数学（文科）总复习演练提升同步测评空间点、直线、平面之间的位置关系

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精A组专项基础训练（时间：35分钟）1．在下列命题中，不是公理的是(）A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线【解析】选项A是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的．【答案】A2．（2017·安徽合肥一模）如图，已知四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD且PD＝AD,则下列结论中错误的是()A．过BD且与PC平行的平面交PA于点M，则M为PA的中点B．过AC且与PB垂直的平面交PB于点N，则N为PB的中点C．过AD且与PC垂直的平面交PC于点H，则H为PC的中点D．过P，B,C的平面与平面PAD的交线为直线l，则l∥AD【解析】设AC∩BD＝O，∵ABCD是正方形，∴O是AC的中点．∵过BD且与PC平行的平面交PA于M点,∴OM∥PC,∴M是PA的中点,故A正确．设N为PB的中点，连接AN，∵PA与AB不相等，∴AN与PB不垂直，∴过AC且与PB垂直的平面交PB于N点，则N一定不是PB的中点，故B错误．∵四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD且PD＝AD，∴PA＝AC,PD＝DC，∴过AD且与PC垂直的平面交PC于H点，则H为PC的中点，故C正确．∵AD∥BC，平面PAD与平面PCB有公共点P，∴l∥AD∥BC,故D正确．故选B.【答案】B3．(2016·浙江）已知互相垂直的平面α，β交于直线l,若直线m，n满足m∥α,n⊥β，则（)A．m∥lB．m∥nC．n⊥lD．m⊥n【解析】由题意知，直线m与l以及直线m与n的位置关系不能确定，故A，B，D不正确．又n⊥β且l⊂β，则n⊥l。故选C.【答案】C4．(2017·江西南昌模拟)设a，b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线，则“l⊥a,l⊥b”是“l⊥α”的()A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【解析】a，b是平面α内两条不同的直线,l是平面α外的一条直线,l⊥a，l⊥b,若a∥b，l可以与平面α斜交,推不出l⊥α；若l⊥α，a,b是平面α内两条不同的直线，由线面垂直的性质定理，得l⊥a,l⊥b，∴“l⊥a，l⊥b"是“l⊥α”的必要而不充分条件．故选C。【答案】C5．(2017·湖南衡阳模拟）如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中,M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是（）A．MN与CC1垂直B．MN与AC垂直C．MN与BD平行D．MN与A1B1平行【解析】如图，连接C1D，BD，AC，在三角形C1DB中，MN∥BD,故C正确；∵CC1⊥平面ABCD，∴CC1⊥BD,∴MN与CC1垂直，故A正确；∵AC⊥BD，MN∥BD,∴MN与AC垂直,故B正确；∵A1B1与BD不平行，MN∥BD，∴MN与A1B1不平行，故D错误．故选D.【答案】D6．(2016·课标全国Ⅱ)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β。②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n。③如果α∥β，m⊂α,那么m∥β。④如果m∥n,α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号）【解析】①不正确．由m⊥n,m⊥α，可知n∥α或n⊂α.又n∥β,∴α∥β或α∩β＝l（但不一定垂直)．②正确．n∥α，则存在n′⊂α,n∥n′,又m⊥α，则必有m⊥n′，∴m⊥n。③正确．α∥β，则α内任一直线均与β平行，又m⊂α，∴m∥β。④正确．m∥n，∴m,n与α所成的角相等．又α∥β,∴n与α,β所成的角相等．∴m与α所成的角和n与β所成的角相等．故答案为②③④。【答案】②③④7．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．【解析】EF与正方体左、右两侧面均平行．所以与EF相交的侧面有4个．【答案】48．（2015·浙江)如图,三棱锥A­BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M,N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是________．【解析】如图所示，连接DN，取线段DN的中点K，连接MK，CK.∵M为AD的中点，∴MK∥AN,∴∠KMC为异面直线AN，CM所成的角．∵AB＝AC＝BD＝CD＝3,AD＝BC＝2,N为BC的中点，由勾股定理求得AN＝DN＝CM＝2eq\r(2），∴MK＝eq\r(2）.在Rt△CKN中,CK＝eq\r（（\r（2)）2＋12)＝eq\r(3）。在△CKM中，由余弦定理，得cos∠KMC＝eq\f(（\r（2)）2＋（2\r（2)）2－（\r（3)）2,2×\r(2）×2\r(2））＝eq\f(7,8）.【答案】eq\f(7,8）9．(2015·四川高考改编）如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为________．【解析】如图，将原图补成正方体ABCD。QGHP，连接GP，则GP∥BD，所以∠APG为异面直线AP与BD所成的角，在△AGP中AG＝GP＝AP，所以∠APG＝eq\f(π,3）.【答案】eq\f（π，3）10．如图，空间四边形ABCD中，E，F，G分别在AB，BC，CD上,且满足AE∶EB＝CF∶FB＝2∶1，CG∶GD＝3∶1，过E,F，G的平面交AD于点H.（1）求AH∶HD；（2）求证：EH,FG，BD三线共点．【解析】（1）∵eq\f（AE，EB)＝eq\f（CF，FB）＝2，∴EF∥AC，∴EF∥平面ACD，而EF⊂平面EFGH,平面EFGH∩平面ACD＝GH,∴EF∥GH，∴AC∥GH.∴eq\f(AH，HD）＝eq\f(CG,GD）＝3，∴AH∶HD＝3∶1.(2）证明∵EF∥GH，且eq\f(EF，AC）＝eq\f(1,3)，eq\f(GH，AC）＝eq\f（1,4)，∴EF≠GH，∴四边形EFGH为梯形．令EH∩FG＝P，则P∈EH，而EH⊂平面ABD,又P∈FG，FG⊂平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD,∴P∈BD。∴EH,FG，BD三线共点．B组专项能力提升(时间：30分钟）11．（2016·上海闵行区期末调研）已知A，B，C，D是空间四点，命题甲:A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC和BD不相交，则甲是乙成立的（)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】若A，B，C,D四点不共面，则直线AC和BD不共面,所以AC和BD不相交;若直线AC和BD不相交,若直线AC和BD平行时，A，B，C,D四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件．【答案】A12．（2017·郑州第二次质量预测）如图,矩形ABCD中,AB＝2AD，E为边AB的中点,将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是(）A．｜BM｜是定值B．点M在某个球面上运动C．存在某个位置，使DE⊥A1CD．存在某个位置，使MB∥平面A1DE【解析】取DC中点F,连接MF，BF，MF∥A1D且MF＝eq\f(1,2）A1D，FB∥ED且FB＝ED，所以∠MFB＝∠A1DE.由余弦定理可得MB2＝MF2＋FB2－2MF·FB·cos∠MFB是定值，所以M是在以B为圆心，MB为半径的球上,可得A、B正确．由MF∥A1D与FB∥ED可得平面MBF∥平面A1DE，可得D正确;A1C在平面ABCD中的射影与AC重合，AC与DE不垂直,可得C不正确．【答案】C13．如图是正四面体（各面均为正三角形）的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE,EF，EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角;④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．【解析】还原成正四面体知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角,DE⊥MN。【答案】②③④14．已知A是△BCD所在平面外的一点,E，F分别是BC,AD的中点．（1）求证:直线EF与BD是异面直线；(2）若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．【解析】（1）证明假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面,即AD与BC共面,所以A，B，C,D在同一平面内，这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．（2)取CD的中点G，连接EG，FG，则EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角,即为异面直线EF与BD所成的角．在Rt△EGF中，由EG＝FG＝eq\f(1，2)AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°。15．如图，在三棱锥P。ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC＝eq\f（π,2)，AB＝2,AC＝2eq\r(3)，PA＝2。求：(1）三棱锥P。ABC的体积；(2）异面直线BC与AD所成角的余弦值．【解析】(1）S△ABC＝eq\f（1,2)×2×2eq\r(3）＝2eq\r（3)，三棱锥P。ABC的体积为V＝e