专题3.1 函数的概念及其表示（原卷版）

专题3.1函数的概念及其表示1．判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点．2．函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．3．构成函数的三要素：函数的三要素为定义域、值域、对应关系.4．函数的表示方法：函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法.（1）解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；（2）列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；（3）图象法：注意定义域对图象的影响.5．相等函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等．（1）两个函数是否是相等函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示相等函数．（2）函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x−1，g(t)＝2t−1，h(m)＝2m−1均表示相等函数.6．常见基本初等函数定义域的要求为：（1）分式函数中分母不等于零.（2）偶次根式函数的被开方式大于或等于0.（3）一次函数、二次函数的定义域均为R.（4）y＝x0的定义域是{x|x≠0}.（5）y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx的定义域均为R.（6）y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞).（7）y＝tanx的定义域为.7．函数的解析式（1）函数的解析式是表示函数的一种方式，对于不是y＝f(x)的形式，可根据题目的条件转化为该形式.（2）求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利用换元法(或配凑法)求出的解析式，不注明定义域往往导致错误.8．函数的值域函数的值域就是函数值构成的集合，熟练掌握以下四种常见初等函数的值域：（1）一次函数y＝kx＋b(k为常数且k≠0)的值域为R.（2）反比例函数(k为常数且k≠0)的值域为(−∞，0)∪(0，＋∞)．（3）二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数且a≠0)，当a>0时，二次函数的值域为；当a<0时，二次函数的值域为.求二次函数的值域时，应掌握配方法：.（4）y＝sinx的值域为[−1,1]．9．分段函数的概念（1）若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，则这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．（2）分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．10．求函数解析式常用的方法（1）换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；（2）配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；（3）待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；（4）方程组法：已知关于f(x)与或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f(x).一、单选题1．已知函数f（x﹣1）＝x2+2x﹣3，则f（x）＝A．x2+4x B．x2+4C．x2+4x﹣6 D．x2﹣4x﹣12．已知函数f（x2+1）＝x4，则函数y＝f（x）的解析式是A． B．C． D．3．设，则f(f（2）)的值为A．0 B．1C．2 D．34．下列各组函数中，表示同一函数的是A．， B．，C．， D．，5．已知函数，则=A．1 B．2C．-1 D．36．下列各对函数表示同一函数的是（1）与（2）与（3）与（4）与．A．（1）（2）（4） B．（2）（4）C．（3）（4） D．（1）（2）（3）（4）7．函数y=x2+2x﹣3在区间[﹣3，0]上的值域为A．[﹣4，﹣3] B．[﹣4，0]C．[﹣3，0] D．[0，4]8．矩形的周长为定值a（a0），设它的一条边长为x，则矩形面积的函数的定义域是A． B．C． D．9．已知函数，则A． B．0C．1 D．210．下列四组函数中，与表示同一函数是A． B．C． D．11．下列各组函数中，表示同一函数的是A．与 B．与C．与 D．与12．定义在R上的函数满足，，则等于A．10 B．6C．12 D．1613．下列函数中，表示同一个函数的是A．与 B．与C．与 D．与14．下列函数中，与函数有相同图象的一个是A． B．C． D．15．函数的定义域为A． B．C． D．16．下列对应关系中是到的函数的是A．，， B．，，C．，， D．，，17．函数的定义域是A． B．C． D．18．已知函数的图象经过点（5，4），则实数的值为A．3 B．4C．5 D．619．函数的定义域为A． B．C． D．20．已知实数，函数，若，则的值为A． B．C． D．21．下列各组函数是同一函数的是①与；②f（x）＝x与；③f（x）＝x0与；④f（x）＝x2﹣2x﹣1与g（t）＝t2﹣2t﹣1．A．①② B．①③C．③④ D．①④22．函数的值域为A． B．C． D．23．已知函数，那么的值为A．25 B．16C．9 D．324．函数的定义域为A． B．C． D．25．点在函数的图象上，当时，的取值范围是A． B．C． D．26．已知函数的定义域为，则函数的定义域为A． B．C． D．27．已知函数的定义域为，则函数的定义域是A． B．C． D．28．关于函数的定义域为R，则实数的取值范围是A． B．C． D．29．函数的图象是如图所示的折线段，其中，，函数，那么函数的值域为A． B．C． D．30．若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是A． B．C． D．二、多选题1．下列四个函数中，与表示不是同一函数的是A． B．C． D．2．中国清朝数学学李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，已知集合，，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是A． B．C． D．3．若函数的值域是，则实数的可能取值是A．6 B．7C．8 D．94．下列函数，与函数的值域不相同的是A． B．C． D．5．已知可用列表法表示如下：若，则可以取A． B．C． D．6．已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为A． B．C． D．7．下列四个函数：①；②；③；④．其中值域为R的函数有A．① B．②C．③ D．④8．下列四组函数中，与表示同一函数的是A．， B．，C．， D．，9．下列函数中哪些函数与不是同一个函数A． B．C． D．10．在下列四组函数中，与不表示同一函数的是A． B．C． D．11．下列各组函数是同一个函数的是A．与 B．与C．与 D．与12．下列函数中，值域是的是A． B．C． D．13．记，定义域为，则下列选项正确的是A．为中心对称函数B．的值域为C．集合为的子集，若，则S可以为D．，且满足，则14．设函数，若，则实数可以为A． B．C． D．15．下列函数定义域和值域相同的是A．=5x+1 B．=x2+1C．= D．=三、填空题1．函数的定义域是__________．2．已知且，则的值为__________．3．函数，若，则__________．4．函数的定义域为__________．5．已知函数的值域为，则函数的定义域为__________．6．已知函数，则__________．7．函数，则__________．8．函数的值域是__________．9．函数的值域为__________．10．若，且，则的取值范围是__________．11．函数的定义域为__________．12．已知函数，则其定义域为__________．13．已知，，以为定义域，以为值域可以建立__________个不同的函数．14．己知函数的定义域为，则函数的定义域为__________．15．若函数的定义域为，则函数的定义域为__________．四、双空题1．函数．（1）若，则的值域是__________．；（2）若，则的值域为__________．2．设函数，则__________，__________．3．已知函数，则=__________；不等式的解集为__________．4．已知，则的值为__________，的值为__________．5．函数的函数值表示不超过的最大整数，则，的值域为__________；，的值域为__________．五、解答题1．已知函数．（1）求函数的定义域；（2）求的值；（3）当时，求的值．2．（1）已知，求的解析式