32644869解密24不等式选讲(讲义)-2022年高考数学（理）二轮复习讲义分层训练

解密24不等式选讲考点热度★★★☆☆内容索引核心考点1含绝对值不等式的解集及其应用核心考点2不等式的证明高考考点三年高考探源预测含绝对值不等式的解集及其应用2021年全国甲卷文理232021年全国甲卷文理232020新课标全国Ⅰ232020新课标全国Ⅱ232019新课标全国Ⅱ232019新课标全国Ⅲ23从近三年高考情况来看，主要考查绝对值不等式的求解、恒成立问题、存在性问题以及不等式的证明，多以解答题的形式呈现，难度中等．不等式的证明2019新课标全国Ⅰ232020新课标全国Ⅲ23核心考点一含绝对值不等式的解集及其应用考法含绝对值不等式的解集及其应用1、（四川省大数据精准教学联盟2022届高三第一次统一检测文科数学试题）已知函数，M为不等式的解集．(1)求M；(2)若a，，且，证明：．【答案】(1)；(2)证明见解析﹒【解析】(1)分类讨论去绝对值符号求解不等式即可；(2)由得，则(a，b)表示以原点为圆心，半径为的圆内部的点，故可设(a，b)为(，)，，，代入即可求出其范围.(1)由已知得当时，由得(舍去)；当时，由得，∴；当时，由得，∴．综上可得的解集．(2)由，即，令，，，，∴，由，∴，∴．由，∴，，∴．2、（四川省成都市蓉城名校联盟20212022学年高三第二次联考数学（理）试题）已知函数，．(1)若，解不等式；(2)设，均为正数，，的最大值为，求的最小值．【答案】(1)(2)5【解析】（1）零点分段法求解绝对值不等式；（2）由柯西不等式求出，再由绝对值三角不等式求出的最小值.(1)时，不等式为．当时，不等式化为，解得，此时解集为；当时，不等式化为，解得，此时解集为；当时，不等式化为，解得，此时无解．综上所述，不等式的解集为．(2)由柯西不等式得，∴，则．当且仅当，即号时等号成立．则的最大值为．由已知得：，故．∴．当且仅当，即时等号成立．∴的最小值为5．3、（2022·黑龙江·哈九中高三开学考试（文））已知函数.(1)画出的图象；(2)求不等式的解集.【答案】(1)答案见解析；(2).【解析】（1）将函数解析式化简为分段函数形式，再作出分段函数的图像；（2）将不等式转化为求解或，再结合函数图像求解不等式即可.(1)由题意，，作出函数图像如图所示，(2)，即或，由图可知，当时，；当时，即或，所以的解集为.4、（2022·黑龙江·铁力市第一中学校高三开学考试（文））已知.(1)解不等式；(2)若，关于的不等式成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】（1）用分类讨论思想去绝对值符号化简不等式求解；（2）利用绝对值值三角不等式求得的最大值，然后解相应不等式可得．(1)依题意，所以或或解得，所以不等式的解集为.(2)因为，所以（当且仅当时等号成立），因为对关于的不等式成立，所以，解得或.所以满足条件的实数的取值范围是.☆技巧点拨☆含绝对值不等式的解法1．公式法：对于形如|f(x)|>g(x)或|f(x)|<g(x)，利用公式|x|<a⇔−a<x<a(a>0)和|x|>a⇔x>a或x<−a(a>0)直接求解不等式；2．平方法：对于形如|f(x)|≥|g(x)|，利用不等式两边平方的技巧,去掉绝对值,需保证不等式两边同正或同负，即|f(x)|≥|g(x)|⇔f(x)2≥g2(x)；3．零点分段法：对于形如|f(x)|±|g(x)|≥a,|f(x)|±|g(x)|≤a，利用零点分区间法脱去绝对值符号,将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解；4．几何法：对于形如|x±a|±|x±b|≤c,|x±a|±|x±b|≥c，利用绝对值三角不等式的性质求解，即（1）定理1:如果a,b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立.（2）定理2:如果a,b,c是实数,那么|a−c|≤|a−b|+|b−c|,当且仅当(a−b)(b−c)≥0时,等号成立.（3）推论1:||a|−|b||≤|a+b|.（4）推论2:||a|−|b||≤|a−b|.5．图象法：对于形如|f(x)|+|g(x)|≥a可构造y=|f(x)|+|g(x)|−a或y=|f(x)|+|g(x)|与y=a，在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象,利用函数图象求解或通过移项构造一个函数.核心考点二不等式的证明考法不等式的证明1、（2022·河南南阳·高三期末（理））已知函数.(1)若，求不等式的解集；(2)若，记函数，且的最大值为M，若，求证：.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】（1）利用零点分段法去掉绝对值即可求出不等式的解集；（2）将代入函数中，根据绝对值的几何意义求出，再结合不等式的性即可求解.(1)当时，，由不等式，可得或，解得，所以不等式的解集为.(2)当时，，所以，当且仅当时等号成立，可得的最大值为，所以，当且仅当，即时取等号，即证.2、（2021·全国·高三阶段练习（文））已知函数．(1)解不等式；(2)若，且，证明：．【答案】(1)(2)证明见解析【解析】（1）首先将函数转化为分段函数，再分类讨论，即可求出不等式的解集；（2）由（1）可得的函数图象，即可得到，再将展开，利用基本不等式得到，即可得证；(1)解：由题意，

当时，，即，得；

当时，，即，得；

当时，，即，得．

综上，不等式的解集为．(2)解：由（1）得函数的图象如下所示：所以在时取得最大值为1，所以．因为，且，所以，

又，当且仅当时，等号成立，

所以，故，又，所以．3、（2022·安徽省宣城中学高三开学考试（文））已知函数.(1)求不等式的解集；(2)设，且，求证：.【答案】(1){或}；(2)证明见解析.【解析】(1)分类讨论去绝对值即可求解；(2)根据绝对值得几何意义确定f(x)的最小值，用基本不等式求的最大值，证明左边的最大值小于右边的最小值即可.(1)由题意得，，当时，不等式化为，解得，∴；当时，不等式化为，无解；当时，不等式化为，解得，∴，则不等式的解集为或.(2)由(1)知，当时，取得最小值，且，即.∵，当且仅当时等号成立，∴，∴，即.4、（2022·云南昭通·高三期末（理））已知函数，且的解集为.(1)求m的值；(2)若是正实数，且，求证：.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】（1）由得，求出可得答案；（2）由柯西不等式可得答案.(1)依题意，，即，.(2)由（1）知，由柯西不等式得，，所以，当且仅当，即时取等号.5、（2022·贵州贵阳·高三期末（文））已知函数.(1)当时，求的最小值；(2)若均为正实数，且的最小值为5，求证：.【答案】(1)3(2)证明见解析【解析】（1）根据x的范围分段讨论，去掉绝对值符号，即可求得f(x)的最小值；（2）根据的最小值为5，可得到a+b=5,将变为,展开后利用基本不等式即可证明.(1)当时，当时，，当时，综上，的最小值为3(2)证明：均为正实数，且的最小值为5，即，（当且仅当且时，即，取“=”）☆技巧点拨☆不等式证明的常用方法（1）作差比较.作差比较的步骤：①作差：对要比较大小的两个数（或式）作差.②变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和.③判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号.注意：若两个正数作差比较有困难，可以通