用，关键是根据恒等式求出a+b，ab的值，将a+b，ab的值代入a3b+ab3﹣2配方化简即可．9．（3分）2018年，宣城市全年居民人均可支配收入26112元，2020年全年居民人均可支配收入为30746元，设宣城市2018年至2020年全年居民人均可支配收入的年平均增长率为x，则可列方程为（）A．26112（1+2x）＝30746 B．26112（1+x）2＝30746 C．26112（1﹣2x）＝30746 D．26112（1﹣x）2＝30746【分析】根据题意可得等量关系：2018年全年居民人均可支配收入×（1+增长率）2＝2020年全年居民人均可支配收入，根据等量关系列出方程即可．【解答】解：设宣城市2018年至2020年全年居民人均可支配收入的年平均增长率为x，由题意得：26112（1+x）2＝30746，故选：B．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．10．（3分）三角形的两边长分别为2和7，第三边是方程x2﹣10x+21＝0的解，则第三边的长为（）A．7 B．3 C．7或3 D．无法确定【分析】先利用因式分解法解方程得到x1＝7，x2＝3，然后利用三角形三边的关系确定三角形第三边的长．【解答】解：x2﹣10x+21＝0，（x﹣7）（x﹣3）＝0，x﹣7＝0或x﹣3＝0，所以x1＝7，x2＝3，因为2+3＝5＜7，所以三角形第三边的长为7．故选：A．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了三角形三边的关系．二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）11．（3分）若ax2﹣9x+5＝0是一元二次方程，则不等式3a+6＞0的解集是a＞﹣2且a≠0．【分析】首先利用一元二次方程的定义得出a的取值，进而解不等式得出答案．【解答】解：∵ax2﹣9x+5＝0是一元二次方程，∴a≠0，∵不等式3a+6＞0，∴a＞﹣2，则a＞﹣2且a≠0．故答案为：a＞﹣2且a≠0．【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义以及不等式解法，正确得出a的取值范围是解题关键．12．（3分）解方程2（x﹣1）2＝8，则方程的解是x1＝3，x2＝﹣1．【分析】先把方程变形为（x﹣1）2＝4，然后利用直接开平方法解方程．【解答】解：（x﹣1）2＝4，x﹣1＝±2，所以x1＝3，x2＝﹣1．故答案为x1＝3，x2＝﹣1．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．13．（3分）方程的解是x＝1．【分析】根据解无理方程的一般步骤解出方程．【解答】解：方程两边平方，得2x﹣1＝1，解得，x＝1，检验：当x＝1时，2x﹣1＝1＞0，所以原方程的解为x＝1，故答案为：x＝1．【点评】本题考查的是无理方程的解法，解无理方程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程，注意：用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．14．（3分）关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0的一个根是1，则另一根为﹣3．【分析】根据根与系数的关系可得x1+x2＝﹣＝﹣m，x1x2＝＝﹣3，把x1＝1代入，可求x2，进而可求m．【解答】解：根据题意可得x1+x2＝﹣＝﹣m，x1x2＝＝﹣3，∵x1＝1，∴1+x2＝﹣m，x2＝﹣3，∴m＝2．故答案为：﹣3【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．15．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣k＝0有两个不相等的实数根，则k的值可以为3（答案不唯一）．（写出一个即可）【分析】先根据根的判别式求出k的范围，再在范围内取一个符合的数即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣k＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣k）＝16+4k＞0，解得k＞﹣4，取k＝3，故答案为：3（答案不唯一）．【点评】本题考查了根的判别式，能根据根的判别式的内容得出关于k的不等式是解此题的关键．16．（3分）若实数a，b满足（2a+2b）（2a+2b﹣2）﹣8＝0，则a+b＝﹣1或2．【分析】设a+b＝x，则原方程转化为关于x的一元二次方程，通过解该一元二次方程来求x即（a+b）的值．【解答】解：设a+b＝x，则由原方程，得2x（2x﹣2）﹣8＝0，整理，得4x2﹣4x﹣8＝0，即x2﹣x﹣2＝0，分解得：（x+1）（x﹣2）＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝2．则a+b的值是﹣1或2．故答案是：﹣1或2．【点评】本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．17．（3分）如图，已知AB⊥BC，AB＝12cm，BC＝8cm．一动点N从C点出发沿CB方向以1cm/s的速度向B点运动，同时另一动点M由点A沿AB方向以2cm/s的速度也向B点运动，其中一点到达B点时另一点也随之停止，当△MNB的面积为24cm2时运动的时间t为2秒．【分析】根据题意可知CN＝tcm，AM＝2tcm，进而可得出BN＝（8﹣t）cm，BM＝（12﹣2t）cm，根据△MNB的面积为24cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．【解答】解：根据题意可知CN＝tcm，AM＝2tcm，∴BN＝（8﹣t）cm，BM＝（12﹣2t）cm，∵△MNB的面积为24cm2，∴×（12﹣2t）×（8﹣t）＝24，整理得：t2﹣14t+24＝0，解得：t1＝2，t2＝12（不合题意，舍去）．故答案为：2．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．18．（3分）若代数式x2﹣4x+1的值与﹣3x+2的值相等，则x的值为x1＝，x2＝．【分析】先列方程，再把方程化为一般式，然后利用公式法解方程．【解答】解：根据题意得x2﹣4x+1＝﹣3x+2，整理得x2﹣x﹣1＝0，∵Δ＝（﹣1）2﹣4×（﹣1）＝5＞0，∴x＝＝，∴x1＝，x2＝．故答案为：x1＝，x2＝．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．三．解答题（共6小题，满分46分）19．（8分）用适当的方法解下列各一元二次方程：（1）x（x﹣2）＝15；（2）3x2+6x﹣8＝0（用配方法）；（3）（x+2）2﹣10（x+2）+21＝0；（4）3x2﹣5x+2＝0；（5）（x+2）2+（x﹣1）2＝6．【分析】（1）（4）用因式分解的十字相乘法求解比较简便；（2）先把常数项移到等号的另一边，把二次项系数化为1，配方，利用直接开平方法求解；（3）把（x+2）看成一个整体，利用因式分解的十字相乘法求解比较简便；（5）先整理方程，用公式法比较简便．【解答】解：（1）x（x﹣2）＝15，整理，得a2﹣2a﹣15＝0，∴（a﹣5）（a+3）＝0．∴a﹣5＝0或a+3＝0．∴a1＝5，a2＝﹣3；（2）3x2+6x﹣8＝0（用配方法），移项，得3x2+6x＝8，二次项系数化为1，得x2+2x＝，配方，得x2+2x+1＝，∴（x+1）2＝．∴x+1＝±．∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；（3）（x+2）2﹣10（x+2）+21＝0，∴[（x+2）﹣7][（x+2）﹣3]＝0，即（x﹣5）（x﹣1）＝0．∴x﹣5＝0或x﹣1＝0．∴x1＝5，x2＝1；（4）3x2﹣5x+2＝0，（3x﹣2）（x﹣1）＝0，3x﹣2＝0或x﹣1＝0，∴x1＝，x2＝1；（5）（x+2）2+（x﹣1）2＝6，方程整理，得2x2+2x﹣1＝0