专题35圆锥曲线的最值取值范围问题-《2023年高考数学命题热点聚焦与扩展》2

专题35圆锥曲线的最值、取值范围问题【热点聚焦】高考命题中，对圆锥曲线的最值、取值范围问题考查，既有小题，也有大题.从考查的内容看，椭圆、双曲线、抛物线中的最值范围问题均有，亦有综合考查的情况.直线与圆锥曲线的位置关系中，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式、范围、最值存在性和探索性问题等.【重点知识回眸】（一）圆锥曲线上的点坐标的取值范围①椭圆（以为例），则，②双曲线：（以为例），则（左支）（右支）③抛物线：（以为例，则（二）直线与圆锥曲线位置关系：若直线与圆锥曲线有两个公共点，则联立消元后的一元二次方程（三）点与椭圆（以为例）位置关系：若点在椭圆内，则（四）圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．【典型考题解析】热点一椭圆中的最值、范围问题【典例1】（全国·高考真题（理））椭圆C：的左右顶点分别为，点P在C上且直线斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（）A． B． C． D．【典例2】（2021·全国·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（

）A．13 B．12 C．9 D．6【典例3】（2019·全国·高考真题（文））已知是椭圆的两个焦点，P为C上一点，O为坐标原点．（1）若为等边三角形，求C的离心率；（2)如果存在点P，使得，且的面积等于16，求b的值和a的取值范围.【典例4】（2018·北京·高考真题（文））已知椭圆的离心率为，焦距为.斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点、.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若，求的最大值；（Ⅲ）设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为.若、和点共线，求.【典例5】（2017·山东·高考真题（文））在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为,椭圆C截直线y=1所得线段的长度为.(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)动直线l:y=kx+m(m≠0)交椭圆C于A,B两点,交y轴于点M.点N是M关于O的对称点,⊙N的半径为|NO|.设D为AB的中点,DE,DF与⊙N分别相切于点E,F,求EDF的最小值.热点二双曲线的最值、范围问题【典例6】（2020·全国高考真题（理））设O为坐标原点，直线x=a与双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于A．4 B．8 C．16 D．32【典例7】（2022·山东济南·模拟预测）已知双曲线的离心率为分别为的左、右焦点，过的直线与的左支交于两点，若的最小值为4，则周长的最小值为（

）A．8 B．12 C．16 D．24【典例8】（2019·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是_____.【典例9】（2022·全国·高三专题练习）设双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线左支于，两点，则的最小值为______．热点三抛物线中的最值、范围问题【典例10】（2021·江西·高三阶段练习（文））已知抛物线的焦点到其准线的距离为2，过焦点的直线与抛物线交于、两点，则的最小值为（

）A． B． C． D．9【典例11】（2023·全国·高三专题练习）已知M为抛物线上的动点，F为抛物线的焦点，，则的最小值为___________.【典例12】（2020·浙江·高考真题）如图，已知椭圆，抛物线，点A是椭圆与抛物线的交点，过点A的直线l交椭圆于点B，交抛物线于M（B，M不同于A）．（Ⅰ）若，求抛物线的焦点坐标；（Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．【典例13】（2021·全国高考真题（文））已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．（1）求C的方程;（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值.【精选精练】一、单选题1．（2022·江西南昌·模拟预测（理））若，则的最小值为（

）A． B． C． D．2．（2022·广东·高三开学考试）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，若上存在无数个点，满足：，则的取值范围为（

）A．

B．

C．

D．3．（2022·浙江·慈溪中学高三开学考试）已知点、，直线，动点到点的距离和它到直线的距离之比为，则的最大值是（

）A． B． C． D．4．（2023·全国·高三专题练习）抛物线的焦点到圆上点的距离的最大值为（

）A．6 B．2 C．5 D．85．（2023·全国·高三专题练习）已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，在抛物线上且满足，当取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．6．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于，两点，弦的中点为，点是双曲线右支上的动点，点是以点为圆心，为半径的圆上的动点，点是圆上的动点，则的最小值为（

）A． B． C． D．7．（2023·全国·高三专题练习）已知分别为双曲线的左､右焦点，为双曲线的右顶点.过的直线与双曲线的右支交于两点（其中点在第一象限），设分别为的内心，则的取值范围是（

）A． B．C． D．8．（2023·全国·高三专题练习）已知点是双曲线上的动点，，为该双曲线的左右焦点，为坐标原点，则的最大值为（

）A． B．2 C． D．9．（2023·全国·高三专题练习）已知为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，点.则最大值的为（

）A． B． C． D．10．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线，点，是曲线W上两点，若，则的最大值为（

）A．10 B．14 C．12 D．16二、多选题11．（2022·江苏南通·高三开学考试）已知抛物线：的焦点为，为上一点，下列说法正确的是（

）A．的准线方程为B．直线与相切C．若，则的最小值为D．若，则的周长的最小值为1112．（2022·河北秦皇岛·高三开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，且，A，P，B为双曲线上不同的三点，且A，B两点关于原点对称，直线与斜率的乘积为1，则（

）A．B．双曲线C的离心率为C．直线倾斜角的取值范围为D．若，则三角形的面积为2三、填空题13．（2023·全国·高三专题练习）设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且，则直线斜率的最大值为_______．14．（2022·山西·高三阶段练习）已知抛物线，过点和点做两条斜率为2的平行线，分别与抛物线相交于点，和点，，得到一个梯形．若存在实数，使得，则实数的取值范围为______．四、解答题15．（2022·山东青岛·高三开学考试）在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外切，记动圆的圆心的轨迹为.(1)求轨迹的方程；(2)不过圆心且与轴垂直的直线交轨迹于两个不同的点，连接交轨迹于点.（i）若直线交轴于点，证明：为一个定点；（ii）若过圆心的直线交轨迹于两个不同的点，且，求四边形面积的最小值.16．（2022·河南省杞县高中高三开学考试（文））已知椭圆的左､右焦点分别为是上一动点，的最大面积为.(1)求的方程；(2)若直线与交于两点，为上两点，且，求四边形面积的最大值.17．（2022·贵州黔南·高三开学考试（理））已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在y轴的正半轴上，直线l：经过抛