专题73二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题2022年高考数学一轮复习（新高考浙江）（讲）

2022年高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）第七章不等式专题7.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题（讲）【考试要求】1.了解二元一次不等式的几何意义，掌握平面区域与二元一次不等式组之间的关系，并会求解简单的二元线性规划问题.【高考预测】（1）线性目标函数、距离型、斜率型的目标函数最值问题.（2）重点考查目标函数在线性约束条件下的最大值和最小值问题——线性规划问题，命题形式以选择、填空为主，但也有解答题以应用题的形式出现．【知识与素养】知识点1．二元一次不等式（组）表示的平面区域在平面直角坐标系中，直线将平面分成两部分，平面内的点分为三类：①直线上的点（x，y）的坐标满足：；②直线一侧的平面区域内的点（x，y）的坐标满足：；③直线另一侧的平面区域内的点（x，y）的坐标满足：.即二元一次不等式或在平面直角坐标系中表示直线的某一侧所有点组成的平面区域，直线叫做这两个区域的边界，（虚线表示区域不包括边界直线，实线表示区域包括边界直线）.由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.【典例1】（2021·浙江高三二模）在平面直角坐标系中，不等式组所表示的平面区域是一个梯形，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】先作出表示的平面区域，再根据过定点分，，三种情况讨论求解即可.【详解】根据题意可得表示的平面区域为如图的阴影部分，因为，过定点，所以当时，此时易知不等式组表示的平面区域为梯形，满足题意；当时，此时直线绕着点逆时针旋转，当直线过点时，不在构成梯形，此时直线的斜率为，所以当时满足题意；当时，此时直线绕着点顺时针旋转至垂直于轴的过程中，只有直线与平行时不满足条件，即，所以实数的取值范围是.综上，实数的取值范围是.故选：D【规律方法】由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.1.判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧的方法：因为对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)，数Ax+By+C的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点(x0,y0)（若原点不在直线上，则取原点(0,0)最简便），它的坐标代入Ax+By+c，由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧.2.画二元一次不等式或表示的平面区域的基本步骤：①画出直线（有等号画实线，无等号画虚线）；②当时，取原点作为特殊点，判断原点所在的平面区域；当时，另取一特殊点判断；③确定要画不等式所表示的平面区域.知识点2．目标函数的最值名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)目标函数关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题【典例2】（2021·全国高考真题（文））若满足约束条件则的最小值为（）A．18 B．10 C．6 D．4【答案】C【解析】由题意作出可行域，变换目标函数为，数形结合即可得解.【详解】由题意，作出可行域，如图阴影部分所示，由可得点,转换目标函数为，上下平移直线，数形结合可得当直线过点时,取最小值，此时.故选：C.【规律方法】确定线性最优解的思维过程：线性目标函数（A,B不全为0）中，当时，，这样线性目标函数可看成斜率为，且随变化的一组平行线，则把求的最大值和最小值的问题转化为直线与可行域有公共点，直线在轴上的截距的最大值最小值的问题.因此只需先作出直线，再平行移动这条直线，最先通过或最后通过的可行域的顶点就是最优解.特别注意，当B>0时，的值随着直线在y轴上的截距的增大而增大；当B<0时，的值随着直线在y轴上的截距的增大而减小.通常情况可以利用可行域边界直线的斜率来判断.对于求整点最优解，如果作图非常准确可用平移求解法，也可以取出目标函数可能取得最值的可行域内的所有整点，依次代入目标函数验证，从而选出最优解，最优解一般在可行域的定点处取得，若要求最优整解，则必须满足x，y均为整数，一般在不是整解的最优解的附近找出所有可能取得最值的整点，然后将整点分别代入目标函数验证选出最优整解.对于非线性最优解问题，应理解其几何意义，结合平面几何知识处理.【重点难点突破】考点1二元一次不等式(组)表示平面区域【典例3】（2021·河南高二期末（理））设关于，的不等式组表示的平面区城为，若，，中有且仅有两个点在平面区域内，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】作出平面区域，通过直线过定点可得结论．【详解】作出不等式组表示的平面区域，直线和是确定的，直线过定点，再作三点，如图，要使得中有两点在平面区域内，直线只能是图中位置，平面区域为图中阴影部分，又，．由图可知．故选：B【规律方法】1.二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法直线定界，测试点定域．2．求平面区域的面积(1)首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；(2)对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和．【变式探究】（2021·陕西高二期末（文））不等式组，表示的平面区域的面积为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】作出不等式组表示的平面区域即可求解.【详解】作出不等式组表示的区域，如图（阴影部分），由得，由得，由得，所以平面区域的面积为.

故选：B.考点2求目标函数的最值【典例4】（2020·浙江高考真题）若实数x，y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定目标函数在何处能够取得最大值和最小值从而确定目标函数的取值范围即可.【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：，其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，z取得最小值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最小，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最小值，联立直线方程：，可得点A的坐标为：，据此可知目标函数的最小值为：且目标函数没有最大值.故目标函数的取值范围是.故选：B.【典例5】（2021·浙江高考真题）若实数x，y满足约束条件，则的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】画出满足条件的可行域，目标函数化为，求出过可行域点，且斜率为的直线在轴上截距的最大值即可.【详解】画出满足约束条件的可行域，如下图所示：目标函数化为，由，解得，设，当直线过点时，取得最小值为.故选：B.【典例6】（2021·江苏南京师大附中高一期末）已知的三边为，满足，，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题设条件，结合三角形中两边之和大于第三边及题设中的不等式，，转化为简单的线性规划求解．【详解】解：设，，根据三角形的性质两边之和大于第三边及题设中的不等式，得，，则，作出平面区域如下所示：由解得，即，由解得，即，，即．故选：．【典例7】（2021·江西临川一中高三其他模拟（理））若实数，满足，则的最小值为___________.【答案】10【解析】根据不等式组画出平面区域，再根据的意义求最值即可.【详解】作出不等式组所表示的平面区域如图所示，则点到点的最小距离为点到直线的距离，即，所以的最小值为10.故答案为：10.【典例8】（2021·黑龙江铁人中学高三一模（文））设，满足约束条件，则的最大值为______．【答案】3【解析】根据约束条件画出可行域，再根据目标函数的几何意义求出最大值即可.【详解】解析：根据题意画出可行域如图阴影部分所示，目标函数中的几何意义表示点与连线斜率，由图可知，点与连线斜率最大，得最大值为3．故答案为：3【典例9】（2021·陕西西安市·西北工业大学附属中学高三其他模拟（理））已知实数x，y满足条件，则的最大值是（）A．1 B． C． D．3【答案】C【解析】法一：设有，即当与题设线性约束条件的所表示的可行域有唯一交点时取最大值；法二：根据约束条件不同区间所代表的线性边界，结合目标式构造二次函数式，并求区间内的值域，即可确定最大值；法三：利用基本不等式，得，根据线性约束条件即可确定最大值，注意等号成立的条件.【详解】法一：设，则且对称中心为，要使值最大，与可行域有唯一交点即可，∴在上有可行域有唯一交点，此时交点在边界直线为时有，如下图示，∴令，得，而的对称轴为，∴仅当，即直线与曲线在上相切时值最大，∴，此时，而在上与有交点时，曲线与可行域交点个数不止一个.在或内与可行域有唯一交点则有，显然此时值不可能最大，如下图示，综上，的最大值是.法二：当时，，即；当时，，即；当时，，即；当时，，即，∴最大值为.法三：由题设知：，又当且仅当，即时等号成立.故选：C.【典例10】（浙江高考真题）若实数满足，则的最小值是．【答案】.【解析】因为表示圆及其内部，易得直线与圆相离，所以，当时，，如图所示，可行域为小的弓形内部，目标函数，则可知当时，；当时，，如图所示，可行域为大的弓形内部，目标函数，则可知当时，，综上所述，的最小值是．【规律方法】线性规划问题中几种常见形式有：①截距型：，将问题转化为在轴截距的问题；②斜率型：，将问题转化为与连线斜率的问题；③两点间距离型：，将问题转化为与两点间距离的平方的问题；④点到直线距离型：，将问题转化为到直线的距离的倍的问题.【变式探究】1.（广东省韶关市2019届高考模拟测试（4月)）若，满足约束条件，则的最大值为A． B． C．5 D．6【答案】C【解析】变量，满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示：目标函数是斜率等于1、纵截距为的直线，当直线经过可行域的点时，纵截距取得最小值，则此时目标函数取得最大值，由可得，目标函数的最大值为：5故选：C．2.（2019年高考北京卷文）若x，y满足则的最小值为__________，最大值为__________．【答案】；1【解析】根据题中所给约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示.设，则，求出满足在可行域范围内z的最大值、最小值即可，即在可行域内，当直线的纵截距最大时，z有最大值，当直线的纵截距最小时，z有最小值.由图可知，当直线过点A时,z有最大值，联立，可得，即，所以；当直线过点时，z有最小值，所以.3.已知x，y满足条件x≥0,y≥x,3x+4y≤12,则x+2y+3x+1【答案】3,9【解析】作出可行域：∵设z=x+2y+3x+1=1+2y+1x+1，S表示动点Px，y当点P在B0，0时，s最小，即z的最小值为当点P在A0，3时，s最大，即z的最大值为故答案为：[3，9]．4.（2021·黑龙江哈九中高三三模（理））已知满足约束条件，则的最大值为___________.【答案】【解析】由题意画出可行域，表示可行域中的点到原点的距离，由图可知点B到原点的距离最大，求出点B的坐标代入可得结果【详解】解：满足约束条件所表示的可行域如图所示，表示可行域中的点到原点的距离，由图可知点B到原点的距离最大，由，解得，即，所以的最大值为，故答案为：考点3线性规划的实际应用【典例11】（2021·江苏高考真题）某广告公司接到幸福社区制作疫情防控宣传标牌的任务，要制作文字标牌4个，绘画标牌5个，该公司现有两种规格的原料，甲种规格原料每张3m2，可做文字标牌1个和绘画标牌2个;乙种规格原料每张2m2，可做文字标牌2个和绘画标牌1个.问两种规格的原料各用多少张时，才能使总的用料面积最小?并求最小用料面积.【答案】甲2块，乙1块，8m2.【解析】设需要甲种原料张，乙种原料张，则所用原料的总面积，由题意列出关于，的不等式组，作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】设需要甲种原料张，乙种原料张，则，所用原料的总面积．由约束条件作出可行域如图，联立，解得，，即，由，得，由图可知，当直线过时，取得最小值为．故需要甲种原料2张，乙种原料1张，才能使总的用料面积最小，为m2．【规律方法】解线性规划应用问题的一般步骤(1)审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，借助表格或图形理清变量之间的关系．(2)设元：设问题中起关键作用(或关联较多)的量为未知量x，y，并列出相应的不等式组和目标函数．(3)作图：准确作出可行域，平移找点(最优解)．(4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值)．(5)检验：根据结果，检验反馈．【变式探究】（2021·湖南高三其他模拟）某公司计划2021年在甲､乙两个网络平台上投放总时间不超过300天的广告，广告总费用不超过90万元，已知甲､乙两个网络平台的广告收费标准分别为5000元/天和2000元/天，广告每天能给公司带来的收益分别为3万元和2万元该公司如何分配在甲､乙两个网络平台上的广告时间，才能使公司的收益最大？最大收益是多少万元？【答案】该公司分配在甲、乙两个网络平台上的广告时间为天、天时，公司获得最大收益为万元.【解析】设分配在甲、乙两个网络平台上的广告时间为天，公司的收益为万元，由题意列不等式组以及目标函数，作出可行域，利用线性规划知识求解判断最大值.【详解】设分配在甲、乙两个网络平台上的广告时间为天，公司的收益为万元，由题意列式得，目标函数，作出不等式表示的可行域如图所示，当目标函数过点A时，取得最大值，则，解得，所以，万元，故该公司分配在甲、乙两个网络平台上的广告时间为天、天时，公司获得最大收益为万元.考点4线性规划中含参数问题【典例12】（2021·浙江省杭州第二中学高三其他模拟）已知实数满足，则的最大值是_________；若不等式恒成立，则实数的取值范围是_________.【答案】4【解析】作出可行域，的几何意义为可行域内的的点与点连线的斜率，转动过的直线，找到斜率的最大值计算即可；恒成立，分类讨论和两种情况，得出结果求并集.【详解】解：由约束条件作出可行域如图：表示可行域内的的点与点连线的斜率，则斜率的最大值为与点连线的斜率，即，故的最大值为4；设直线：，则直线过定点，所以时，恒成立；当时，若恒成立，只需斜率，即.则恒成立的的范围为.故答案为：4；.【规律方法】1.求解线性规划中含参问题的两种基本方法(1)把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或范围；(2)先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．2．求解线性规划应用题的三个注意点(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号．(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x，y的取值范围，特别注意分析x，y是否为整数、是否为非负数等．(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式．【变式探究】（2018湖北浠水实验高级中模拟）设x，y满足不等式组x+y-6≤02x-y-1≤3x-y-2≥0，若z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，则实数a的取值范围为【答案】[-2,1]【解析】由z=ax+y得y=-ax+z,直线y=-ax+z是斜率为−a,y轴上的截距为z的直线,作出不等式组对应的平面区域如图：则A(1,1),B(2,4)，∵z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，∴直线z=ax+y过点B时，取得最大值为2a+4，经过点A时取得最小值为a+1，若a=0，则y=z，此时满足条件，若a>0，则目标函数斜率k=-a<0，要使目标函数在A处取得最小值，在B处取得最大值，则目标函