云南省长水教育集团2024-2025学年高二上学期11月期中质量检测数学试题

长水教育集团2024~2025学年第一学期质量检测（11月）高二年级数学试题本试卷共4页，19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，若，则（）A.1 B. C.0 D.2.已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（）A. B. C. D.3.已知，，，则（）A. B. C. D.4.若方程表示圆，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.5.若圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的表面积为（）A. B. C. D.6.已知向量，满足：，，，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.7.过点分别作两条直线与圆分别相切于、两点，则（）A. B. C. D.8.在正方体中，平面经过点，，平面经过点，，当平面，分别截正方体所得截面面积最大时，平面与平面夹角的余弦值为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数，则（）A.的虚部为B.C.在复平面内的对应点位于直线上D.为方程的一个根10.如图，已知斜三棱柱中，，，，，，点是与的交点，则（）A. B.C. D.平面平面11.若圆：上恰有三个点到直线：的距离为2，则的取值可以为（）A. B. C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.学校组织知识竞赛，某班8名学生的成绩（单位：分）分别是65，60，75，78，86，84，90，94，则这8名学生成绩的分位数是______.13.过曲线上一点作平行于两坐标轴的直线，分别交曲线于点，，若直线过原点，则其斜率为______.14.已知函数，将的图象向左平移个单位长度，所得图象与曲线关于原点对称，则______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知直线：与直线：.（1）当为何值时，与平行，并求与的距离；（2）当为何值时，与垂直.16.（本小题满分15分）在中，，，分别是内角，，的对边，且.（1）若，求；（2）若，求面积的最大值.17.（本小题满分15分）如图，在三棱柱中，平面，，，为线段上的一点.（1）求证：平面；（2）求直线与直线所成角的余弦值；（3）若直线与平面所成角为，求点到平面的距离.18.（本小题满分17分）已知圆的半径为3，圆心在直线：位于第一象限的部分上，一条光线沿直线入射被轴反射后恰好与圆相切.（1）直接写出的反射光线所在直线的方程；（2）求圆的方程；（3）点是圆与轴的公共点，一条光线从第一象限入射后与圆相切于点，并与轴交于点，其在点处被直线反射后沿着轴负方向传播，此时的面积恰好为，求直线的方程.19.（本小题满分17分）在以为原点的平面直角坐标系中：过点的直线与圆：交于，两点，圆：.（1）若，求的斜率；（2）若过点存在无穷多对互相垂直的直线和分别与和相交于，和，两点，和的斜率存在，且，求的值.

长水教育集团2024~2025学年第一学期质量检测（11月）高二年级数学答案一、选择题1.A【解析】，则，解得.当，满足题意；当，不满足集合元素互异性；故.故选A.2.A【解析】由题设，则直线的斜率，结合直线倾斜角的范围，易知直线的倾斜角为.故选A.3.D【解析】由指对幂函数单调性易得，，，故.故选D.4.C【解析】因方程表示圆，所以，解得.故选C.5.B【解析】设圆锥的底面半径为，由于圆锥的轴截面是等边三角形，则该圆锥的高为，母线长为，又轴截面面积为，故，，则该圆锥的表面积为.故选B.6.A【解析】由，，得，即，由已知得，所以向量在向量上的投影向量.故选A.7.C【解析】因为，可得圆心，半径，因为，则，可得，，故.故选C.8.D【解析】如图：因为正方体中过体对角线的截面面积最大，所以题目转化为求平面与平面夹角的余弦值，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，平面与平面的夹角为，因为平面，平面，所以，且，，，平面，所以平面，同理平面，所以为平面的一个法向量，为平面的一个法向量，，，，，，则.故选D.二、选择题9.BCD【解析】对于A，，故，其虚部为，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，由复数的几何意义可知在复平面内的对应点位于直线上，故C正确；对于D，易得，故D正确.故选BCD.10.ABD【解析】对于A，因，故A正确；对于B，不妨设，，，则构成空间的一个基底.则依题意：，，，，，由A可得，，则，则，故B正确；对于C，因，故，故C错误；对于D，如图取的中点，连接，则，因为，为的中点，所以.又，故有.因为，，平面，所以平面，又平面，故平面平面，即D正确.故选ABD.11.BC【解析】将圆的方程化为标准方程为，则圆心为，半径为4，设直线的方程为，即，由于圆的半径为4，则要使上恰有三个点到直线的距离为2，只需圆心到该直线的距离为2，即，解得，则选项BC正确.故选BC.三、填空题12.84【解析】8名学生的成绩从小到大排列为：60，65，75，78，84，86，90，94，因为，所以分位数为第5个数，即84分.故答案为84.13.【解析】设，则，，由题意可得，解得或，经过检验不符合，故舍去，故其斜率为，故答案为.14.【解析】将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若与曲线关于原点对称，可得，即，可得，由于不恒等于0，所以，故，故答案为.四、解答题15.解：（1）由直线与平行，则，解得或，当时，两直线重合，故.所以此时直线：，：所以与的距离为（2）由直线与垂直，则解得或.16.解：（1）因为，所以由正弦定理得，又，所以，从而.（2）由余弦定理可知，则又，故即，故，即从而，当时取等号，即的面积的最大值为3.17.解：（1）由三棱柱性质可得平面平面，又平面，故平面.（2）因为平面，，平面，所以，，且，故，，两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系：则，，，，，则，由，故，故直线与直线所成角的余弦值为.（3）设，，则，，设平面的一个法向量为，有，令，则，，即因为直线与平面所成角为，所以，解得，即，因为，所以点到平面的距离为.18.解：（1）设的反射光线所在直线上任意点为，则该点关于轴对称点在直线上，所以的反射光线所在直线的方程为.（2）设点，而圆与直线相切，且圆半径为3，则，即，整理得或，又点在第一象限，即，因此，点，所以圆的方程为.（3）由（2）知，点到轴距离为3，即轴与圆相切于点，由一条光线从第一象限入射后与圆相切于点，并与轴交于点，得点在点的右侧，设，，则，连接，，，，，，又，整理得，解