专题1.1 集合的概念（解析版）

专题1.1集合的概念1．元素与集合的关系：.2．集合中元素的特征（1）确定性：一个集合中的元素必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合．（2）互异性：集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素．（3）无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如a，b，c组成的集合与b，c，a组成的集合是相同的集合．这个特性通常被用来判断两个集合的关系．3．集合的分类：有限集与无限集，特别地，我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记作.4．常用数集及其记法：集合非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集复数集符号或注意：实数集不能表示为{x|x为所有实数}或{}，因为“{}”包含“所有”“全体”的含义.5．集合的表示方法：自然语言、列举法、描述法、图示法.一、单选题1．下列元素的全体不能组成集合的是A．中国古代四大发明 B．地球上的小河流C．方程的实数解 D．周长为的三角形【试题来源】贵州省六盘水市第四中学2021-2022学年高一上学期第一次月考【答案】B【分析】根据集合元素的确定性，即可得答案；【解析】地球上的小河流没有一个明确的标准，无法构成集合，故选B．2．下列语言叙述中，能表示集合的是A．数轴上离原点距离很近的所有点B．太阳系内的所有行星C．某高一年级全体视力差的学生D．与大小相仿的所有三角形【试题来源】贵州省威宁彝族回族苗族自治县第四中学2021-2022高一上学期第一次月考【答案】B【分析】根据集合的确定性逐个判断即可【解析】对A，数轴上离原点距离很近的所有点不满足确定性，故A错误；对B，太阳系内的所有行星满足集合的性质，故B正确；对C，某高一年级全体视力差的学生不满足确定性，故C错误；对D，与大小相仿的所有三角形不满足确定性，故D错误故选B【名师点睛】本题主要考查了集合的确定性，属于基础题3．若集合，则集合中元素的个数是A．9 B．5C．3 D．1【试题来源】广东省南海区里水中学2020-2021学年高一上学期第一次月考【答案】B【分析】直接求出集合B即可．【解析】因为集合，所以，所以B中元素的个数是5．故选B4．下列集合表示正确的是A． B．C． D．{高个子男生}【试题来源】江西省高安中学2020-2021学年高一上学期第一次段考（B）【答案】B【分析】由集合中元素的性质以及集合的表示方法判断可得结果．【解析】A选项，不符合集合中元素的互异性，故A不正确；B选项由集合的定义可知B正确；C选项，集合的表示方式不正确；D选项不符合集合中元素的确定性，故D不正确．故选B5．若，则的可能值为A．0 B．0，1C．0，2 D．0，1，2【试题来源】江苏省无锡市天一中学2021-2022学年高一上学期第一次教学质量监测【答案】C【分析】根据，分，，讨论求解．【解析】因为，当时，集合为，不成立；当时，集合为，成立；当时，则（舍去）或，当时，集合为故选C6．已知集合，则中元素的个数为A．10 B．9C．8 D．7【试题来源】吉林省长春外国语学校2021-2022学年高一上学期第一次月考【答案】B【分析】利用列举法确定元素的个数．【解析】依题意可知，集合中的元素为，共个．故选B7．若，则，就称是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为A．1 B．3C．5 D．7【试题来源】江西省南昌八一中学2021-2022学年高一10月份月考【答案】B【分析】根据集合的新定义，得到在元素中，具有伙伴关系的元素有和，利用列举法，即可求解．【解析】由题意知，则，称是伙伴关系集合，因为集合，在元素中，可得具有伙伴关系的元素有：和，它们中任取一组或二组，均可组成伙伴关系，即集合，所以具有伙伴关系的集合的个数为3个．故选B．8．下列说法中，正确的是A．若，则B．中最小的元素是0C．“的近似值的全体”构成一个集合D．一个集合中不可以有两个相同的元素【试题来源】河南省豫西名校2021-2022学年高一上学期第一次联考【答案】D【分析】对于选项AB：根据整数与实数性质即可判断是否正确；对于选项CD：根据集合的确定性和互异性即可判断是否正确．【解析】若，则也是整数，故，故A错误；因为实数集中没有最小的元素，故B错误；因为“的近似值的全体”不具有确定性，所以“的近似值的全体”不能构成一个集合，故C错误；根据集合的互异性可知，一个集合中不可以有两个相同的元素，故D正确．故选D．9．集合的元素个数为A．3 B．4C．5 D．6【试题来源】福建省厦门双十中学2021-2022学年高一9月数学阶段性测试试题【答案】C【分析】利用，讨论，可得答案．【解析】因为，，，所以时；时；时；时；时，共有5个元素，故选C．10．已知集合则下列选项中错误的是A． B．C． D．【试题来源】江西省靖安中学2020-2021学年高一上学期第一次月考【答案】C【分析】根据元素与集合的关系，结合各个选项分别求出m、n的值，即可得出答案．【解析】对于A，因为，则，所以，又，符合题意，故A符合；对于B，因为，则，所以，符合题意，故B符合；对于C，因为，则，所以，又，故C不符题意；对于D，因为，即，则，所以，故D符合题意．故选C．11．已知集合，且，则a=A．1 B．-1C．±1 D．0【试题来源】福建省厦门市同安第一中学2021-2022学年高一9月教学质量检测【答案】B【分析】代入求值，再由集合的互异性验证即可求解．【解析】由题意可得或，解得或，当时，，不满足集合的互异性，舍去；当时，，满足题意，故选B12．已知集合A={（x，y）|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为A．9 B．8C．5 D．4【试题来源】辽宁省沈阳市第十中学2021-2022学年高一上学期第一阶段月考【答案】A【分析】分别令，0，1，进行求解即可．【解析】当时，，得，0，1，当时，，得，0，1，当时，，得，0，1，即集合中元素有9个，故选．13．若集合至多含有一个元素，则的取值范围是．A． B．C． D．【试题来源】新疆疏附县第二中学2021-2022学年高一上学期开学考试【答案】B【分析】把题意转化为方程无实根或两相等实根或一个实根，然后通过分类讨论求的取值范围．【解析】因为集合至多含有一个元素，所以时，，此时满足题意；当时，要满足题意，需方程无实根或两相等实根，即，所以．综上知，的取值范围是．故选B．14．已知集合，若，则实数a的值为A．1 B．1或C． D．或【试题来源】重庆市西南大学附属中学2021-2022学年高一上学期9月第一次定时训练【答案】C【分析】由题可知或，即求．【解析】因为，所以或，所以或，经检验得．故选C．15．已知集合，若，则实数的取值集合为A． B．C． D．【试题来源】浙江省精诚联盟2021-2022学年高一上学期10月联考【答案】D【分析】分别令、、，由集合元素具有互异性可确定的取值．【解析】①若，即时，，，即，不符合集合元素互异性，则；②若，即或时，当时，，，，满足题意；当时，，，即，不符合集合元素互异性，则；③若，即或时，由①知不满足题意；由②知不满足题意；综上所述：实数的取值集合为．故选D．16．下列几组对象可以构成集合的是A．某校核酸检测结果为阴性的同学 B．某校品德优秀的同学C．某校学习能力强的同学 D．某校身体素质好的同学【试题来源】浙江省精诚联盟2021-2022学年高一上学期10月联考【答案】A【分析】根据集合的确定性，互异性，和无序性，依次判断选项即可．【解析】对选项B，C，D，不满足集合的确定性，故不能构成集合．对选项A，满足集合的确定性，互异性，和无序性，故A正确．故选A二、多选题1．大于4的所有奇数构成的集合可用描述法表示为A．{x|x＝2k－1，k∈N} B．{x|x＝2k＋1，k∈N，k≥2}C．{x|x＝2k＋3，k∈N} D．{x|x＝2k＋5，k∈N}【试题来源】2021-2022学年高一数学教材配套学案练习（人教A版2019必修第一册）【答案】BD【分析】用列举法把四个选项对应的集合表示出来，即可验证．【解析】对于A：对于B：对于C：对于D：故选BD2．下列各组中M，P表示不同集合的是A．M＝{3，－1}，P＝{(3，－1)}B．M＝{(3，1)}，P＝{(1，3)}C．M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}D．M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，P＝{(x，y)|y＝x2－1，x∈R}【试题来源】河南省郑州市第二高级中学2021-2022学年高一上学期10月月考【答案】ABD【分析】选项A中，M和P的代表元素不同，是不同的集合；选项B中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M≠P；选项C中，解出集合M和P．选项D中，M和P的代表元素不同，是不同的集合．【解析】选项A中，M是由3，－1两个元素构成的集合，而集合P是由点(3，－1)构成的集合；选项B中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M≠P；选项C中，M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}=，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}=，故M=P；选项D中，M是二次函数y＝x2－1，x∈R的所有因变量组成的集合，而集合P是二次函数y＝x2－1，x∈R图象上所有点组成的集合．故选ABD．3．已知集合A含有两个元素和，若，则实数的值可以为A． B．C． D．【试题来源】江苏省苏高中2020-2021学年高一上学期10月月考【答案】AD【分析】根据题意分类讨论元素的值，注意检验集合元素的互异性．【解析】因为集合A含有两个元素和，且．所以当，即时，集合A元素为，符合题意；当，即时，集合A元素为，符合题意．故实数的值可以为．故选AD4．下列各组集合不表示同一集合的是A．，B．，C．，D．，【试题来源】江苏省南京市燕子矶中学2020-2021学年高一上学期9月月考【答案】ABD【分析】分析集合中的元素，看元素是否完全相同，从而判断是否为同一个集合．【解析】选项A：集合中的元素为，集合中的元素为，故不表示同一个集合；选项B：集合中的元素是直线上的点，集合是所有实数构成的集合，故不表示同一个集合；选项C：集合和集合都是和这两个数构成的集合，故是同一个集合；选项D：集合中的元素是和，集合中的元素是点，故不表示同一个集合．故选ABD．5．若a，b，c，d为集合A的四个元素，则以a，b，c，d为边长构成的四边形不可能是A．矩形 B．平行四边形C．菱形 D．梯形【试题来源】2021-2022学年高一数学教材配套学案练习（人教A版2019必修第一册）【答案】ABC【分析】根据集合元素的特征判断即可；【解析】由集合中的元素具有互异性可知a，b，c，d互不相等，而梯形的四条边可以互不相等，而矩形、平行四边形的对边相等，菱形的四边相等．故选ABC6．下列与集合表示同一个集合的有A． B．C． D．【试题来源】2021-2022学年高一数学10分钟课前预习练（人教A版2019必修第一册）【答案】AC【分析】解方程组求得的值，得到方程组的解的有序数对，集合M是这个有序数对构成的集合，据此作出判定．【解析】由解得，所以，所以根据集合的表示方法知A，C与集合M表示的是同一个集合，集合的元素是和两个数，的元素是和这两个等式，与集合M的元素是有序数对(可以看做点的坐标或者对应坐标平面内的点)不同，故BD错误．故选．7．已知集合，则的值可能为A．0 B．C．1 D．2【试题来源】辽宁省阜新市2020-2021学年高二下学期期末【答案】BD【分析】根据只有个元素对进行分类讨论，结合判别式求得，由此求得．【解析】因为集合，只有个元素，所以或，解得或，所以或故选BD．8．已知集合至多有一个元素，则实数的值可以是A． B．C． D．【试题来源】福建省连城县第一中学2021-2022学年高一10月第一次月考【答案】BCD【分析】对方程进行分类讨论，结合一元一次方程、一元二次方程的解的性质求解即可．【解析】集合至多有一个元素，即方程至多一个解，时，解为，符合；时，由得，结合选项可知BCD符合，故选BCD三、填空题1．已知集合，定义集合运算，则用列举法表示为___________．【试题来源】广西桂林市临桂区五通中学2020-2021学年高一10月月考【答案】【分析】根据新定义，分别取集合中的元素进行乘积，即可得解．【解析】根据新定义，取乘积为，都取，乘积为，取和，乘积为，都取，乘积为，．故答案为．2．设，则A用列举法可表示为___________．【试题来源】湖南省郴州市湘南中学2020-2021学年高一上学期入学考试【答案】【分析】根据题意直接求解即可．【解析】因为，所以故答案为3．用列举法表示为___________．【试题来源】上海市杨浦区上海财经大学附属中学2020-2021学年高一上学期期中【答案】【分析】根据集合的元素特征一一列出即可；【解析】故答案为4．已知则实数的值为___________．【试题来源】江苏省扬州中学2021-2022学年高一上学期10月月考【答案】5【分析】根据集合中元素的确定性讨论和，再结合元素互异性即可求解．【解析】因为，当时，那么，不满足集合元素的互异性，不符合题意，当时，，此时集合为符合题意，所以实数的值为，故答案为．5．已知集合，且，则实数的取值范围是___________．【试题来源】江苏省南通市海安高级中学2021-2022学年高一上学期期中模拟【答案】【分析】根据题意，分析可得若，则有，解不等式即可求得的取值范围．【解析】由于，且，所以，即．故答案为6．方程组的解集用列举法表示为___________．【试题来源】上海市嘉定区上海大学附属嘉定高级中学2021-2022学年高一上学期10月月考【答案】【分析】先求解出方程组的解，然后用列举法表示即可．【解析】因为，所以，所以解集为，故答案为．7．用列举法表示集合A={}，则集合A=___________．【试题来源】上海市嘉定区中光高级中学2020-2021学年高一上学期10月月考【答案】．【分析】首先解方程，再用列举法表示集合即可．【解析】．故答案为．8．用列举法表示集合M==___________．【试题来源】上海市浦东新区南汇中学2020-2021学年高一上学期10月月考【答案】【分析】根据给定条件求出10的正约数即可得解．【解析】因且，显然m是正整数，于是得m是10的正约数，而10的正约数有1，2，5，10，所以．故答案为9．集合，用列举法表示___________．【试题来源】上海市控江中学2021-2022学年高一上学期九月月考【答案】【分析】根据可以得到的取值范围，从而确定的值，便可确定集合A中的数对．【解析】，，则，，满足条件的数对为，故故答案为10．所有平行四边形组成的集合可以表示为___________．【试题来源】上海市延安中学2021-2022学年高一上学期10月月考【答案】为平行四边形【分析】利用集合的描述法可得结果．【解析】由题意可知，所有平行四边形组成的集合可以表示为为平行四边形．故答案为为平行四边形．11．下列各对象的全体，可以构成集合的是___________．（填序号）①高一数学课本中的难题；②高一年级中身高超过米的同学．【试题来源】上海市新场中学2021-2022学年高一上学期第一次月考【答案】②【分析】根据集合中的元素满足确定性可得出结论．【解析】①中的对象不满足确定性，①中的对象不能构成集合；②中的对象满足确定性，②中的对象能构成集合．故答案为②．12．用描述法表示被整除的整数组成的集合___________．【试题来源】上海市新场中学2021-2022学年高一上学期第一次月考【答案】【分析】被整除的整数即为且，用描述法写成集合的形式即可．【解析】被整除的整数组成的集合为，故答案为13．用列举法表示集合___________．【试题来源】上海市新场中学2021-2022学年高一上学期第一次月考【答案】【分析】求出方程组的解再用列举法写出结果．【解析】，故答案为．14．若一个整数是4的倍数或这个整数中含有数字4，我们则称这个数是“含4数”，例如20、34，将[0，50]中所有“含4数”取出组成一个集合，则这个集合中的所有元素之和为___________．【试题来源】2020-2021学年高二数学单元测试定心卷（北师大版选修2-3）【答案】673【分析】据“含4数”的定义，写出[0，50]中的所有含4数，求出它们的和，即可得出答案．【解析】[0，50]中所有“含4数”有0，4，8，12，14，16，20，24，28，32，34，36，40，41，42，43，44，45，46，47，48，49，所以所有元素之和为4+8+12+14+．．．+40+41+44．．．+49=673．故答案为673．15．用列举法表示集合为___________．【试题来源】福建省福州市第三中学2021-2022学年高一上学期开学评估考试【答案】【分析】对、的符号进行分类讨论，求出的值，即可得出所求集合．【解析】分以下几种情况讨论：①当，时，；②当，时，；③当，时，；④当，时，．综上所述，．故答案为．16．已知集合A＝{x|ax2﹣3x+2＝0，x∈R，a∈R}只有一个元素，则a＝___________．【试题来源】2022年高考数学一轮复习小题多维练（新高考版）【答案】0或．【分析】根据集合有且只有一个元素，由方程只有一个解或重根求解．．【解析】因为集合A＝{x|ax2﹣3x+2＝0，x∈R，a∈R}有且只有一个元素，当a＝0时，ax2﹣3x+2＝0只有一个解x＝，当a≠0时，一元二次方程只有一个元素则方程有重根，所以△＝9﹣8a＝0即a＝所以实数a＝0或故答案为0或．17．已知集合A={1，2，3}，B={1，m}，若3-m，则实数m=___________．【试题来源】上海市徐汇区南洋中学2020-2021学年高一上学期期中【答案】0或2【分析】由已知集合A的元素，分类讨论求参数m值，再根据集合的性质确定m的值．【解析】当时，得；当时，得；当时，得；因为3-m，B={1，m}，所以或．故答案为0或218．已知集合A=，若，则实数的值是___________．【试题来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学2021-2022学年高一上学期10月月考【答案】【分析】根据题意，可得或，然后根据结果进行验证即可．【解析】由题可知集合，所以或，则或当时，，不符合集合元素的互异性，当时，，符合题意所以故答案为19．集合，用列举法表示___________．【试题来源】上海市控江中学2021-2022学年高一上学期九月月考【答案】【分析】先求解出方程的实数根，然后用列举法表示集合．【解析】因为，所以，所以列举法表示集合为，故答案为．20．已知集合={}，直角坐标系中的点集={|∈∈}．若用一张完整无破损的纸片去覆盖点集中的所有点，则这张纸片的面积至少是___________．【试题来源】上海市延安中学2021-2022学年高一上学期10月月考【答案】【分析】由题意运用列举法求得集合B，由此可求得答案．【解析】因为集合={}，点集={|∈∈}．所以点集=，所以这张纸片的面积至少是，故答案为．21．设为实数，关于的不等式组的解集为A，若，则的取值范围是___________．【试题来源】上海市徐汇区位育中学2021-2022学年高一上学期10月月考【答案】【分析】根据，建立不等式求解即可求解．【解析】由题意，，则或解得或．故答案为四、解答题1．设集合（1）证明：若，，则，；（2）若，，则是否仍属于？请说明理由．【试题来源】黑龙江省齐齐哈尔市龙江县第一中学2021-2022学年高一上学期9月月考【答案】（1）证明见解析；（2）不一定属于；答案见解析．【分析】（1）根据集合元素属性特征、结合整数的性质进行证明即可；（2）运用反证进行求解即可．【解析】（1）证明：因为，，设，，，，，，则，，，所以，，，所以（2）若，，则不一定属于，例子：设，则；2．以某些整数为元素的集合具有以下两个性质：①中的元素有正整数，也有负整数；②若，则．（1）若，求证：；（2）求证：；（3）判断集合是有限集还是无限集？请说明理由．【试题来源】北京市八一学校2021-2022学年高一上学期第一次月考【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）集合为无限集；理由见解析．【分析】（1）设，得，进一步得到；（2）设，进一步得到，同理得到，从而得到；（3）利用反证法进行证明，从而得出结论．【解析】（1）由②若则可得若，则，（2）证明：由①，可设且；即为正整数，为正整数，由②可知，个相加属于集合，即，同理，个相加属于集合，即，；（3）判断：集合为无限集．假设集合为有限集，则集合中必最大值，且最大值为正数，不妨设最大值为，由（2）若，，则可得与集合的最大值为矛盾，所以集合为无限集．3．设数集A由实数构成，且满足：若（且），则．（1）若，试证明A中还有另外两个元素；（2）集合A能否只含有两个元素?请说明理由；（3）若A中元素个数不超过8，所有元素的和为，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A中的所有元素．【试题来源】辽宁省丹东市凤城市第一中学2021-2022学年高一上学期第一次月考【答案】（1）证明见解析；（2）不是，理由见解析；（3），2，，，3，．【分析】（1）由，代入求得另外两个元素，然后出现循环可证；（2）由，根据定义代入两次求得另外两个元素，说明这三个元素互