2024-2025学年新教材高中数学第一章三角函数1.3蝗制课时作业含解析北师大版必修第二册

PAGE课时分层作业(三)弧度制(建议用时：40分钟)一、选择题1．－105°化弧度是()A．eq\f(7,12)π B．－eq\f(7,12)πC．－eq\f(7,6)π D．－eq\f(7,3)πB[－105°＝－105×eq\f(π,180)＝－eq\f(7,12)π.]2．下列与eq\f(9π,4)的终边相同的角的表达式中，正确的是()A．2kπ＋45°(k∈Z)B．k·360°＋eq\f(9π,4)(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z)D．kπ＋eq\f(5π,4)(k∈Z)[答案]C3．在半径为1的圆中，面积为1的扇形的圆心角的弧度数为()A．1 B．2C．3 D．4B[由S＝eq\f(1,2)α·r2，得1＝eq\f(1,2)·α·12，∴α＝2.]4．若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm，则这个圆心角所对的扇形面积是()A．4cm2 B．2cm2C．4πcm2 D．2πcm2A[设扇形的半径为r，则由l＝|α|r，得r＝eq\f(4,2)＝2(cm)，∴S＝eq\f(1,2)|α|r2＝eq\f(1,2)×2×22＝4(cm2)，故选A．]5．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为()A．eq\f(40,3)π B．eq\f(20,3)πC．eq\f(200,3)π D．eq\f(400,3)πA[240°＝240×eq\f(π,180)rad＝eq\f(4,3)πrad，∴弧长l＝|α|·r＝eq\f(4,3)π×10＝eq\f(40,3)π，故选A．]二、填空题6．若三角形三内角之比为4∶5∶6，则最大内角的弧度数是________．[答案]eq\f(2,5)π7．假如一扇形的弧长变为原来的eq\f(3,2)倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________．eq\f(3,4)[由于S＝eq\f(1,2)lR，若l′＝eq\f(3,2)l，R′＝eq\f(1,2)R，则S′＝eq\f(1,2)l′R′＝eq\f(1,2)×eq\f(3,2)l×eq\f(1,2)R＝eq\f(3,4)S.]8.若α＝2，则角α的终边所在的象限为________．其次象限[∵α＝2，∴eq\f(π,2)<α<π，故α在其次象限．]三、解答题9．把下列角化为2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式，写出终边相同的角的集合，并指出它是第几象限角．(1)－eq\f(46π,3)；(2)－1485°.[解](1)－eq\f(46π,3)＝－8×2π＋eq\f(2π,3)，它是其次象限角．终边相同的角的集合为{α|α＝2kπ＋eq\f(2π,3)，k∈Z}．(2)－1485°＝－5×360°＋315°＝－10π＋eq\f(7π,4)，它是第四象限角．终边相同的角的集合为{α|α＝2kπ＋eq\f(7π,4)，k∈Z}．10．已知一个扇形的周长为a，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求这个最大值．[解]设扇形的弧长为l，半径为r，圆心角为α，面积为S.由已知，2r＋l＝a，即l＝a－2r.∴S＝eq\f(1,2)l·r＝eq\f(1,2)(a－2r)·r＝－r2＋eq\f(a,2)r＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(r－\f(a,4)))eq\s\up12(2)＋eq\f(a2,16).∵r>0，l＝a－2r>0，∴0<r<eq\f(a,2)，∴当r＝eq\f(a,4)时，Smax＝eq\f(a2,16).此时，l＝a－2·eq\f(a,4)＝eq\f(a,2)，∴α＝eq\f(l,r)＝2.故当扇形的圆心角为2rad时，扇形的面积最大，最大值为eq\f(a2,16).11．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为()A．eq\f(14,3)π B．－eq\f(14,3)πC．eq\f(7,18)π D．－eq\f(7,18)πB[明显分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了两周又一周的eq\f(1,3)，用弧度制表示就是－4π－eq\f(1,3)×2π＝－eq\f(14,3)π.]12．如图是一个半径为R的扇形，它的周长为4R，则这个扇形所含弓形(阴影区域)的面积是()A．eq\f(1,2)(2－sin1cos1)R2 B．eq\f(1,2)R2sin1cos1C．eq\f(1,2)R2 D．(1－sin1cos1)R2D[∵l＝4R－2R＝2R，∴α＝eq\f(l,R)＝2.∵S弓形＝S扇形－S三角形＝eq\f(1,2)|α|R2－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2Rsin\f(α,2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Rcos\f(α,2)))＝eq\f(1,2)×2×R2－R2sin1·cos1＝R2(1－sin1cos1)．]13．若α＝－3，则角α是第()象限角A．一 B．二C．三 D．四C[∵－π＜－3＜－eq\f(π,2)，∴－3是第三象限角．]14．半径为1cm，中心角为150°的角所对的弧长为________．eq\f(5π,6)cm[∵150°＝150×eq\f(π,180)＝eq\f(5π,6)，∴l＝eq\f(5π,6)×1＝eq\f(5π,6)cm.]15．如图所示，点A以逆时针方向做匀速圆周运动，已知点A每分钟转过θ角(0＜θ≤π)，经过2分钟第一次到达第三象限，经过14分钟回到原来位置，求θ的大小．[解]经过2分钟，点A转过2θ的角，经过14分钟，点A转过14θ的角．由已知π＜2θ＜eq\f(3π,2)得eq\f(π,2)＜θ＜eq\f(3π,4)，且14θ＝