河南省焦作市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

绝密★启用前焦作市普通高中2024－2025学年（上）高二年级期中考试数学考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A.（0，1） B. C. D.（1，2）2.2024年巴黎奥运会奖牌榜前8名的金牌数依次为40，40，20，18，16，15，14，13，这组数据的中位数为（）A.19 B.18 C.17 D.163.圆的半径为（）A. B. C.5 D.134.设向量是平面的法向量，向量是直线的方向向量，且，则“”是“”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.设抛物线的焦点为，过抛物线上的点作准线的垂线，设垂足为，若，且，则（）A.2 B. C.1 D.6.已知函数的定义域为，若为偶函数，为奇函数，则（）A.1 B.0 C.－1 D.－37.已知双曲线的左、右焦点分别为，，为坐标原点，点在上，且，若的面积为16，的离心率为，则的方程为（）A. B. C. D.8.在直三棱柱中，，，，分别为棱，的中点，则异面直线和所成角的余弦值是（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.甲、乙两人分别从云台山、青天河、神农山、月山寺这四个景点中随机选择一个景点去旅游，已知甲、乙两人选择哪个景点相互独立，则下列说法正确的是（）A.甲去云台山的概率为B.甲、乙两人都去云台山的概率为C.甲、乙两人中恰有一人去云台山的概率为D.甲、乙两人中至少有一人去云台山的概率为10.已知直线，点，是动点.记点到直线的距离为，点到点的距离为，则下列说法正确的是（）A.若，则点的轨迹是椭圆B.若，则点的轨迹是双曲线C.若，则点的轨迹是抛物线D.若，则点的轨迹是双曲线的一部分11.在平面直角坐标系中，已知点，，，点是圆上的动点，则下列说法正确的是（）A.B.点到直线的距离的最小值为C.若经过点的直线与圆至少有一个公共点，则的倾斜角的取值范围是D.的最小值为10三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知直线与直线垂直，则_____.13.若实数a，b，c满足，则直线与圆有_____个交点.14.已知双曲线的左、右焦点分别为，，为的右支上一点，且的内切圆圆心为，则点的横坐标为______．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）如图，在棱长为1的正方体中，是正方形的中心.（I）求绕棱所在的直线旋转一周所形成的几何体的体积；（II）求证：平面.16.（15分）已知向量，，，若函数，且在区间上不具有单调性.（I）求的取值范围；（II）当取最小整数值时，若（其中，，是虚数单位），求的值.17.（15分）已知椭圆的左焦点为，上顶点为，离心率，且直线过点.（I）求的方程；（II）若过点的直线与交于M，N两点，当点到直线的距离最大时，求.18.（17分）如图，在四棱锥中，点在平面内的射影为点，，，平分，.（I）若为棱的中点，求证：平面.（II）若二面角的平面角的正弦值为.（i）求的长；（ii）求点到平面的距离.19.（17分）已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于A，B两点，点在的准线上.（I）求的方程.（II）当直线的斜率为2时，证明：.（III）试问：，能否同时与相切?请说明你的理由.

焦作市普通高中2024－2025学年（上）高二年级期中考试数学・答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.答案D命题透析本题考查函数的性质及集合的表示.解析由，得，解得.2.答案C命题透析本题考查中位数的概念.解析将这组数据按从小到大的顺序排列后，最中间的两个是16，18，所以中位数是.3.答案B命题透析本题考查圆的标准方程.解析将圆的方程化为标准形式为，其半径为.4.答案C命题透析本题考查向量间的关系和空间线面之间的位置关系.解析因为，由“”可以推出“”，由“”也可以推出“”，故“”是“”的充要条件.5.答案A命题透析本题考查抛物线的定义及三角形的有关知识.解析设为准线与轴的交点，因为，且，所以.因为，所以，在中，，所以，解得.6.答案B命题透析本题考查函数的奇偶性及周期性.解析因为为偶函数，所以，令，则；因为为奇函数，所以，令，则，所以，所以.因为，所以，所以，则的周期为4，所以.7.答案B命题透析本题考查双曲线的方程与几何性质及直角三角形的判断.解析设的半焦距为.因为，所以，所以为直角三角形，且.设，，则，所以，又，，且，所以，即，所以.又，所以，所以，所以的方程为.8.答案A命题透析本题考查空间向量的应用.解析设，，，则，所以，.因为，，所以，，同理，.设异面直线和所成的角为，则.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.答案AC命题透析本题考查古典概型.解析将甲、乙两人去云台山、青天河、神农山、月山寺旅游分别记为A，B，C，D，依题意可知样本空间，共含有16个样本点.甲去云台山的情况为，样本点有4个，概率为，故A正确；甲、乙两人都去云台山的情况为，样本点有1个，概率为，故B错误；甲、乙两人中恰有一人去云台山的情况为，样本点有6个，概率为，故C正确；甲、乙两人中至少有一人去云台山的情况为，样本点有7个，概率为，故D错误.10.答案AB命题透析本题考查方程的化简及点的轨迹的判断.解析设，则.对于A，由题意得，化简得，可知方程表示椭圆，故A正确；对于B，同上可化简得，可知方程表示双曲线，故B正确；对于C，由题意得点的轨迹是轴上位于之间的线段，故C错误；对于D，由题意得，即，①当，即时，，化简得，可知方程表示抛物线，②当，即时，，化简得，没有意义，由①②得，点的轨迹是抛物线，故D错误.11.答案ACD命题透析本题考查与圆上的点有关的距离的特殊性、直线与圆的位置关系、直线的倾斜角和斜率.解析设点，由题知圆的圆心坐标为（0，－5），半径为.对于A，要证，即证，即证，即证，因为点在圆上，所以，即，故A正确；对于B，圆心到直线的距离为，所以点到直线的距离的最小值为，故B错误；对于C，①当直线的斜率不存在时，满足题目要求，此时倾斜角为，②当直线的斜率存在时，设经过点的直线的方程为，由题意知该直线与圆相切或相交，所以，解得或，则或，可得，由①②可得，，故C正确；对于D，显然点在圆外，点在圆内，由A知，所以，当N，P，H三点共线且点在线段上时，，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.答案－1命题透析本题考查两直线垂直.解析由题易知，则，解得.13.答案2命题透析本题考查直线过定点，点与圆、直线与圆的位置关系.解析因为，所以，故直线恒过点（1，－2），设，因为，所以点在圆内，所以直线与圆有2个交点.14.答案3命题透析本题考查双曲线的几何性质、三角形内切圆的有关知识.解析设的半焦距为.设圆与的三边，，分别相切于点M，N，A，则，，，则点的横坐标和点的横坐标相同.又，所以根据双曲线的性质可知，，又，所以，，即点和的右顶点重合，所以点的横坐标为，故点的横坐标为3.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.命题透析本题考查圆锥的体积计算、空间线面位置关系的证明.解析（I）因为正方体的棱长为1，所以，，是直角三角形，所以绕棱所在的直线旋转一周所形成的几何体是底面半径为，高为1的圆锥，其体积为.（II）方法一：连接，如图.在正方体中，易知.因为平面，平面，所以，又，，平面，所以平面.又平面，所以.同理可证平面，所以.因为，，平面，所以平面.方法二：以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，则，，所以，，又，，平面，所以平面.16.命题透析本题考查三角函数的性质、三角恒等变换.解析（I）依题意，函数.由，得，由函数在区间上不具有单调性，得，解得，故的取值范围是.（II）依题意，得，，，所以，，所以，.由，得，所以，由，得.由，得，同理，.所以.17.命题透析本题考查椭圆的有关性质、直线被椭圆所截得的弦长的求法等.解析（I）设.由，得，由，得，由题知，则直线的斜率，故直线的方程为.由直线过点，得，则，，所以的方程为.（II）由（I）知.设，.由题意可知，当时，点到直线的距离取得最大值，所以直线的斜率，故直线的方程为，即，与的方程联立，消去整理，得，所以，，.18.命题透析本题考查立体几何与空间向量的应用.解析（I）设棱的中点为，连接，，如图，则，.由题意知，，所以，，所以四边形是平行四边形，所以.又平面，平面，所以平面.（II）过点作交于点，则，，可得四边形是矩形，又平分，所以四边形为正方形，且边长为2.以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.（i）设，则，，，，所以，，.设平面的法向量为，则即令，可得平面的一个法向量为.设平面的法向量为，则即令，可得平面的一个法向量为.设向量与所成的角为，则，所以，解得，即.（ii）由（i）知，向量，平面的一个法向量为，所以点到平面的距离为.19.命题透析本题考查直线与抛物线的位置关系.解析（I）的准线方程为，由题可知，解得