第10讲 直线与圆的位置关系（7种题型）（解析版）

第10讲直线与圆的位置关系（7种题型）1.理解并掌握直线与圆的各种位置关系；

2.理解切线的判定定理、性质定理和切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，并熟练掌握以上内容解决一些实际问题；一．直线与圆的位置关系（1）直线和圆的三种位置关系：①相离：一条直线和圆没有公共点．②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d＝r③直线l和⊙O相离⇔d＞r．二．切线的性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的性质可总结如下：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．（3）切线性质的运用由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．三．切线的判定（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（2）在应用判定定理时注意：①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．四．切线的判定与性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（3）常见的辅助线的：①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．五．弦切角定理（1）弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．（2）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半．如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，则有∠PCA＝∠PBC（∠PCA为弦切角）．六．切线长定理（1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．（4）切线长定理包含着一些隐含结论：①垂直关系三处；②全等关系三对；③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．七．切割线定理（1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT的平方＝PA•PB（切割线定理）（2）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．几何语言：∵PBA，PDC是⊙O的割线∴PD•PC＝PA•PB（切割线定理推论）（割线定理）由上可知：PT2＝PA•PB＝PC•PD．八．三角形的内切圆与内心（1）内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．（3）三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．一．直线与圆的位置关系1．（2023•淮阴区一模）已知⊙O的半径为5，直线l与⊙O有2个公共点，则点O到直线l的距离可能是（）A．3 B．5 C．7 D．9【分析】根据圆O的半径和圆心O到直线L的距离的大小，相交：d＜r；相切：d＝r；相离：d＞r；即可选出答案．【解答】解：∵直线l与⊙O有2个公共点，∴直线l与⊙O相交，∵⊙O的半径为5，∴点O到直线l的距离＜5，故选：A．【点评】本题主要考查对直线与圆的位置关系的性质的理解和掌握，能熟练地运用性质进行判断是解此题的关键．2．（2022秋•宜兴市期末）已知⊙O的半径为6cm，点O到直线l的距离为7cm，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定【分析】设圆的半径为r，点O到直线l的距离为d，若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线与圆相切；若d＞r，则直线与圆相离，从而得出答案．【解答】解：∵⊙O的半径为6cm，圆心O到直线l的距离为7cm，6＜7，∴直线l与⊙O相离．故选：C．【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，当d＞r时，直线l和⊙O相离是解答此题的关键．3．（2022秋•亭湖区校级月考）已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝4，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．平行【分析】先求方程的根，可得r的值，由直线与圆的位置关系的判断方法可求解．【解答】解：∵x2﹣2x﹣3＝0，∴x1＝﹣1，x2＝3，∵⊙O的半径为一元二次方程程x2﹣2x﹣3＝0的根，∴r＝3，∵d＞r，∴直线l与⊙O的位置关系是相离，故选：C．【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．4．（2022秋•江都区期末）在直角坐标系中，点P的坐标是，⊙P的半径为2，下列说法正确的是（）A．⊙P与x轴、y轴都有两个公共点 B．⊙P与x轴、y轴都没有公共点 C．⊙P与x轴有一个公共点，与y轴有两个公共点 D．⊙P与x轴有两个公共点，与y轴有一个公共点【分析】点P到x轴的距离是，到y轴的距离为2，圆P的半径是2，所以可判断圆P与x轴相交，与y轴相切，从而确定答案即可．【解答】解：∵P（2，），圆P的半径为2，∴以P为圆心，以2为半径的圆与x轴的位置关系是相交，与y轴的位置关系是相切，∴该圆与x轴的交点有2个，与y轴的交点有1个．故选：D．【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟记直线与圆的位置关系的判定方法是解本题的关键．5．（2023•南关区校级三模）如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，∠AOB＝45°，点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设OP＝x，则x的取值范围是0＜x≤．【分析】根据题意，知直线和圆有公共点，则相切或相交．相切时，设切点为C，连接OC．根据等腰直角三角形的直角边是圆的半径1，求得斜边是，所以x的取值范围是0＜x≤．【解答】解：设切点为C，连接OC，则圆的半径OC＝1，OC⊥PC，∵∠AOB＝45°，OA∥PC，∴∠OPC＝45°，∴PC＝OC＝1，∴OP＝，同理，原点左侧的距离也是，且线段的长度是正数，∴x的取值范围是0＜x≤，故答案为：0＜x≤．【点评】此题主要考查了直线与圆的位置关系，分别得出两圆与圆相切时求出OP的长是解决问题的关键，难度一般，注意两个极值点的寻找．6．（2023•工业园区校级模拟）如图，半径为10的⊙M经过x轴上一点C，与y轴交于A、B点，连接AM、AC，AC平分∠OAM，AO+CO＝12．（1）判断⊙M与x轴的位置关系，并说明理由；（2）求AB的长．【分析】（1）连接OM，由AC平分∠OAM可得∠OAC＝∠CAM，又MC＝AM，所以∠CAM＝∠ACM，进而可得∠OAC＝∠ACM，所以OA∥MC，可得MC⊥x轴，进而可得结论；（2）过点M作MN⊥y轴于点N，则AN＝BN，且四边形MNOC是矩形，设AO＝m，可分别表达MN和ON，进而根据勾股定理可建立等式，得出结论；【解答】解：（1）猜测⊙M与x轴相切，理由如下：如图，连接OM，∵AC平分∠OAM，∴∠OAC＝∠CAM，又∵MC＝AM，∴∠CAM＝∠ACM，∴∠OAC＝∠ACM，∴OA∥MC，∵OA⊥x轴，∴MC⊥x轴，∵CM是半径，∴⊙M与x轴相切．（2）如图，过点M作MN⊥y轴于点N，∴AN＝BN＝AB，∵∠MCO＝∠AOC＝∠MNA＝90°，∴四边形MNOC是矩形，∴NM＝OC，MC＝ON＝10，设AO＝m，则OC＝12﹣m，∴AN＝10﹣m，在Rt△ANM中，由勾股定理可知，AM2＝AN2+MN2，∴102＝（10﹣m）2+（12﹣m）2，解得m＝4或m＝18（舍去），∴AN＝6，∴AB＝12．【点评】本题主要考查切线的定义，勾股定理，矩形的性质与判定，垂径定理，待定系数法求函数表达式，题目比较简单，关键是掌握相关定理．二．切线的性质7．（2023•建邺区二模）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标是（4，5），⊙P与x轴相切，点A，B在⊙P上，它们的横坐标分别是0，9．若⊙P沿着x轴向右作无滑动的滚动，当点B第一次落在x轴上时，此时点A的坐标是（）​A．（7+2π，9） B．（7+2.5π，9） C．（7+2π，8） D．（7+2.5π，8）【分析】设⊙P与x轴的切点为D，过点P作PC⊥y轴于C，连接PD，PA，先根据切线的性质得出圆的半径为5，再借助勾股定理求出AC的长，结合点B的横坐标确定点B的位置，从而得出点B第一次落在x轴上时滚动了90°，求出弧长，从而得出点A滚动后的坐标．【解答】解：如图1，设⊙P与x轴的切点为D，过点P作PC⊥y轴于C，连接PD，PA，∴PD⊥x轴，∵点P的坐标是（4，5），∴PC＝4，PD＝5，即⊙P的半径为5，∴PA＝PD＝5，在Rt△PCA中，由勾股定理得：，延长CP与⊙P相交，此时交点到点C的距离为9，而点B的横坐标为9，故交点为点B，∴∠DPB＝90°，如图2，当点B第一次落在x轴上时，⊙P滚动了90°，∴点B滚动的距离为：，点A的对应点为A'，点C的对应点为C'，点B的对应点为B'，点P的对应点为P'，此时A'C'＝AC＝3，P'C'＝PC＝4，点A'的纵坐标为P'C'+5＝4+5＝9，点A'的横坐标为PC+A'C'+2.5π＝4+3+2.5π＝7+2.5π，∴点A'的坐标为（7+2.5π，9），即此时点A的坐标是（7+2.5π，9），故选：B．【点评】本题主要考查了切线的性质，勾股定理，弧长公式等知识，掌握圆的切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．8．（2023•高邮市模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D分别在两个半圆上，若过点C的切线与AB的延长线交于点E，则∠D与∠E的数量关系是（）A．∠D+∠E＝90° B．∠D+2∠E＝180° C．2∠D﹣∠E＝90° D．2∠D+∠E＝180°【分析】连接BC，OC，AC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，得到∠D＝90°﹣∠BAC＝90°﹣∠COE，根据切线的性质得到∠OCE＝90°，求得∠COE＝90°﹣∠E，于是得到结论．【解答】解：连接BC，OC，AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝∠D＝90°﹣∠BAC，∵OA＝OC，∠COE＝∠BAC+∠ACO，∴∠BAC＝∠ACO＝∠COE，∴∠D＝90°﹣∠BAC＝90°﹣∠COE，∵CE是⊙O的切线，∴∠OCE＝90°，∴∠COE＝90°﹣∠E，∴∠D＝90°﹣∠COE＝90°﹣×（90°﹣∠E），∴2∠D﹣∠E＝90°．故选：C．【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．9．（2023•阜宁县二模）如图​，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝115°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为40°．【分析】连接OC、CD，由切线的性质得出∠OCP＝90°，由圆内接四边形的性质得出∠ODC＝180°﹣∠A＝65°，由等腰三角形的性质得出∠OCD＝∠ODC＝65°，求出∠DOC＝50°，由直角三角形的性质即可得出结果．【解答】解：如图所示：连接OC、CD，∵PC是⊙O的切线，∴PC⊥OC，∴∠OCP＝90°，∵∠A＝119°，∴∠ODC＝180°﹣∠A＝65°，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝65°，∴∠DOC＝180°﹣2×65°＝50°，∴∠P＝90°﹣∠DOC＝40°．故答案为：40°．【点评】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握切线的性质是解题的关键．10．（2023•宝应县一模）如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，点C在劣弧AB上，∠P＝38°，则∠ACB＝109°．【分析】作所对的圆周角∠ADB，连接OA、OB，如图，先根据切线的性质得到∠OAP＝∠OBP＝90°，再利用四边形的内角和计算出∠AOB＝142°，则根据圆周角定理得到∴ADB＝71°，然后根据圆内接四边形的对角互补计算∠ACB的度数．【解答】解：作所对的圆周角∠ADB，连接OA、OB，如图，∵PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∵∠AOB+∠P＝180°，∴∠AOB＝180°﹣38°＝142°，∴∠ADB＝∠AOB＝71°，∵∠ACB+∠ADB＝180°，∴∠ACB＝180°﹣71°＝109°．故答案为：109．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．11．（2023•玄武区一模）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，过点A作AC∥PB交⊙O于点C，连接BC，若∠P＝α，则∠PBC的度数为（）A．90°+α B．90 C．180°﹣α D．180【分析】连接OA，OB，由PA，PB是⊙O的切线，得到∠OAP＝∠OBP＝90°，即可求出∠AOB，由圆周角定理求出∠C，由平行线的性质即可求出∠PBC．【解答】解：连接OA，OB，∵PA，PB是⊙O的切线，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∵∠AOB+∠P+∠OAP+∠OBP＝360°，∴∠AOB＝180°﹣α，∴∠C＝∠AOB＝90°﹣α，∵AC∥PB，∴∠PBC+∠C＝180°，∴∠PBC＝180°﹣（90°﹣α）＝90°+α．故选：A．【点评】本题考查切线的性质，圆周角定理，平行线的性质，关键是由切线的性质定理，圆周角定理求出∠C．12．（2023•邗江区校级模拟）如图，等腰△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝AC＝8，半径为2的⊙O在射线AC上运动，当⊙O与△ABC的一边相切时，线段CO的长度为4或．【分析】当⊙O与AB相切时，设切点为D，连接OD，求得∠ADO＝90°，过C作CE⊥AB于E，得到∠AEC＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠A＝30°，根据等腰三角形的性质得到OC＝AC﹣AO＝4，当⊙O与BC相切时，设切点为E，连接OE，根据平角的定义得到∠OCE＝60°，于是得到结论．【解答】解：当⊙O与AB相切时，设切点为D，连接OD，则∠ADO＝90°，过C作CE⊥AB于E，∴∠AEC＝90°，∵AC＝BC，∠ACB＝120°，∴∠A＝30°，∴AO＝2OD＝4，∴OC＝AC﹣AO＝4，当⊙O与BC相切时，设切点为E，连接OE，∵∠ACB＝120°，∴∠OCE＝60°，∵OE＝2．∴，综上所述，线段CO的长度为4或，故答案为：4或．【点评】本题考查了切线的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．13．（2023•南通二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，DE是⊙O的切线，交AC于点E．（1）求证：DE⊥AC；（2）若AC交⊙O于点F，AF＝8，AB＝10，求BD的长．【分析】（1）连接AD、OD．先证明∠ADB＝90°，∠EDO＝90°，从而可证明∠EDA＝∠ODB，由OD＝OB可得到∠EDA＝∠OBD，由等腰三角形的性质可知∠CAD＝∠BAD，故此∠EAD+∠EDA＝90°，由三角形的内角和定理可知∠DEA＝90°，于是可得到DE⊥AC．（2）由等腰三角形的性质求出BD＝CD＝8，由勾股定理求出AD的长，根据三角形的面积得出答案．【解答】（1）证明：连接AD、OD、DF．∵DE是圆O的切线，∴OD⊥DE，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∴DE⊥AC；（2）解：连接BF，∵AB是⊙O的直径，∵AF＝8，AB＝10，∴BF＝，∴FC＝AC﹣AF＝2，在Rt△BFC中，BC＝，∴OD⊥DE，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，BD＝DC，AD⊥BC，∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∴，∵OD＝AB＝5，∴，∴BD＝．【点评】本题考查了圆周角定理，切线的性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，勾股定理，三角形的面积等知识，掌握切线的性质是解题的关键．三．切线的判定14．（2022秋•东海县校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，以点A为圆心，以3cm为半径作⊙A，当AB＝6cm时，BC与⊙A相切．【分析】当BC与⊙A相切，点A到BC的距离等于半径即可．【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D．∵AB＝AC，∠B＝30°，∴AD＝AB，即AB＝2AD．又∵BC与⊙A相切，∴AD就是圆A的半径，∴AD＝3cm，则AB＝2AD＝6cm．故答案是：6．【点评】本题考查了切线的判定．此题利用了切线的定义和含30度角的直角三角形的性质得到AB的长度的．15．（2022秋•江阴市期末）下列说法正确的是（）A．等弧所对的圆心角相等 B．相等的弦所对的弧相等 C．过三点一定可以确定一个圆 D．垂直于半径的直线是圆的切线【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对A选项、B选项进行判断；根据确定圆的条件对C选项进行判断；根据切线的判定定理对D选项进行判断．【解答】解：A．等弧所对的圆心角相等，所以A选项符合题意；B．在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等，所以B选项不符合题意；C．过不共线的三点一定可以确定一个圆，所以C选项不符合题意；D．过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线，所以D选项不符合题意．故选：A．【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆心角、弧、弦的关系和确定圆的条件．16．（2022秋•栖霞区校级月考）下列说法中，正确的是（）A．长度相等的弧是等弧 B．三点确定一个圆 C．垂直于半径的直线是圆的切线 D．同弧所对的圆周角相等【分析】根据等弧的概念、确定圆的条件、切线的判断定理、圆周角定理判断即可．【解答】解：A、能够互相重合的弧是等弧，长度相等的弧不一定是等弧，故本选项说法不正确，不符合题意；B、不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项说法不正确，不符合题意；C、经过半径的外端，垂直于半径的直线是圆的切线，故本选项说法不正确，不符合题意；D、同弧所对的圆周角相等，本选项说法正确，符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是等弧的概念、确定圆的条件、切线的判断定理、圆周角定理，正确理解相关的概念和定理是解题的关键．17．（2023•沛县模拟）如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O交⊙O于点C，∠A＝∠B＝30°，连接BD．求证：BD是⊙O的切线．【分析】连接OD，求出∠ODB＝90°，根据切线的判定推出即可．【解答】如图，连接OD，∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠DAB＝30°，∴∠DOB＝∠ODA+∠DAB＝60°，∴∠ODB＝180°﹣∠DOB﹣∠B＝180°﹣60°﹣30°＝90°，即OD⊥BD，∴直线BD与⊙O相切．【点评】此题主要考查了切线的判定，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，关键是证明OD⊥BD．18．（2023•鼓楼区一模）如图，O为△ABC的外心，四边形OCDE为正方形．以下结论：①O是△ABE的外心；②O是△ACD的外心；③直线DE与△ABC的外接圆相切．其中所有正确结论的序号是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【分析】根据三角形的外心得出OA＝OC＝OA，根据正方形的性质得出OA＝OC＜OD，求出OA＝OB＝OC＝OE≠OD，再逐个判断即可．【解答】解：连接OB、OD、OA，∵O为锐角三角形ABC的外心，∴OA＝OC＝OB，∵四边形OCDE为正方形，∴OA＝OC＜OD，∴OA＝OB＝OC＝OE≠OD，①OA＝OE＝OB，O是△ABE的外心，故本选项符合题意；②OA＝OC≠OD，即O不是△ACD的外心，故本选项不符合题意；③∵OE＝OA，OE⊥DE，∴直线DE与△ABC的外接圆相切．故本选项符合题意；故选：B．【点评】本题考查了切线的判定，正方形的性质和三角形的外心与外接圆，能熟记知识点的内容是解此题的关键，注意：三角形的外心到三个顶点的距离相等，正方形的四边都相等．四．切线的判定与性质19．（2023•邗江区二模）如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O过B、C两点，且AB是⊙O的切线，连接AO交劣弧BC于点P．（1）证明：AC是⊙O的切线；（2）若AB＝8，AP＝4，求⊙O的半径．【分析】（1）利用全等三角形的判定与性质和圆的切线的性质定理得到∠ABO＝∠ACO＝90°，再利用圆的切线的判定定理解答即可得出结论；（2）设⊙O的半径为r，则OB＝r，OA＝4+r，在Rt△OAB中，利用勾股定理列出方程，解方程即可得出结论．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的切线，∴OB⊥AB，∴∠ABO＝90°．在△ABO和△ACO中，，∴△ABO≌△ACO（SSS），∴∠ABO＝∠ACO＝90°，∴OC⊥AC，∵OC为⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线；（2）解：设⊙O的半径为r，则OB＝r，OA＝4+r．在Rt△OAB中，∵OB2+AB2＝OA2，∴r2+82＝（r+4）2，解得：r＝6．∴⊙O的半径为6．【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的判定定理与性质定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键．20．（2022秋•惠山区期中）如图，AB是⊙O的直径，DC是⊙O的切线，切点是点D，过点A的直线与DC交于点C，则下列结论错误的是（）A．∠AOD＝2∠ADC B．如果AD平分∠BAC，那么AC⊥DC C．如果CO⊥AD，那么AC也是⊙O的切线 D．如果AD＝2CD，那么AD＝AO【分析】A．由切线性质得∠ADC＝90°﹣∠ADO，再由等腰三角形性质与三角形的内角和定理得∠AOD＝180°﹣2∠ADO，便可得出∠AOD与∠ADC的数量关系；B．由角平分线与等腰三角形的性质得AC∥OD，便可判断B的正误；C．证明△OAC≌△ODC，得∠OAC＝∠ODC＝90°，便可判断C的正误；D．当AD＝2CD，且AC⊥CD时，AC∥OD，可得∠CAD＝∠ODA＝30°，过点O作OK⊥AD于点K，便可AD＝OA；若AD＝2CD，但AC与CD不垂直时，∠ADC就不不一定等于30°，此时AD≠AO，便可判断D的正误．【解答】解：A．∵DC是⊙O的切线，∴∠ODC＝90°，∴∠ADC＝90°﹣∠ADO，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠AOD＝180°﹣2∠ADO＝2（90°﹣∠ADO），∴∠AOD＝2∠ADC，故选项正确，不合题意；B．∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠OAD，∵∠OAD﹣∠ODA，∴∠CAD＝∠ODA，∴AC∥OD，∵DC是⊙O的切线，OD为半径，∴OD⊥CD，∴AC⊥DC，故选项正确，不合题意；C．∵CO⊥AD，∴，∴∠AOC＝∠DOC，∵OA＝OD，OC＝OC，∴△OAC≌△ODC（SAS），∴∠OAC＝∠ODC＝90°，∴AC也是⊙O的切线，故选项正确，不合题意；D．当AD＝2CD，且AC⊥CD时，AC∥OD，则∠CAD＝∠ODA＝30°，∵AO＝OD，∴∠OAD＝∠ODA＝30°，过点O作OK⊥AD于点K，∴AK＝DK＝OA，此时AD＝，若AD＝2CD，但AC与CD不垂直时，∠ADC就不一定等于30°，此时AD≠AO，故选项错误，符合题意；故选：D．【点评】本题考查了圆的有关性质与定理，直角三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质与判定，综合应用这些知识解题是关键．五．弦切角定理21．（2022•江阴市校级一模）如图，AB是⊙O的直径，DB、DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE＝25°，则∠D的度数是（）A．50° B．55° C．60° D．65°【分析】连接BC，由弦切角定理得∠ACE＝∠ABC，再由切线的性质求得∠DBC，最后由切线长定理求得∠D的度数．【解答】解：连接BC，∵DB、DE分别切⊙O于点B、C，∴BD＝DC，∵∠ACE＝25°，∴∠ABC＝25°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠DBC＝∠DCB＝90°﹣25°＝65°，∴∠D＝50°．解法二：连接OC，BC．∵DB，DC是⊙O的切线，B，C是切点，∴∠OCE＝∠OBD＝90°，BD＝DC，∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∠OCA+∠ACE＝90°，∴∠ACE＝∠ABC＝25°，∴∠BDC＝∠DCB＝90°﹣25°＝65°，∴∠D＝180°﹣2×65°＝50°，故选：A．【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理、弦切角定理等知识，综合性强，难度较大．六．切线长定理22．（2022秋•崇川区期中）如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝10，AC＝6，则BD的长是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由于AB、AC、BD是⊙O的切线，则AC＝AP，BP＝BD，求出BP的长即可求出BD的长．【解答】解：∵AC、AP为⊙O的切线，∴AC＝AP＝6，∵BP、BD为⊙O的切线，∴BP＝BD，∴BD＝PB＝AB﹣AP＝10﹣6＝4．故选：B．【点评】本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键．23．（2022秋•滨海县期中）如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝8，CD＝12，则四边形ABCD的周长为40．【分析】根据圆外切四边形的对边之和相等求出AD+BC，根据四边形的周长公式计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，∴AD+BC＝AB+CD＝20，∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝40，故答案为：40．【点评】本题考查的是切线长定理，掌握圆外切四边形的对边之和相等是解题的关键．24．（2021•滨海县一模）如图，PA、PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB＝60°．求：（1）PA的长；（2）∠COD的度数．【分析】（1）可通过切线长定理将相等的线段进行转换，得出三角形PCD的周长等于PA+PB的结论，即可求出PA的长；（2）根据三角形的内角和求出∠ACD和∠BDC的度数和，然后根据切线长定理，得出∠DCO和∠ODE的度数和，再根据三角形的内角和求出∠COD的度数．【解答】解：（1）∵CA，CE都是圆O的切线，∴CA＝CE，同理DE＝DB，PA＝PB，∴三角形PCD的周长＝PD+CD+PC＝PD+PC+CA+BD＝PA+PB＝2PA＝12，即PA的长为6；（2）∵∠P＝60°，∴∠PCE+∠PDE＝120°，∴∠ACD+∠CDB＝360°﹣120°＝240°，∵CA，CE是圆O的切线，∴∠OCE＝∠OCA＝∠ACD；同理：∠ODE＝∠CDB，∴∠OCE+∠ODE＝（∠ACD+∠CDB）＝120°，∴∠COD＝180﹣120°＝60°．【点评】本题考查的是切线长定理，切线长定理提供了很多等线段，分析图形时关键是要仔细探索，找出图形的各对相等切线长．25．（2021秋•泰州月考）如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，OB＝6cm，OC＝8cm．求：（1）∠BOC的度数；（2）BE+CG的长；（3）⊙O的半径．【分析】（1）根据切线的性质得到OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，再根据平行线的性质得∠ABC+∠BCD＝180°，则有∠OBE+∠OCF＝90°，即∠BOC＝90°；（2）由勾股定理可求得BC的长，进而由切线长定理即可得到BE+CG的长；（3）最后由三角形面积公式即可求得OF的长．【解答】解：（1）连接OF；根据切线长定理得：BE＝BF，CF＝CG，∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG；∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∴∠OBF+∠OCF＝90°，∴∠BOC＝90°；（2）由（1）知，∠BOC＝90°．∵OB＝6cm，OC＝8cm，∴由勾股定理得到：BC＝＝10cm，∴BE+CG＝BC＝10cm．（3）∵BC与⊙O相切于点F，∴OF⊥BC，∴S△OBC＝OF×BC＝OB×OC，即OF×10＝×6×8．∴OF＝4.8cm．【点评】此题主要是综合运用了切线长定理和切线的性质定理．注意：求直角三角形斜边上的高时，可以借助直角三角形的面积进行计算．七．切割线定理26．（2022秋•姑苏区校级期中）如图，在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，⊙O分别与边AB，AC相切，切点分别为E，C，则⊙O的半径是（）A． B． C． D．【分析】根据切线长定理得AE＝AC，根据勾股定理得AB的长，从而得到BE的长，再利用切割线定理得BE2＝BD•BC，从而可求得BD的长，也就得到了半径的长．【解答】解：∵AE＝AC＝5，AC＝5，BC＝12，∴AB＝13，∴BE＝8；∵BE2＝BD•BC，∴BD＝，∴CD＝，∴圆的半径是，故选：A．【点评】此题综合运用了切线长定理、勾股定理和切割线定理．27．（2021秋•惠山区校级月考）如图，P是⊙O的直径BC延长线上一点，PA切⊙O于点A，若PC＝2，BC＝6，则PA的长为（）A．无限长 B． C．4 D．【分析】由已知可求得PB的长，再根据切割线定理得PA2＝PC•PB即可求得PA的长．【解答】解：∵PC＝2，BC＝6，∴PB＝8，∵PA2＝PC•PB＝16，∴PA＝4．故选：C．【点评】本题主要考查了切割线定理的运用．八．三角形的内切圆与内心28．（2022秋•泗阳县期末）已知，如图，AB为⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，BC＞AC，点P是△ABC的内心，延长CP交⊙O于点D，连接BP．（1）求证：BD＝PD；（2）已知⊙O的半径是3，CD＝8，求BC的长．【分析】（1）由圆周角定理得出∠ACB＝90°，由内心得出∠ACD＝∠BCP＝45°，∠CBP＝∠EBP，∠ABD＝∠ACD＝45°，由三角形的外角性质得出∠DPB＝∠DBP，即可得出结论；（2）连接AD，由圆周角定理得出∠ABD＝45°，证出△ABD是等腰直角三角形，得出BD＝AB＝6，由勾股定理可求BH的长，即可得出结果．【解答】（1）证明：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∵点P是△ABC的内心，∴∠ACD＝∠BCP＝45°，∠CBP＝∠EBP，∴∠ABD＝∠ACD＝45°，∵∠DPB＝∠BCP+∠CBP＝45°+∠CBP，∠DBP＝∠ABD+∠EBP＝45°+∠EBP，∴∠DPB＝∠DBP，∴BD＝DP；（2）解：连接AD，过点B作BH⊥CD于H，如图所示：∵AB是直径，∠ABD＝45°，∴AB＝6，△ABD是等腰直角三角形，∴BD＝AB＝×6＝6，∵∠BCD＝45°，BH⊥CD，∴∠BCH＝∠CBH＝45°，∴BH＝CH，∴BC＝BH，∵BD2＝DH2+BH2，∴36＝（8﹣BH）2+BH2，∴BH＝4±，∴BC＝4±2．29．（2023•泗阳县一模）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是“今有直角三角形，勾（短直角边）长为八步，股（长直角边）长为十五步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”此问题中，该内切圆的直径长是（）A．3步 B．5步 C．6步 D．8步【分析】由勾股定理可求得斜边长，分别连接圆心和三个切点，设内切圆的半径为r，利用面积相等可得到关于r的方程，可求得内切圆的半径，则可求得内切圆的直径．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝15，∠C＝90°，∴AB＝＝17，∴S△ABC＝AC•BC＝×8×15＝60，设内切圆的圆心为O，分别连接圆心和三个切点，及OA、OB、OC，设内切圆的半径为r，∴S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC＝×r（AB+BC+AC）＝20r，∴20r＝60，解得r＝3，∴内切圆的直径为6步，故选：C．【点评】本题主要考查三角形的内切圆，连接圆心和切点，把三角形的面积分成三个三个角形的面积得到关于r的方程是解题的关键．30．（2022秋•常州期末）下列有关圆中的结论，错误的是（）A．同圆或等圆的半径相等 B．一个圆绕圆心旋转任意角度后，都能与原来的图形重合 C．任意三点都能确定一个圆 D．任意三角形都有内切圆【分析】根据圆的基本性质，三角形的内切圆，逐项判断即可求解．【解答】解：A、同圆或等圆的半径相等，故本选项正确，不符合题意；B、一个圆绕圆心旋转任意角度后，都能与原来的图形重合，故本选项正确，不符合题意；C、任意不在同一条直线上三点都能确定一个圆，故本选项错误，符合题意；D、任意三角形都有内切圆，故本选项正确，不符合题意；故选：C．【点评】本题主要考查了圆的基本性质，三角形的内切圆，熟练掌握圆的基本性质，三角形的内切圆是解题的关键．31．（2022秋•秦淮区期末）以下列三边长度作出的三角形中，其内切圆半径最小的是（）A．8，8，8 B．4，10，10 C．5，9，10 D．6，8，10【分析】由于三角形面积S＝×周长×内切圆半径，而四个选项中的三角形的周长相等，都等于24，要比较内切圆半径的大小，只需要比较三角形面积的大小即可，分别求出各个选项中三角形的面积即可．【解答】解：由于三角形面积S＝×周长×内切圆半径，而四个选项中的三角形的周长相等，都等于24，要比较内切圆半径的大小，只需要比较三角形面积的大小即可，如图，选项A中的三角形面积S＝×8×4＝16＝，选项B中的三角形面积S＝×4×＝8＝，选项C中的三角形中，设BD＝x，则AD＝10﹣x，由勾股定理得，92﹣（10﹣x）2＝CD2＝52﹣x2，解得x＝，∴CD＝＝，∴选项C中的三角形面积S＝×10×＝6＝，选项D中的三角形面积S＝＝24＝，由于＜＜＜，所以选项B中的三角形面积最小，故选：B．【点评】本题考查三角形的内切圆，掌握三角形面积S＝×周长×内切圆半径以及三角形的面积公式和勾股定理是解决问题的前提．32．（2022秋•惠山区期末）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，与BC相交于点G，则下列结论：①∠BAD＝∠CAD；②若∠BAC＝60°，则∠BEC＝150°；③若点G为BC的中点，则∠BGD＝90°；④AE＝DE＝DB．其中，一定正确的是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【分析】利用三角形内心的性质得到∠BAD＝∠CAD，则可对①进行判断；直接利用三角形内心的性质对②进行判断；根据垂径定理则可对③进行判断；通过证明∠DEB＝∠DBE得到DB＝DE，则可对④进行判断．【解答】解：∵E是△ABC的内心，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，故①正确；如图，连接BE，CE，∵E是△ABC的内心，∴∠EBC＝∠ABC，∠ECB＝ACB，∵∠BAC＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝120°，∴∠BEC＝180°﹣∠EBC﹣∠ECB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝120°，故②错误；∵∠BAD＝∠CAD，∴＝，∴OD⊥BC，∵点G为BC的中点，∴G一定在OD上，∴∠BGD＝90°，故③正确；如图，连接BE，∴BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∵∠DBC＝∠DAC＝∠BAD，∴∠DBC+∠EBC＝∠EBA+∠EAB，∴∠DBE＝∠DEB，∴DB＝DE，若AE＝DE，则CA＝CD，显然不可能，故④错误．∴一定正确的①③，共2个．故选：A．【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是掌握三角形的内心与外心．33．（2023•靖江市模拟）等腰三角形的底边长为12，腰长为10，该等腰三角形内心和外心的距离为．【分析】利用等腰三角形的内心与外心的性质得到A，O′，O，E在一条直线上，利用S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC求得三角形的内切圆的半径，利用勾股定理求得外接圆的半径，则等腰三角形内心和外心的距离为为两个半径之差．【解答】解：由题意：△ABC为等腰三角形，AB＝AC＝10，BC＝12，⊙O′为它的外接圆，⊙O与三边相切于点D，E，F，连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，OB，如图，∵AB＝AC，∴AO所在的直线垂直平分BC，平分∠BAC，∴A，O′，O，E在一条直线上，∴AE⊥BC，BE＝EC＝6，∴AE＝＝＝8．由题意：O′A＝O′B＝O′C，OD＝OE＝OF，且OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，设O′A＝O′B＝O′C＝R，OD＝OE＝OF＝r，则O′E＝8﹣R，∵S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC，∴BC•AE＝AB•OD+BC•OE+AC•OF，∴12×8＝×10r+12r+10r，∴r＝3．∴OE＝3．在Rt△O′BE中，∵BE2+O′E2＝O′B2，∴62+（8﹣R）2＝R2，解得：R＝．∴O′E＝8﹣＝，∴OO′＝OE﹣O′E＝．该等腰三角形内心和外心的距离为．故答案为：．【点评】本题主要考查了三角形的外接圆与内切圆，等腰三角形的性质，勾股定理，利用三角形的面积公式求得三角形的内切圆的半径是解题的关键．一．选择题1．（2023•常州模拟）如果⊙O的半径为6cm，圆心O到直线l的距离为d，且d＝7cm，那么⊙O和直线l的位置关系是（）A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定【分析】根据直线和圆的位置关系的内容判断即可．【解答】解：∵⊙O的半径为6cm，圆心O到直线l的距离为d，且d＝7cm，∴6＜7，∴直线l与⊙O的位置关系是相离，故选：A．【点评】本题考查直线和圆的位置关系，正确记忆直线和圆的位置关系的判断方法是解题关键．2．（2022秋•太仓市期末）如图，AB是⊙O的切线，切点为B，连接AO与⊙O交于点C，点D为上一点，连接BD，CD．若∠A＝36°，则∠BDC的度数为（）​A．32° B．18° C．27° D．36°【分析】连接OB，由切线的性质得出∠ABO＝90°，由圆周角定理可得出答案．【解答】解：连接OB，∵AB为⊙O的切线，∴OB⊥AB，∴∠ABO＝90°，∵∠A＝36°，∴∠AOB＝90°﹣∠A＝90°﹣36°＝54°，∴∠BDC＝∠AOB＝27°，故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理，三角形内角和定理，切线的性质等知识点，能求出∠OBA＝90°是解此题的关键．3．（2022秋•徐州期末）如图，已知⊙C的半径为，正三角形ABC的边长为6，P为AB边上的动点，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为（）A．5 B． C． D．6【分析】连接CQ、CP，过点C作CH⊥AB于H，根据切线的性质得到CQ⊥PQ，根据勾股定理求出PQ，根据等边三角形的性质求出CH，根据垂线段最短解答即可．【解答】解：连接CQ、CP，过点C作CH⊥AB于H，∵PQ是⊙C的切线，∴CQ⊥PQ，∴PQ＝＝，当CP⊥AB时，CP最小，PQ取最小值，∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝60°，∴CH＝BC•sinB＝3，∴PQ的最小值为：＝5，故选：A．【点评】本题考查的是切线的性质、等边三角形的性质、垂线段最短，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．4．（2023•苏州模拟）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D．若∠D＝54°，则A的度数为（）A．18° B．20° C．23° D．27°【分析】连接OC，由切线的性质得∠OCD＝90°，则∠COD＝90°﹣∠D＝36°，由圆周角定理得∠A＝∠COD＝18°，于是得到问题的答案．【解答】解：连接OC，∵CD是⊙O的切线，∴CD⊥OC，∴∠OCD＝90°，∵∠D＝54°，∴∠COD＝90°﹣∠D＝90°﹣54°＝36°，∴∠A＝∠COD＝×36°＝18°，∴A的度数为18°，故选：A．【点评】此题重点考查切线的性质、直角三角形的两个锐角互余、圆周角定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键5．（2022秋•邗江区校级期末）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，∠CDB＝25°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于（）A．40° B．50° C．60° D．30°【分析】连接OC，由CE为圆O的切线，利用切线的性质得到OC垂直于CE，由OA＝OC，利用等边对等角得到一对角相等，再利用外角性质求出∠COE的度数，即可求出∠E的度数．【解答】解：连接OC，∵CE为圆O的切线，∴OC⊥CE，∴∠COE＝90°，∵∠CDB与∠BAC都对，且∠CDB＝25°，∴∠BAC＝∠CDB＝25°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝25°，∵∠COE为△AOC的外角，∴∠COE＝50°，则∠E＝40°．故选：A．【点评】此题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．6．（2023•海陵区一模）点P的坐标为（0，2），点A（2，﹣2）是垂直于y轴的直线l上的一点，⊙M经过点P，且与直线l相切于点A，则点M的纵坐标为（）A． B．1 C．2 D．4【分析】根据切线的性质得到MA⊥AB，求得点M的横坐标为2，设M（2，m），过M作MH⊥y轴于H，连接MP，MA，则OH＝m，MA＝2+m，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：∵直线AB是⊙M的切线，∴MA⊥AB，∵AB⊥y轴，∴MA∥y轴，∵点A（2，﹣2），∴点M的横坐标为2，设M（2，m），过M作MH⊥y轴于H，连接MP，MA，则OH＝m，MA＝2+m，MH＝2，∴MP＝2+m，∵点P的坐标为（0，2），∴OP＝2，∴PH＝2﹣m，在Rt△PMH中，PH2+MH2＝MP2，即（2﹣m）2+22＝（2+m）2，解得m＝，∴点M的纵坐标为．故选：A．【点评】本题考查了切线的性质，平行线的性质，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．7．（2023•滨湖区一模）如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，OP与⊙O相交于点C，若∠P＝40°，则∠ABC的度数是（）A．20° B．25° C．30° D．35°【分析】根据切线的性质可得∠OAP＝90°，从而得到∠AOC＝50°，再由圆周角定理，即可求解．【解答】解：∵PA与⊙O相切于点A，∴OA⊥AP，即∠OAP＝90°，∵∠P＝40°，∴∠AOC＝90°﹣40°＝50°，∵∠AOC＝2∠ABC，∴∠ABC＝25°．故选：B．【点评】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质，圆周角定理是解题的关键．8．（2022秋•玄武区期末）如图，AC是⊙O的直径，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是A，B，若∠CBP＝140°，则∠P的度数为（）A．100° B．80° C．75° D．70°【分析】由切线的性质得到∠PBO＝∠PAO＝90°，由等腰三角形的性质得到∠C＝∠OBC＝50°，由三角形的外角性质得到∠AOB＝∠C+∠OBC＝100°，由四边形内角和是360°，即可求出∠P的度数．【解答】解：连接OB，∵PB，PA分别切⊙O于B，A，∴∠PBO＝∠PAO＝90°，∵∠PBC＝140°，∴∠OBC＝∠PBC﹣∠PBO＝140°﹣90°＝50°，∵OC＝OB，∴∠C＝∠OBC＝50°，∴∠AOB＝∠C+∠OBC＝100°，∴∠P+∠AOB+∠PAB+∠PBA＝360°，∴∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣100°＝80°．故选：B．【点评】本题考查切线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，关键是掌握切线的性质定理．9．（2022秋•鼓楼区期末）如图，AB为⊙O的直径，PB，PC分别与⊙O相切于点B，C，过点C作AB的垂线，垂足为E，交⊙O于点D．若CD＝PB＝2，则BE长为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】作CH⊥PB于H，由垂径定理得到CE的长，从而求出PH的长，由勾股定理求出CH的长，即可求出BE的长．【解答】解：作CH⊥PB于H，∵直径AB⊥CD于H，∴CE＝DE＝CD＝，∵PC，PB分别切⊙O于C，B，∴PB＝PC＝CD＝2，直径AB⊥PB，∴四边形ECHB是矩形，∴BH＝CE＝，BE＝CH，∴PH＝PB﹣BH＝2﹣＝，∴CH＝＝＝3，∴BE＝CH＝3．故选：C．【点评】本题考查切线的性质，切线长定理，勾股定理，关键是通过辅助线构造直角三角形，应用勾股定理求出CH的长．10．（2022秋•丹徒区期末）我们知道：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等．[问题解决]如图，现有一块边长为20m的正方形空地ABCD，在AB边取一点M，以MB长为直径，在这个正方形的空地内建一个半圆形儿童游乐场，过点C划出一条与这个半圆相切的分割线，正方形ABCD位于分割线右下方的部分作为娱乐区，娱乐区的最大面积等于（）A．180m2 B．110m2 C．250m2 D．200m2【分析】当半圆面积最大，即M与A重合时，娱乐区的面积最大，由切线长定理得到CH＝CB＝20（m），PA＝PH，由勾股定理列出关于PA的方程，求出PA的长即可解决问题．【解答】解：当半圆面积最大，即M与A重合时，娱乐区的面积最大，PC与半圆相切于H，交AD于P，∵四边形ABCD是正方形，∴PA⊥AB，CB⊥AB，∴PA，PB分别是半圆的切线，∴CH＝CB＝20（m），PA＝PH，设PA＝xm，则PH＝xm，PD＝（20﹣x）m，PC＝（x+2）m，在Rt△PDC中，PC2＝PD2+DC2，∴（x+20）2＝（20﹣x）2+202，∴x＝5，∴PA＝5（m），∴娱乐区的最大面积＝梯形ABCP的面积＝（AP+BC）•AB＝×（5+20）×20＝250（m2）．故选：C．【点评】本题考查切线的性质，正方形的性质，勾股定理，关键是掌握切线长定理．二．填空题11．（2023•鼓楼区一模）如图，点I是△ABC的内心．若∠IAB＝34°，∠IBC＝36°，则∠ICA的度数是20°．【分析】根据点I是△ABC的内心．∠IAB＝34°，∠IBC＝36°，推出∠ABC＝2∠IBC＝2×36°＝72°，∠BAC＝2∠IAB＝2×34°＝68°，所以∠ACB＝180°﹣72°﹣68°＝40°，推出∠ICA＝∠ACB＝＝20°．【解答】解：∵点I是△ABC的内心．∠IAB＝34°，∠IBC＝36°，∴∠ABC＝2∠IBC＝2×36°＝72°，∠BAC＝2∠IAB＝2×34°＝68°，∴∠ACB＝180°﹣72°﹣68°＝40°，∴∠ICA＝∠ACB＝＝20°．故答案为：20．【点评】本题考查了三角形的内切圆和内心，正确利用角平分线的性质和三角形内角和定理是解题的关键．12．（2023•赣榆区二模）如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，∠ABC＝25°，OC的延长线交PA于点P，则∠P的度数是40°．【分析】利用圆周角定理，切线的性质定理和三角形的内角和定理解答即可．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，∴OA⊥PA，∴∠PAB＝90°，∵∠B＝∠AOC，∠ABC＝25°，∴∠AOC＝50°，∴∠P＝180°﹣∠PAB﹣∠AOC＝40°．故答案为：40°．【点评】本题主要考查了圆周角定理，圆的切线的性质定理，熟练掌握上述定理是解题的关键．13．（2022秋•建邺区期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是边E上的高，⊙E，⊙F分别是△ACD，△BCD的内切圆，则⊙E与⊙F的面积比为．【分析】根据勾股定理求出AB，再根据三角形面积公式求出CD，由三角形内切圆圆心到三条边的距离相等以及三角形的面积公式求出两个圆的半径，再求出面积比即可．【解答】解：在△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5，∵S△ABC＝AB•CD＝AC•BC，∴CD＝，在Rt△ACD中，由勾股定理得，AD＝＝，∴BD＝AB﹣AD＝，设⊙E的半径为r，⊙F的半径为R，则S△ACD＝AD•CD＝（AC+CD+AD）•r，即×＝（3++）r，∴r＝，同理R＝，∴⊙E与⊙F的面积比为＝＝，故答案为：．【点评】本题考查三角形的内切圆，掌握勾股定理以及三角形内切圆的圆心到三角形三边距离相等是正确解答的前提．14．（2022秋•江阴市期末）如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、F、G，∠B＝65°，∠C＝45°，则∠DGF的度数是55°．【分析】连接OD，OF．由三角形内角和定理可求得∠A＝70°，由切线的性质可知：∠ODA＝90°，∠OFA＝90°，从而得到∠A+∠DOF＝180°，故可求得∠DOF＝110°，由圆周角定理可求得∠DGF＝55°．【解答】解：如图，连接OD，OF，∵∠B＝65°，∠C＝45°，∴∠A＝180°﹣65°﹣45°＝70°．∵AB是圆O的切线，∴∠ODA＝90°．同理∠OFA＝90°．∴∠A+∠DOF＝180°．∴∠DOF＝110°．∴∠DGF＝55°．故答案为：55．【点评】本题主要考查的是切线的性质、三角形、四边形的内角和、圆周角定理，求得∠DOF的度数是解题的关键．15．（2023•沭阳县一模）如图⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D，E，F，其中AB＝6，BC＝9，AC＝11，若MN与⊙O相切与G点，与AC，BC相交于M，N点，则△CMN的周长等于14．【分析】根据切线的性质和三角形的周长公式即可得到结论．【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，且与MN相切于点G；根据切线长定理，设BF＝BD＝x，AD＝AE＝y，CF＝CE＝z，ME＝MG，NG＝NF；∵AB＝6，BC＝9，AC＝11，∴．解得，∴△CMN的周长＝CE+CF＝7+7＝14，故答案为：14．【点评】本题考查了三角形内切圆与内心，切线的性质，三角形周长的计算，熟练掌握切线的性质是解题的关键．16．（2022秋•江都区期末）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠D＝36°，则∠A的度数为27°．【分析】如图所示，连接OC，利用切线的性质得到∠OCD＝90°，根据三角形内角和定理得到∠DOC＝54°，即可利用圆周角定理求出∠A的度数．【解答】解：如图所示，连接OC，∵DC是⊙O的切线，∴∠OCD＝90°，∵∠D＝36°，∴∠DOC＝180°﹣∠D﹣∠OCD＝54°，∴，故答案为：27°．【点评】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，熟知切线的性质与圆周角定理是解题的关键．三．解答题17．（2023•姑苏区校级二模）如图，AB是⊙O的直径，AM是⊙O的切线，AC、CD是⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足为E，连接BD并延长，交AM于点P．（1）求证：∠CAB＝∠APB；（2）若⊙O的半径5，AC＝8，求线段BD的长．【分析】（1）根据平行线的判定和切线的性质解答即可；（2）通过添加辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理解答即可．【解答】（1）证明：∵AM是⊙O的切线，∴∠BAM＝90°，∵∠CEA＝90°，∴AM∥CD，∴∠CDB＝∠APB，∵∠CAB＝∠CDB，∴∠CAB＝∠APB．（2）解：如图，连接AD，∵AB是直径，∴∠CDB+∠ADC＝90°，∵∠CAB+∠C＝90°，∠CDB＝∠CAB，∴∠ADC＝∠C，∴AD＝AC＝8，∵AB＝10，∴BD＝6，【点评】本题主要考查了切线的性质定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握这些性质定理是解题的关键．18．（2023•崇川区校级三模）如图，P为⊙O外一点，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，点C在⊙O上，连接OA，OC，AC．（1）求证：∠AOC＝2∠PAC；（2）连接OB，若AC∥OB，⊙O的半径为5，AC＝6，求AP的长．【分析】（1）过O作OH⊥AC于H，得到∠OHA＝90°，根据切线的性质得到∠OAP＝90°，根据余角的性质得到∠AOH＝PAC，根据等腰三角形的性质即可得到结论；（2）连接OB，延长AC交PB于E，根据切线的性质得到OB⊥PB，PA＝PB，根据矩形的性质得到OH＝BE，HE＝OB＝5，根据勾股定理即可得到结论．【解答】（1）证明：过O作OH⊥AC于H，∴∠OHA＝90°，∴∠AOH+∠OAC＝90°，∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP＝90°，∴∠OAC+∠PAC＝90°，∴∠AOH＝PAC，∵OA＝OC，∴∠AOC＝2∠AOH，∴∠AOC＝2∠PAC；（2）解：连接OB，延长AC交PB于E，∵PA，PB是⊙O的切线，∴OB⊥PB，PA＝PB，∵AC∥OB，∴AC⊥PB，∴四边形OBEH是矩形，∴OH＝BE，HE＝OB＝5，∵OH⊥AC，OA＝OC，∴AH＝CH＝AC＝3，∴OH＝＝4，∴BE＝OH＝4，AE＝AH+HE＝8，∵PA2＝AE2+PE2，∴PA2＝82+（PA﹣4）2，∴PA＝10．【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．19．（2023•姑苏区校级一模）如图，在△ABC中，点D为BC边上的一个动点，以CD为直径的⊙O交AD于点E，过点C作CF∥AB，交⊙O于点F．连接CE、EF，若AC是⊙O的切线．（1）求证：∠BAC＝∠CEF；（2）若AB＝10，AC＝6，CE＝EF，求直径CD的长．【分析】（1）根据直径所对圆周角等于直角即可证明结论；（2）连接FD，并延长和AB相交于G，由全等三角形的性质及勾股定理可得出答案．【解答】（1）证明：∵CF∥AB，∴∠B＝∠FCB，∵∠FCB＝∠DEF，∴∠B＝∠DEF，又∠BAC+∠B＝90°，∵CD是圆O的直径，∴∠CED＝90°，∴∠DEF+∠CEF＝90°，∴∠BAC＝∠CEF；（2）连接FD，并延长和AB相交于G，∵CE＝EF，∴∠EFC＝∠ECF，∵四边形CEDF为圆内接四边形，∴∠ADG＝∠ECF，又∵∠CDE＝∠CFE，∴∠ADG＝∠CDE，∵CD为⊙O的直径，∴∠DFC＝90°，∵FC∥AB，∴∠FGA＝90°，∴∠FGA＝∠ACD，∵AD＝AD，∴△AGD≌△ACD（AAS），∴DG＝CD，AC＝AG＝6，∵∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，∴BC＝＝8，在Rt△BDG中，设CD＝x，则BD＝BC﹣CD＝8﹣x，BG＝AB﹣AG＝10﹣6＝4，DG＝CD＝x，∵BG2+DG2＝BD2，∴42+x2＝（8﹣x）2，∴x＝3，即CD＝3．【点评】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质，圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．一．选择题1．已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为25°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，则∠D等于（）A．25° B．30° C．35° D．40°【分析】连接OC，根据切线性质求出∠OCD＝90°，根据等腰三角形性质求出∠OCA＝∠A＝25°，根据三角形外角性质求出∠COD，在△OCD中，根据三角形的内角和定理求出即可．【解答】解：连接OC，∵OA＝OC，∠CAB＝25°，∴∠CAB＝∠OCA＝25°，∴∠COD＝∠CAB+∠OCA＝50°，∵CD切⊙O于C，∴∠OCD＝90°，∴∠ADC＝180°﹣90°﹣50°＝40°，故选：D．【点评】本题考查了等腰三角形性质、三角形的内角和定理、三角形的外角性质、切线的性质等知识点，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．2．如图，⊙O是△ABC的内切圆，若∠A＝70°，则∠BOC＝（）A．125° B．115° C．100° D．130°【分析】利用三角形内心性质得到∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，则根据三角形内角和得到∠OBC+∠OCB=12（180°﹣∠A），然后利用三角形内角和得到∠BOC＝90°【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=1∴∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB）=1∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°-12（180°﹣∠A）＝90°+12∠故选：A．【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了等边三角形的性质．3．如图，若⊙O的半径为6，圆心O到一条直线的距离为3，则这条直线可能是（）A．l1 B．l2 C．l3 D．l4【分析】直接根据直线与圆的位置关系可得出结论．【解答】解：∵⊙O的半径是6，圆心O到直线l的距离是3，6＞3，∴直线l与⊙O相交．故选：B．【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，当d＜r时直线l和⊙O相交是解答此题的关键．4．如图，以点O为圆心作圆，所得的圆与直线a相切的是（）A．以OA为半径的圆 B．以OB为半径的圆 C．以OC为半径的圆 D．以OD为半径的圆【分析】根据直线与圆的位置关系的判定方法进行判断．【解答】解：∵OD⊥a于D，∴以点O为圆心，OD为半径的圆与直线a相切．故选：D．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系：判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．若直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d＝r；直线l和⊙O相离⇔d＞r．5．等边三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为（）A．3：2：1 B．1：2：3 C．2：3：1 D．3：1：2【分析】如图，⊙O为△ABC的内切圆，设⊙O的半径为r，作AH⊥BC于H，利用等边三角形的性质得AH平分∠BAC，则可判断点O在AH上，所以OH＝r，连接OB，再证明OA＝OB＝2r，则AH＝3r，所以OH：OA：AH＝1：2：3．【解答】解：如图，⊙O为△ABC的内切圆，设⊙O的半径为r，作AH⊥BC于H，∵△ABC为等边三角形，∴AH平分∠BAC，即∠BAH＝30°，∴点O在AH上，∴OH＝r，连接OB，∵⊙O为△ABC的内切圆，∴∠ABO＝∠CBO＝30°，∴OA＝OB，在Rt△OBH中，OB＝2OH＝2r，∴AH＝2r+r＝3r，∴OH：OA：AH＝1：2：3，即等边三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为1：2：3．故选：B．【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了等边三角形的性质．二．填空题6．在平面直角坐标系中，⊙O的圆心在坐标原点，半径为2，点A的坐标为（0，4），直线AB为⊙O的切线，B为切点，则B点的坐标为（-3，1）或（3，1）【分析】设⊙O交y轴于点C，连接OB、BC，可证明△OBC为等边三角形，过B作BD⊥x轴于点D，利用直角三角形的性质可求得BD、OD，可求得B点坐标．【解答】解：设⊙O交y轴于点C，连接OB、BC，过B作BD⊥x轴于点D，∵半径为2，A（0，4），∴OC＝2，∴C为OA中点，∴AB切⊙O于点B，∴OB⊥AB，∴BC＝OC＝2，∴△BOC为等边三角形，∴∠BOC＝60°，∴∠BOD＝30°，在Rt△BOD中，BD=12OB＝1，OB=3∴两切点B的坐标为（-3，1）或（3故答案为：（-3，1）或（3【点评】本题主要考查切线的性质，掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键．7．已知正三角形的内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，则r：R＝1：2．【分析】作出辅助线OD、OE，证明△AOD为直角三角形且∠OAD为30°，即可求出OD、OA的比．【解答】解：如图，连接OD、OE；因为AB、AC切圆O与E、D，所以OE⊥AB，OD⊥AC，在Rt△AEO和Rt△ADO中，AO=AOEO=DO∴△AEO≌△ADO（HL），故∠DAO＝∠EAO；又∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，∴∠OAC＝60°×1∴OD：AO＝1：2．等边三角形的内切圆半径与外接圆半径的比是1：2．故答案为：1：2．【点评】此题主要考查了等边三角形内心与外心的知识，找到直角三角形，将三角形内切圆和三角形外接圆联系起来是解题的关键．8．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，AC与⊙O交于点D，若BC＝3，AD=165，则AB的长为【分析】利用切割线定理、切线的性质、勾股定理即可得出．【解答】解：∵BC是⊙O的切线，∴BC2＝CD•CA，即32＝CD•（CD+DA），即32＝CD•（CD+165），（解得CD=9∴AC＝5，∵BC是⊙O的切线，∴AB⊥BC，由勾股定理可得：AB=A故答案为：4．【点评】本题考查了切割线定理、切线的性质、勾股定理，解题关键是熟练掌握切割线定理、切线的性质、勾股定理．9．如图，已知∠AOB＝30°，M为OB边上任意一点，以M为圆心，2cm为半径作⊙M，当OM＝4cm时，⊙M与OA相切．【分析】作MH⊥OA于点H，如图，根据切线的判定方法得到当MH＝2cm时，⊙M与OA相切，然后利用含30度的直角三角形三边的关系得到OM＝4cm，【解答】解：作MH⊥OA于点H，如图，当MH＝2cm时，⊙M与OA相切，因为∠O＝30°，所以此时OM＝2MH＝4cm，即OM＝4cm时，⊙M与OA相切．【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．10．如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，∠P＝70°，则∠ABO＝35°．【分析】由切线的性质得到OA⊥PA，PA＝PB，由等腰三角形的性质求得∠ABP，即可求出∠ABO．【解答】解：∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，∴OA⊥PA，PA＝PB，∴∠PBO＝90°，∵∠P＝70°，∴∠ABP＝∠BAP=180°-∠P∴∠ABO＝∠PBO﹣∠ABP＝90°﹣55°＝35°，故答案为：35°．【点评】本题考查的是切线的性质、等腰三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．11．如图，已知⊙O内切于Rt△ABC，∠C＝90°，BC边上切点为点D．作⊙O的直径DE，连结AE并延长AE交BC于点F，若∠AFC＝45°，FD＝2，则AB的长为5．【分析】记⊙O与边AB、AC的切点为H、G，连接OH、OG，易得出CD、CG、AC、AG长，由切线长定理可得AH＝AG，BD＝BH，设BF＝x，根据勾股定理列方程即可求出x，进而得到AB长．【解答】解：记⊙O与边AB、AC的切点为H、G，连接OH、OG，∵⊙O内切于Rt△ABC，∠C＝90°，∴∠ACB＝∠OGC＝∠ODC＝90°，BH＝BD，AH＝AG，∴四边形ODCG是矩形，在Rt△EDF中，∠AFC＝45°，则DE＝DF＝2，∴OD＝OG＝1，∴矩形ODCG是正方形，∴CD＝CG＝1，∴CF＝2+1＝3，在Rt△ACF中，∠AFC＝45°，AC＝CF＝3，∴AG＝3﹣1＝2＝AH，设BF＝x，则BD＝BH＝2+x，AB＝2+x+2＝4+x，BC＝3+x，在Rt△ABC中，32+（3+x）2＝（4+x）2，∴x＝1，∴AB＝5．故答案为：5．【点评】本题主要考查了切线的性质和切线长定理以及勾股定理等，解题关键是熟练使用切线长定理．三．解答题12．如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE．（1）过点C作⊙O的切线交BP于点D，求证：CD⊥PA；（2）若⊙O的半径为5，AB＝6，求BD的长．【分析】（1）连接OC，证明OC与AP平行即可．（2）过点O作OF⊥A