专题1.2 集合间的基本关系（解析版）

专题1.2集合间的基本关系表示关系自然语言符号语言图示基本基本关系子集集合A中任意一个元素都是集合B的元素（或）真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中（或）相等集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，必记结论：（1）若集合A中含有n个元素，则有个子集，有个非空子集，有个真子集，有个非空真子集．（2）子集关系的传递性，即.注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解.一、单选题1．设集合，，，，则A． B．C． D．【试题来源】集合与逻辑用语综合练习（一）-2022届高三数学一轮复习【答案】B【分析】对于集合，令和，即得解．【解析】，，，，对于集合，当时，，；当时，，．，故选B．2．已知集合，则集合的真子集个数为．A．4 B．8C．15 D．16【试题来源】湖北省武汉市第ー中学2021-2022学年高一上学期第一次月考【答案】C【分析】首先解一元一次不等式，用列举法表示出集合，即可求出集合的真子集个数；【解析】因为，解得，所以，即集合中含有4个元素，其真子集有个；故选C3．若，集合，则下列表示中正确的是A． B．C． D．【试题来源】上海市新场中学2021-2022学年高一上学期第一次月考【答案】A【分析】根据元素与集合、集合与集合之间的关系判断即可得正确选项．【解析】因为，所以，故选项A正确，选项B不正确；集合之间的关系符号有误，应为，故选项C不正确；元素与集合之间的关系符号有误，应为，故选项D不正确；故选A．4．已知集合，号则下列选项正确的是A． B．C． D．【试题来源】重庆市西南大学附属中学2021-2022学年高一上学期9月第一次定时训练【答案】B【分析】由题化简两集合，即得．【解析】因为，，所以．故选B．5．若集合，，则集合A，B之间的关系为A． B．C． D．A和B互不包含【试题来源】四川外国语大学附属外国语学校（重庆外国语学校）2021-2022学年高一上学期9月检测【答案】C【分析】先把两个集合内元素均乘以9，得到集合，用列举法得到，即可得到答案．【解析】显然，故A，B内元素均为的整数倍，不妨两个集合内素均乘以9，那么，，显然二者均表示全体奇数，所以，故A=B．故选C6．已知集合，，若，则A．1 B．0或1或3C．0或3 D．1或3【试题来源】贵州省安顺市第三高级中学2022届高三第一次阶段测试（理）【答案】C【分析】由题意可得或，求出的值，检验是否满足元素的互异性即可求解．【解析】因为，所以或．①若，则，满足；②若，则或，当时，，满足；当时，，集合不满足元素的互异性，不符合题意；综上所述：或，故选C．7．已知集合，则集合A的真子集个数为A．32 B．4C．5 D．31【试题来源】福建省南安市柳城中学2020-2021学年高一10月阶段测试【答案】D【分析】根据，的约数有1，2，3，4，6，12，从而可求的，即可求得集合A的真子集个数．【解析】因为，且的约数有1，2，3，4，6，12，当时，，则，故不符题意，舍去，当时，，则，故符合题意，当时，，则，故符合题意，当时，，则，故符合题意，当时，，则，故符合题意，当时，，则，故符合题意，所以，所以集合A的真子集个数为．故选D．8．在下列选项中，能正确表示集合和关系的是A．A＝B B．A⊆BC．A⫌B D．A⫋B【试题来源】2021-2022学年高一数学举一反三系列（人教B版2019必修第一册）【答案】C【分析】先求出集合B，然后利用两个集合之间的关系进行判断即可．【解析】由题意，解方程，得或，，又所以A⫌B，故选C．9．已知集合，，若，则实数a的值是A．1 B．2C． D．1或2【试题来源】广东省东莞市东莞高级中学2020-2021学年高一上学期第一次月考【答案】D【分析】根据，采用分类讨论的方法分别考虑：，结合集合元素的互异性求解出的值．【解析】因为，所以或，当时，，此时，满足要求；当时，或，若，此时，集合不满足元素互异性；若，此时，满足要求，综上可知，的取值为或，故选D．10．已知集合，或，若，则实数的取值范围为A． B．C． D．【试题来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学2021-2022学年高一上学期10月月考【答案】B【分析】根据求解．【解析】因为集合，或，且，所以，故选B11．已知集合，，，，，，若A=B，则a+2b=A．-2 B．2C．1或2 D．1【试题来源】江苏省南通市海安高级中学2021-2022学年高一上学期期中模拟【答案】D【分析】根据集合相等求得，由此求得．【解析】由于，所以或，没有符合题意的解．．故选D12．已知函数，若，则的取值范围是A． B．C． D．【试题来源】江西省靖安中学2020-2021学年高一上学期第一次月考【答案】D【分析】根据，列出不等式组，从而可得出答案．【解析】因为，所以，解得．故选D．13．已知集合，，且，则的取值范围是A． B．C． D．【试题来源】上海市新场中学2021-2022学年高一上学期第一次月考【答案】B【分析】根据集合的包含关系列不等式，解不等式即可求解．【解析】因为集合，，，所以，解得，故选B．14．已知集合，，那么集合与的关系是A． B．互不包含C． D．【试题来源】上海市向明中学2021-2022学年高一上学期9月月考【答案】A【分析】首先求得集合，由集合间的关系可得结果．【解析】集合，，又集合，．故选A．15．若，则的值为A．-3 B．3C．-12 D．12【试题来源】北京市海淀区中国人民大学附属中学2022届高三10月月考【答案】C【分析】由一元二次方程的根与系数的关系，求得P，q的值，由此可得选项．【解析】因为，所以，解得，所以，故选C．16．下列关系正确的是A． B．C． D．【试题来源】江苏省南通市如东高级中学2021-2022学年高一上学期10月阶段测试一【答案】D【分析】A．错误；B．错误；C．不相等，所以该选项错误；D．正确，．【解析】A．错误，因为元素和集合不能相等，所以该选项错误；B．错误，因为元素和集合之间只能用“”或“”连接，所以该选项错误；C．不相等，所以该选项错误；D．正确，所以该选项正确．故选D17．已知集合，，则A． B．C． D．P∩Q＝【试题来源】江西省南昌八一中学2021-2022学年高一10月份月考【答案】D【分析】化简得到集合，，结合为奇数，为偶数，即可求解．【解析】由和，可得集合，，因为为奇数，为偶数，所以．故选D．18．设集合，，且，则实数的取值集合为A． B．C． D．【试题来源】北京市八一学校2021-2022学年高一上学期第一次月考【答案】A【分析】化简集合，进一步得出答案．【解析】由题得，因为，且，所以实数的取值集合为．故选A．19．集合，则A的子集的个数为A．4 B．3C．2 D．1【试题来源】河南省驻马店市新蔡县第一高级中学2021-2022学年高一上学期9月月考【答案】A【分析】根据集合，列举出其子集求解．【解析】因为集合，所以A的子集是，所以A的子集的个数为4，故选A20．已知集合，则集合A的子集个数为A．2 B．4C．8 D．16【试题来源】广东省东莞市东莞高级中学2020-2021学年高一上学期第一次月考【答案】D【分析】根据题意，先求出集合A，进而求出集合A的子集个数．【解析】由题意，，则子集个数为．故选D．21．给出下列关系：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数为A． B．C． D．【试题来源】江苏省南通市海安高级中学2021-2022学年高一上学期期中模拟【答案】B【分析】根据元素与集合的关系、集合与集合的关系、空集的特征进行判断即可．【解析】对于①，表示实数集，是实数，所以，故①正确；对于②，表示自然数集，，故②错误；对于③，表示有理数集，是无理数，所以，故③错误；对于④，表示自然数集，，故④错误；对于⑤，空集是任何集合的子集，所以正确，故⑤正确．综上，①⑤正确，②③④错误，所以正确的个数为2．故选B22．集合的真子集的个数是A．7 B．3C．4 D．8【试题来源】宁夏银川一中2022届高三上学期第二次月考（文）【答案】B【分析】根据真子集个数的计算方法，求得正确选项．【解析】集合有两个元素，所以真子集个数为．故选B23．若集合，，，则之间的关系是A． B．C． D．【试题来源】湖北省荆门市龙泉中学2020-2021学年高一上学期10月月考【答案】B【分析】分别将集合表示为，和即可得结果．【解析】因为，，显然，故选B．24．已知集合，，，，，则A． B．C． D．【试题来源】北京海淀区北京一零一中学2020-2021学年高一10月月考【答案】D【分析】先弄清集合的代表元素，然后化简集合，根据集合相等的定义进行判断即可【解析】对于A，因为表示一个表达式组成的集合，而是点组成的集合，所以，所以A错误，对于B，因为，，所以，所以B错误，对于C，因为是数集，是点集，所以，所以C错误，对于D，因为，，所以，所以D正确，故选D25．已知集合，，则集合，的关系最准确的是A． B．C． D．【试题来源】河南省林州市第一中学2021-2022学年高一上学期开学检测（实验班）【答案】B【分析】对比集合的元素，由此确定正确选项．【解析】对于集合，，，对于集合，，，所以．故选B二、多选题1．若一个集合是另一个集合的子集，则称这两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则可能的取值为A．0 B．1C． D．-1【试题来源】江苏省南京外国语学校2021-2022学年高一上学期10月月考【答案】ACD【分析】由题意，可得或者两个集合有公共元素，分别讨论求解，即可得答案．【解析】如果，则，解得，如果两个集合有公共元素则，解得，经检验符合，或，解得，经检验符合．故选ACD．2．给出下列关系，其中正确的选项是A． B．C． D．【试题来源】第1章集合与常用逻辑用语专练1集合-2022届高三数学一轮复习【答案】BCD【分析】根据元素与集合的关系，空集是任何集合的子集即可判断各选项的正误【解析】显然不是集合的元素，所以A不正确；，所以B正确；，满足元素与集合的关系，所以C正确；，满足集合与集合的包含关系，所以D正确；故选BCD．3．已知集合，，若，则可能取值有A． B．C． D．【试题来源】福建省厦门市第六中学2020-2021学年高一10月月考【答案】AB【分析】因为，所以或，分类讨论判断即可求解．【解析】因为，所以或．当（舍），，此时，，符合题意．当，此时，，符合题意．故选AB4．下列表示正确的是A． B．C． D．【试题来源】江苏省南京航空航天大学附属中学2020-2021学年高一上学期10月月考【答案】BD【分析】根据元素与集合，集合与集合的关系逐一判断四个选项的正误即可得正确选项．【解析】对于A：由元素与集合的关系可知，故选项A错误；对于B：因为空集是任何集合的子集，所以，故选项B正确；对于C：由子集的定义可知，则选项C错误；对于D：由真子集的定义可知，故选项D正确；故选BD．5．对于集合，下列说法正确的有A． B．C． D．【试题来源】江苏省宿迁市泗阳县实验高级中学2021-2022学年高一上学期第一次质量调研【答案】AD【分析】根据元素与集合，集合与集合的关系判断可得；【解析】因为为自然数集，为整数集，所以，故A正确；表示点集，故B错误；故C错误；故D正确；故选AD6．下列四个命题：其中不正确的命题为A．是空集 B．若，则C．集合有两个元素 D．集合是有限集【试题来源】安徽省淮北市树人高级中学2020-2021学年高一上学期第一次阶段考试【答案】ABCD【分析】根据空集的定义可判断A；根据元素与集合的关系可判断B；解方程求出集合中的元素可判断C；为正整数的倒数时，都有可判断D，进而可得正确选项．【解析】对于A：含有一个元素，所以不是空集，故选项A不正确；对于B：当时，，则，故选项B不正确；对于C：只有一个元素，故选项C不正确；对于D：表示有理数，包括整数和分数，比如为正整数的倒数时，都有，所以集合是无限集，故选项D不正确；故选ABCD．7．已知集合，，下列命题正确的是A．不存在实数a使得 B．存在实数a使得C．当时， D．存在实数a使得【试题来源】2021-2022学年高一数学上学期新课预学案（人教A版2019必修第一册）【答案】AD【分析】A．由相等集合判断；B．由求解判断；C．由，得到判断；D．由求解判断．，【解析】A．由相等集合的概念可得，即，得此方程组无解，故不存在实数使得集合A=B，因此A正确；B．若，则，即，此不等式组无解，因此B错误；C．当时，得为空集，不满足，因此C错误；D．若，则，解得，若，则，无解，综上：，故D正确．故选AD．8．已知集合，，若，则由实数的可能取值为A． B．C． D．【试题来源】吉林省延边第二中学2020-2021学年高一上学期第一次考试月考【答案】ABD【分析】分和两种情况讨论求出集合B，再根据即可求得实数的可能取值．【解析】当时，，符合题意，当时，，因为，所以或3，故或，综上，或或．故选ABD．9．已知集合，若，则实数的取值可能为A．0 B．C．1 D．2【试题来源】2021-2022学年高一数学上册同步课后专练（人版A版必修第一册）【答案】AB【分析】根据子集的性质，结合一元一次方程解的性质进行求解即可．【解析】因为，，若为空集，则方程无解，解得；若不为空集，则，由解得，所以或，解得或．故选AB.10．已知集合，下列说法正确的是A． B．C． D．含有1的子集个数为4个【试题来源】云南省峨山彝族自治县第一中学2021-2022学年高一9月月考【答案】CD【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系、子集的定义可得正确的选项．【解析】，，且，均不是中元素，故AB错误．因为均为自然数，故，故C正确．的含1的子集为，共4个，故D正确．故选CD．11．下列关于空集的说法中，正确的有A． B．C． D．【试题来源】贵州省威宁彝族回族苗族自治县第四中学2021-2022高一上学期第一次月考【答案】BCD【分析】根据元素与集合之间的关系可判断A、C选项，根据空集是任何集合的子集可判断B、D选项．【解析】A：因为用于元素与集合之间，故A错误；B：因为空集是任何集合的子集，故B正确；C：因为中的元素是，故C正确；D：因为空集是任何集合的子集，故D正确；故选BCD．12．下列关系式正确的为A． B．C． D．【试题来源】广东省揭阳普宁市普师高级中学2022届高三上学期第一次阶段考试【答案】ACD【分析】根据任何集合是它本身的子集，即可判断A；根据集合和空集的定义，即可判断B；根据元素和集合间的关系，即可判断C；根据空集是任何集合的子集，即可判断D，从而得出答案．【解析】对于选项A，由于任何集合是它本身的子集，所以，故A正确；对于选项B，是指元素为0的集合，而表示空集，是指不含任何元素的集合，所以，故B错误；对于选项C，是指元素为0的集合，所以，故C正确；对于选项D，由于空集是任何集合的子集，所以，故D正确．故选ACD．13．下列集合的关系，正确的是A． B．C． D．【试题来源】2021-2022学年高一数学上册同步培优训练系列（苏教版2019）【答案】ACD【分析】根据元素与集合的关系､集合与集合的关系､空集是任意集合的子集逐项判断．【解析】A．空集是任意非空集合的真子集，故A正确；C．空集是任意集合的子集，因为是含有一个元素的集合，所以正确；D．空集是空集构成的集合中的元素，满足属于关系，故D正确，B中左边是空集，右边是含有一个元素的集合，不相等，B不正确；故选ACD．14．已知集合，且，则实数m的值可以为A．1 B．C．2 D．0【试题来源】贵州省六盘水市第四中学2021-2022学年高一上学期第一次月考【答案】ABD【分析】根据给定条件利用集合包含关系按m值是否为0分类即可得解．【解析】因，，则当时，，符合题意，当时，，于是得或，解得或，所以m的值为1或或0．故选ABD15．下列四个结论中，正确的有①；②；③⫋；④．A．① B．②C．③ D．④【试题来源】2021-2022学年高一数学上册同步课后专练（人版A版必修第一册）【答案】AC【分析】根据空集的定义和性质可得答案．【解析】①空集是自身的子集，正确；0不是空集中的元素，②错误；空集是任何非空集合的真子集，③正确；是含一个元素0的集合，不是空集，④错误．故选AC．三、填空题1．若集合只有两个子集，则集合_________．【试题来源】河南省郑州市第二高级中学2021-2022学年高一上学期10月月考【答案】或【分析】集合A只有两个子集，故A中只有一个元素，即方程只有一个解，然后分类讨论，或，分别计算即得解【解析】由题意，集合A只有两个子集，故A中只有一个元素方程只有一个解；当时，，，满足题意；当时，；；解得，；或．故答案为或．2．已知集合，若A的子集个数为2个，则实数a＝_________．【试题来源】2021-2022学年高一数学举一反三系列（人教B版2019必修第一册）【答案】1或【分析】由题意可知，方程只有一个解，分和讨论即可求解【解析】因为集合，且A的子集个数为2个，所以只有一个实数解，当时，即时，即为，解得，满足条件；当时，即时，只有一个实数根，，解得．所以实数a的值为1或．故答案为1或．3．已知集合若，则实数值为_________．【试题来源】福建省福清西山学校2021-2022学年高一9月月考【答案】或【分析】先根据集合非空求解出的基本范围，然后根据的取值特点对进行分类讨论，最后根据集合相等确定出的值．【解析】因为所以，记，所以，当时，，此时，所以不成立，故无解；当时，，若，则，解得，符合；当时，，若，则，解得或（舍），综上可知，的值为或，故答案为或．4．已知集合，，若，则实数m的取值构成的集合为_________．【试题来源】上海交通大学附属中学2021-2022学年高一上学期开学摸底【答案】【分析】先化简集合M，然后再根据N⊆M，求出m的值，即可求解．【解析】因为集合，所以集合，因为，，所以，或，或三种情况，当时，可得；当时，因为，所以，所以；当，，所以；所以实数m的取值构成的集合为，故答案为5．设集合，，且，则的值_________．【试题来源】第1章集合与常用逻辑用语专练1集合-2022届高三数学一轮复习【答案】2【分析】由集合相等，列出式子，求出即可求解【解析】，，，或，解得或，．故答案为2．6．已知集合恰有两个非空真子集，则实数m的取值范围是_________．【试题来源】四川外国语大学附属外国语学校（重庆外国语学校）2021-2022学年高一上学期9月检测【答案】且【分析】根据真子集个数确定集合中元素个数，再由方程的解的个数得参数范围．【解析】集合恰有两个非空真子集，则其有两个元素，所以，所以且．故答案为且．7．已知非空集合M同时满足下列条件：①；②若，则，则符合条件的集合M共有_________个．【试题来源】上海市长宁区第三女子中学2020-2021学年高一上学期期中【答案】15【分析】先求出满足，且的数对，然后将符合条件的集合M的个数转化为对应集合的非空子集的个数即可．【解析】满足，且的数对有，则集合M的个数为集合的非空子集的个数，则符合条件的集合M共有个．故答案为15．8．设集合，，若，则实数_________．【试题来源】上海市浦东新区南汇中学2020-2021学年高一上学期10月月考【答案】或或【分析】解方程求出集合，再分和两种情况，结合即可求解．【解析】，当时，，满足，所以符合题意；当时，若，则或，可得或，综上所述：实数的值为或或，故答案为或或．9．已知集合M={x|x2=1}，N={x|ax=1}，若N⊆M，则实数a的取值集合为_________．【试题来源】广西桂林市普通高中2021-2022学年高一10月质量检测【答案】【分析】求出集合中的元素，然后分类讨论确定值．【解析】由已知，又中至多一个元素，若，则，若，则，若，则，故答案为．10．若集合有且仅有两个不同的子集，则实数=_________．【试题来源】上海市嘉定区上海大学附属嘉定高级中学2021-2022学年高一上学期10月月考【答案】或．【分析】根据集合的子集个数确定出方程解的情况，由此求解出参数值．【解析】因为集合仅有两个不同子集，所以集合中仅有个元素，当时，，所以，满足要求；当时，，所以，此时方程解为，即，满足要求，所以或，故答案为或．11．设，，若集合，则_________．【试题来源】湖北省武汉市第十一中学2021-2022学年高一上学期第一次月考【答案】0【分析】根据集合相等即对应元素相同可知，从而得出，，从而得出，进而计算出．【解析】由题意若，则无意义，故不符合题意，故只能，所以，，，故答案为012．满足的集合的个数为_________．【试题来源】上海市控江中学2021-2022学年高一上学期九月月考【答案】7【分析】根据集合的基本关系可求出集合A满足条件的几种情况．【解析】由题意得是满足条件的一个集合又所以中元素除了2，4，6外，1，3，5中取一个或两个元素也满足条件，有种，故A中元素总的集合个数为种．故答案为713．已知集合，若，则实数的值为_________．【试题来源】黑龙江省齐齐哈尔市铁锋区齐齐哈尔中学2020-2021学年高一上学期期中【答案】0【分析】根据子集的定义求解，注意集合中元素的性质．【解析】由集合的互异性有，，因此有子集的定义必有，得．故答案为0．14．已知，若，则=_________．【试题来源】上海市嘉定区上海大学附属嘉定高级中学2021-2022学年高一上学期10月月考【答案】2【分析】由题意可得，，从而可求出的值，进而可得答案【解析】因为，所以，则，所以，所以，故答案为215．已知集合