广东省惠州市2024-2025学年高三第二次调研考试（期中）数学试题

高三第二次调研考试试题数学全卷满分150分，时间120分钟.2024.10注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号､座位号､学校､班级等考生信息填写在答题卡上.2.作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效.3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效.一､单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化简集合，结合交集概念即可求解.【详解】因为合，，所以.故选：B.2.已知复数z满足，则（）A.3 B.2 C. D.1【答案】C【解析】【分析】求出，再求可得答案.【详解】因为，所以，所以.故选：C.3.已知等差数列前9项的和为27，，则A.100 B.99 C.98 D.97【答案】C【解析】【详解】试题分析：由已知，所以故选C.【考点】等差数列及其运算【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.4.在正方体中，棱的中点分别为，，则直线与平面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】结合正方体的结构特征找到直线与平面所成角，解直角三角形，即可求得答案.【详解】连接，在正方体中，平面，棱的中点为，则平面，而平面，故，则即为直线与平面所成角，设正方体棱长为2，则，则，故，故选：C5.已知向量满足：，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，由数量积的运算律可得，再由投影向量的定义代入计算，即可得到结果.【详解】由，得，即，由已知得，所以向量在向量上的投影向量为.故选：A6.已知函数，则“”是“函数在上单调递增”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据对数函数与二次函数的性质，结合复合函数的单调性判别，建立不等式，利用充分条件与必要条件的定义，可得答案.【详解】若函数在上单调递增，则，解得，所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件.故选：A.7.已知“水滴”的表面是一个由圆锥的侧面和部分球面（常称为“球冠”）所围成的几何体.如图所示，将“水滴”的轴截面看成由线段和优弧所围成的平面图形，其中点所在直线与水平面平行，和与圆弧相切.已知“水滴”的“竖直高度”与“水平宽度”（“水平宽度”指的是平行于水平面的直线截轴截面所得线段的长度的最大值）的比值为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设圆心为O，连接OA，OB，OC，设球冠的半径为，根据几何性质可得，从而可得，根据同角三角函数的基本关系与二倍角公式即可得的值.【详解】设优弧所在圆的圆心为，半径为，连接，如图所示．易知“水滴”的“竖直高度”为，“水平宽度”为，由题意知，解得，因为与圆弧相切于点，所以，在中，，又，所以，由对称性知，，则，所以，故选：D.8.在统计某学校所有选择理科和文科的学生数据中，发现理科生多于文科生，女生多于男生，则关于本次学生样本的数据中，结论一定成立的是（）A.理科男生多于文科女生 B.文科女生多于文科男生C.理科女生多于文科男生 D.理科女生多于理科男生【答案】C【解析】【分析】分别设出理科男女生，文科男女生的人数，根据题意列出不等式即可求解.【详解】根据已知条件设理科女生有人，理科男生有人；文科女生有人，文科男生有人；根据题意可知：，根据同向不等式可加的性质有：，即，所以理科女生多于文科男生，故C正确，其他选项没有足够证据论证.故选：C二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某公司为保证产品生产质量，连续10天监测某种新产品生产线的次品件数，得到关于每天出现的次品的件数的一组样本数据：.则关于这组数据的结论正确的是（）A.极差是4B.众数小于平均数C.方差是2D.数据的第80百分位数为4.5【答案】AD【解析】【分析】根据极差、众数、平均数、方差、百分位数的定义求解判断选项即可.【详解】数据从小到大排列为：.A项，该组数据的极差为，故A正确；B项，众数为3，平均数为，所以众数与平均数相等，故B错误；C项，方差为，故C错误；D项，由，是整数，则这组数据的第80百分位数为第8个数和第9个数的平均数，即，故D正确.故选：AD.10.函数的部分图象如图所示，现将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论正确的是（）A.B.C.函数是奇函数D.【答案】ABD【解析】【分析】由图象可以得到，求出的解析式，可判断A，B，由奇偶函数的判断方法可以判断C，由平移变化和诱导公式可以判断D.【详解】由图象可知：，则；又，故，又，所以，所以A项正确；，由五点作图法可知：，解得：，所以B项正确；因此可得，则，设，则，所以函数是偶函数，故C项错误；由，所以D项正确；故选：ABD.11.如图，心形曲线与轴交于两点，点是上的一个动点，则（）A.点和−1,1均在上B.点的纵坐标的最大值为C.OP的最大值与最小值之和为3D.【答案】ABD【解析】【分析】点代入曲线判断A，根据曲线分段得出函数取得最大值判断B，应用三角换元再结合三角恒等变换求最值判断C，应用三角换元结合椭圆的方程得出恒成立判断D.【详解】令，得出，则对于A：时，得或，时，得，所以和均在L上，A选项正确；对于B：因为曲线关于y轴对称，当时，，所以，，所以时，最大，最大值为，B选项正确；对于C：，因为曲线关于y轴对称，当时，设，所以，因为可取任意角，所以取最小值，取最大值，所以和为，C选项错误；对于D：等价为点在椭圆内，即满足，即，整理得，即恒成立，故D选项正确.故选：ABD.点睛】方法点睛：应用三角换元，再结合三角恒等变换化简，最后应用三角函数值域求最值即可.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在的二项展开式中，各项的系数和为__________.【答案】【解析】【分析】直接令即可求出二项展开式各项的系数和.【详解】令，则二项式展开式各项的系数和为.故答案为：13.椭圆（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1，F2．若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为___________【答案】【解析】【详解】本题着重考查等比中项的性质，以及椭圆的离心率等几何性质，同时考查了函数与方程，转化与化归思想.利用椭圆及等比数列的性质解题.由椭圆的性质可知：，，.又已知，，成等比数列，故，即，则.故.即椭圆的离心率为.【点评】求双曲线的离心率一般是通过已知条件建立有关的方程，然后化为有关的齐次式方程，进而转化为只含有离心率的方程，从而求解方程即可.体现考纲中要求掌握椭圆的基本性质.来年需要注意椭圆的长轴，短轴长及其标准方程的求解等.14.若关于的方程有实根，则的最小值为______.【答案】【解析】【分析】设实根为，则，转化为动点在直线，利用的几何意义，将问题转化为求原点到直线距离的最小值，再构造函数求解并验证最值取到即可.【详解】设方程的实根为，则，所以，即.设点，则点在直线上.设点O0,0到直线的距离为，则，设，则，所以，当，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增，所以，则，又，由几何意义可知，所以.检验：当时，，由，解得，此时；由，解得，此时.所以最小值为.故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知函数．（1）求曲线y=fx在点1,f（2）求函数在区间上的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先确定切点，再求切线斜率，利用点斜式可得切线方程.（2）分析函数的单调性，可得函数的最小值.【小问1详解】因为：，所以切点坐标为：，又，，即为所求切线的斜率.所以切线方程为：，化简得：【小问2详解】，（）由f′x>0；由f′x所以在1,2上单调递减，在上单调递增.所以函数在区间上的极小值为，也是最小值.16.如图，四棱锥中，底面，.（1）求证：平面；（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明即可；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，然后由公式求平面与平面夹角的余弦值即可.【小问1详解】证明：已知底面，且底面，所以.由，可得又平面，所以平面.【小问2详解】取的中点.由，可得，又因为，所以三角形是正三角形，故.在中，，所以.可建立如图所示的空间直角坐标系，求得，由（1）可知，是平面的一个法向量，设平面的一个法向量为，则，即，令，得，设平面与平面的夹角为，所以.所以平面与平面夹角的余弦值为.17.已知双曲线及直线.（1）若与有两个不同的交点，求实数的取值范围；（2）若与交于两点，是坐标原点，且的面积为，求实数的值.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）将双曲线及直线联立，消去y，得到关于x的一元二次方程，根据题意即可求解；（2）方法一：根据面积，其中d为O到直线l的距离，然后用含k的式子表示出，解方程即可求出k的值；方法二：根据得，然后用含k的式子表示出，解方程即可求出k的值.【小问1详解】直线与双曲线有两个不同的交点，则方程组有两组不同的实数根，整理得，解得且，双曲线与直线有两个不同的交点时，的取值范围是.【小问2详解】解法一：设交点，由（1）知双曲线与直线联立的方程为.由韦达定理得：，则又到直线的距离，所以的面积，解得或，又因为且，所以或.所以当或时，的面积为.解法二：设交点，直线与轴交于点，由（1）知双曲线与直线联立的方程为.由韦达定理得：，当在双曲线的一支上且时，；当在双曲线的两支上且时，综上，.由已知得，故，即所以，解得或，又因为且，所以或.所以当或时，的面积为.18.记的内角的对边分别为，已知且均为整数.（1）求值；（2）设的中点为，求的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）三角形三个内角和得到角的范围，结合题意得到及的值，在通过三角形三个内角和得到角的范围，由二倍角公式得出的值，用和差角公式得出的值；（2）由正切值算出正余弦值，由正弦定理得出三边关系，再由余弦定理得出边得到等腰三角形，从而得出结果.【小问1详解】由，则.由，则，故，所以，因为为整数，所以，由，可得.因为，所以，则，所以.由，则，解得或（舍去），故，又为正整数，所以，所以，综上，.【小问2详解】由（1）可知，，则，在中，由正弦定理，可得，又的中点为，所以，在中，由余弦定理得：，所以，所以【点睛】关键点点睛：本题第1小问解决的关键在于，紧紧抓住均为整数的条件，依次分析的正切值，从而得解.19.若数列满足，则称数列an为项数列，由所有项0数列组成集合.（1）若an是12项0数列，当且仅当时，，求数列的所有项的和；（2）从集合中任意取出两个数列，记.①求随机变量的分布列，并证明：；②若用某软件产生项数列，记事件“第一次产生数字1”，“第二次产生数字1”，且.若，比较与的大小.【答案】（1）0（2）①分布列见解析，证明见解析；②【解析】【分析】（1）根据题意，将问题转化为数列求和问题，进而求解即可；（2）①由题知的可能取值为：，进而结合题意得到，再结合等式求数学期望，并结合不等式放缩即可证明；②