山东省聊城市阳谷县2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年山东省聊城市阳谷县九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每题只有一个正确答案，每小题4分，共48分）1．（4分）如图，有甲，乙、丙三个矩形，其中相似的是（）A．甲与丙 B．甲与乙 C．乙与丙 D．三个矩形都不相似2．（4分）如果两个相似三角形的相似比是1：4，那么这两个相似三角形对应边上的中线之比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：163．（4分）如图，已知△ABC，∠B＝60°，AB＝6，BC＝8．将△ABC沿图中的DE剪开，剪下的阴影三角形与△ABC不相似的是（）A． B． C． D．4．（4分）如图，周末阳光正好，小丽和爸爸外出游园．爸爸身高1.8m，此刻他在地面上的影长为1.5m，经测量小丽在地面上的影长是1.25m，则小丽的身高为（）A．1.4m B．1.5m C．1.6m D．1.7m5．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，现把这个三角形的三边都扩大为原来的3倍，则∠A的正弦值（）A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的3倍 C．不变 D．不能确定6．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，下列三角函数表示正确的是（）A．sinA＝ B．tanA＝ C．cosA＝ D．tanB＝7．（4分）春节期间，小澎陪妈妈去爬山，如图，两人从山脚下A处沿坡前行，到达C处时，发现C处标语牌上写着“恭喜你已上升50米”，若此山坡的坡度i＝1：2.4，爱思考的小澎很快告诉妈妈：“我们至少走坡路（）米了”．A．50 B．120 C．130 D．1708．（4分）如图，为测量建筑物的高，利用一架无人机A对建筑物BC的点B和点C进行观测，则下列说法错误的是（）A．仰角为∠BAD B．当无人机远离BC水平飞行时，仰角增大 C．俯角为∠CAD D．当无人机远离BC水平飞行时，俯角减小9．（4分）下列说法：①三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③同圆或等圆中，等弦所对的弧相等；④三角形的外心到三角形各顶点距离相等其中，正确的个数共有（）A．1 B．2 C．3 D．410．（4分）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则cos∠AOB＝（）A． B． C． D．11．（4分）设Rt△ABC的两条直角边长分别为6，8，则此直角三角形外接圆半径为（）A．5 B．10 C． D．5或12．（4分）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠ACD＝22.5°，AB＝4，则CD的长为（）A． B．2 C． D．二.填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）13．（4分）在锐角三角形ABC中，已知∠A，∠B满足（sinA﹣）2+|﹣tanB|＝0，则∠C＝．14．（4分）将一张矩形纸片ABCD如图所示，点N在边CD上，现将矩形折叠，折痕为BN，点A对应的点记为点M，若点M恰好落在边CD上，则图中与△NDM一定相似的三角形是．15．（4分）小明不小心把一块直角三角形玻璃打碎了，他取了一个碎片（如图），若∠A＝90°，∠B＝65°，AB＝10cm，则原直角三角形玻璃的面积为cm2．（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）16．（4分）在半径为1的⊙O中，弦AB的长为1，则弦AB所对弧的度数．17．（4分）如图，AB是圆的直径，∠1、∠2、∠3、∠4的顶点均在AB上方的圆弧上，∠1、∠4的一边分别经过点A、B，则∠1+∠2+∠3+∠4＝°．18．（4分）如图所示，点A、B、C都在⊙O上，若∠ABO＝20°，∠ACO＝30°，则∠BOC＝．三.解答题（8小题，满分78分）19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，3），C（﹣3，1）．（1）以点B为位似中心，在点B的下方画出△A1BC1，使△A1BC1与△ABC位似，且相似比为2：1，点A，C的对应点分别为A1，C1；（2）直接写出点A1和点C1的坐标：A1（，），C1（，）．20．（8分）计算：（1）tan30°•tan60°+sin245°+cos245°；（2）2cos30°•sin60°﹣tan45°•sin30°．21．（8分）如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且满足AD＝AB，∠ADE＝∠C．（1）求证：△ADE∽△ACD；（2）若，且AE＝4，求AB的长．22．（10分）定义：在△ABC中，我们把∠A的对边与∠C的对边的比叫做∠A的邻弦，记作thiA，即thiA＝＝．请解答下列问题：已知：在△ABC中，∠C＝30°．（1）若∠A＝45°，求thiA的值；（2）若thiA＝，则∠A＝°；（3）若∠A是锐角，探究thiA与sinA的数量关系．23．（10分）学科综合我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把n＝称为折射率（其中α代表入射角，β代表折射角）．观察实验为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，即通过细管MN可以看见水底的物块C，但不在细管MN所在直线上，图3是实验的示意图，四边形ABFE为矩形，点A，C，B在同一直线上，测得BF＝12cm，DF＝16cm．（1）求入射角α的度数．（2）若BC＝7cm，求光线从空气射入水中的折射率n．（参考数据：，，）24．（12分）已知，△ABC中，∠A＝68°，以AB为直径的⊙O与AC，BC的交点分别为D，E（Ⅰ）如图①，求∠CED的大小；（Ⅱ）如图②，当DE＝BE时，求∠C的大小．25．（12分）根据素材解决问题：设计货船通过圆形拱桥的方案素材1图1中有一座圆拱石桥，图2是其圆形桥拱的示意图，测得水面宽AB＝16m，拱顶离水面的距离CD＝4m．素材2如图3，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得EH＝12m，EF＝2.1m．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，货船的载重量每增加1吨，则船身下降0.01m．．问题解决任务1确定桥拱半径（1）求圆形桥拱的半径；任务2拟定设计方案（2）根据图3状态，货船能否通过圆形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？26．（12分）△ABC表示一块直角三角形空地，已知∠ACB＝90°，边AC＝4米，BC＝3米．现在根据需要在空地内画出一个正方形区域建造水池，现有方案一、方案二分别如图1、图2所示，请你分别计算两种方案中水池的边长，并比较哪种方案的正方形水池面积更大．

2024-2025学年山东省聊城市阳谷县九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题只有一个正确答案，每小题4分，共48分）1．【解答】解：三个矩形的角都是直角，甲、乙、丙相邻两边的比分别为2：3，1.5：2＝3：4，2：3，∴甲和丙相似，故选：A．2．【解答】解：如果两个相似三角形的相似比为1：4，那么这两个三角形的对应中线的比为1：4，故选：B．3．【解答】解：A、∵∠C＝∠C，∠DEC＝∠B＝60°，∴△DEC∽△ABC，故A不符合题意；B、∵∠C＝∠C，∠CDE＝∠B，∴△CDE∽△CBA，故B不符合题意；C、由图形可知，BE＝AB﹣AE＝6﹣2＝4，BD＝BC﹣CD＝8﹣5＝3，∵，，∴，又∵∠B＝∠B，∴△BDE∽△BAC，故C不符合题意；D、由已知条件无法证明△ADE与△ABC相似，故D符合题意，故选：D．4．【解答】解：设小芳的身高为h米，∵同一时刻物高与影长成正比，∴，解得h＝1.5，故选：B．5．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，将各边长度都扩大为原来的3倍，其比值不变，∴∠A的正弦值不变．故选：C．6．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，∴BC＝＝＝3，∴sinA＝，故选项A错误；tanA＝，故选项B错误；cosA＝，故选项C正确；tanB＝，故选项D错误．故选：C．7．【解答】解：∵山坡的坡度i＝1：2.4，∴BC：AB＝1：2.4，∵BC＝50米，∴AB＝120米，由勾股定理得：AC＝＝＝130（米），所以我们至少走坡路130米了，故选：C．8．【解答】解：A、仰角为∠BAD，说法正确，不符合题意；B、当无人机远离BC水平飞行时，仰角减小，故本选项说法错误，符合题意；C、俯角为∠CAD，说法正确，不符合题意；D、当无人机远离BC水平飞行时，俯角减小，说法正确，不符合题意；故选：B．9．【解答】解：不共线的三点确定一个圆，所以①错误；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，所以②错误；同圆或等圆中，等弦所对的优弧或劣弧对应相等，所以③错误；三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，所以④正确；故选：A．10．【解答】解：根据题意得：OA＝OB＝AB，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴cos∠AOB＝cos60°＝．故选：B．11．【解答】解：∵Rt△ABC的两条直角边长分别为6，8，∴斜边长＝，∴Rt△ABC斜边上的中线长为5，即此直角三角形外接圆半径为5，故选：A．12．【解答】解：连接OD，如图所示：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，AB＝4，∴OD＝2，CE＝DE＝CD，∵∠ACD＝22.5°，∴∠AOD＝2∠ACD＝45°，∴△DOE为等腰直角三角形，∴DE＝OD＝，∴CD＝2DE＝2，故选：C．二.填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）13．【解答】解：由题意得，sinA＝，tanB＝，则∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝180°﹣45°﹣60°＝75°．故答案为：75°．14．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝∠C＝90°，∴∠DNM+∠DMN＝90°，由折叠的性质可得：∠BMN＝∠A＝90°，∵∠NMD+∠BMN+∠BMC＝180°，∴∠NMD+∠BMC＝90°，∴∠DNM＝∠BMC，∴△NDM∽△MCB．故答案为：△MCB．15．【解答】解：在Rt△ABC中，∠B＝65°，AB＝10cm，∴AC＝AB•tan65°≈10×2.14＝21.4（cm），∴原直角三角形玻璃的面积＝AB•AC＝×10×21.4＝107（cm2），故答案为：107．16．【解答】解：如图：∵OA＝OB＝AB＝1，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴弦AB所对弧的度数为60°或300°．故答案为：60°或300°．17．【解答】∵AB是圆的直径，∴AB所对的弧是半圆，所对圆心角的度数为180°，∵∠1、∠2、∠3、∠4所对的弧的和为半圆，∴，故答案为：90．18．【解答】解：连接OA，∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO＝20°，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠OAC＝30°，∴∠BAC＝∠BAO+∠CAO＝50°，∴∠BOC＝2∠BAC＝100°，故答案为：100°．三.解答题（8小题，满分78分）19．【解答】解：（1）如图，△A1BC1即为所求．（2）由图可得，A1（1，1），C1（﹣3，﹣1）．故答案为：1；1；﹣3；﹣1．20．【解答】解：（1）原式＝；（2）原式＝．21．【解答】（1）证明：∵∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACD；（2）解：∵，∴，∴，由（1）知△ADE∽△ACD，∴＝，∵AE＝4，∴＝，∴，∵AD＝AB，∴．22．【解答】解：如图，作BH⊥AC，垂足为H．（1）在Rt△BHC中，sinC＝＝，即BC＝2BH．在Rt△BHA中，sinA＝＝，即AB＝BH．∴thiA＝＝；（2）∵thiA＝，∴＝，∵∠C＝30°，∴tan30°＝＝，∴∠ABC＝90°，∴∠A＝60°，如图，根据对称性，△A′BC是钝角三角形时，∠B′AC＝120°故答案为：60或120；（3）在△ABC中，thiA＝．在Rt△BHA中，sinA＝．在Rt△BHC中，sinC＝＝，即BC＝2BH．∴thiA＝2sinA．23．【解答】解：（1）如图：过点D作DG⊥AB，垂足为G，由题意得：四边形DGBF是矩形，∴DG＝BF＝12cm，BG＝DF＝16cm，在Rt△DGB中，tan∠BDG＝＝＝，∴∠BDG＝53°，∴∠PDH＝∠BDG＝53°，∴入射角α的度数为53°；（2）∵BG＝16cm，BC＝7cm，∴CG＝BG﹣BC＝9（cm），在Rt△CDG中，DG＝12cm，∴DC＝＝＝15（cm），∴sinβ＝sin∠GDC＝＝＝，由（1）得：∠PDH＝53°，∴sin∠PDH＝sinα≈，∴折射率n＝＝＝，∴光线从空气射入水中的折射率n约为．24．【解答】解：（Ⅰ）∵四边形ABED圆内接四边形，∴∠A+∠DEB＝180°，∵∠CED+∠DEB＝180°，∴∠CED＝∠A，∵∠A＝68°，∴∠CED＝68°．（Ⅱ）连接AE．∵DE＝BE，∴＝∴∠DAE＝∠EAB＝∠