专题. 平面直角坐标系背景下的平行四边形（培优篇）（专项练习）八年级数学下册基础知识专项讲练（苏科版）

专题9.34平面直角坐标系背景下的平行四边形（培优篇）（专项练习）一、单选题1．如图，把Rt△ABC放在平面直角坐标系内，其中∠CAB＝90°，BC＝13，点A、B的坐标分别为（1，0），（6，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y＝2x﹣4上时，线段BC扫过的面积为（）A．84 B．80 C．91 D．782．如图，已知▱OABC的顶点A，C分别在直线x＝1和x＝4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．63．如图，在平面直角坐标系中，OABC的顶点A在x轴上，定点B的坐标为（8，4），若直线经过点D（2，0），且将平行四边形OABC分割成面积相等的两部分，则直线DE的表达式是（

）A．y=x-2 B．y=2x-4 C．y=x-1 D．y=3x-64．如图，在平面直角坐标系中，点，当四边形ABCD的周长最小时，则m的值为（

）．A． B． C．2 D．35．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线AB与y轴交于点A（0，6），与x轴的负半轴交于点B，且∠BAO＝30°，M、N是该直线上的两个动点，且MN＝2，连接OM、ON，则△MON周长的最小值为（

）A．2＋3 B．2＋2 C．2＋2 D．5＋6．如图，平面直角坐标系xOy中，点A是直线上一动点，将点A向右平移1个单位得到点B，点C（1，0），则OB＋CB的最小值为（

）A． B． C． D．7．如图，平行四边形AOBC中，，，对角线AB，OC交于点P，将平行四边形AOBC绕点O逆时针旋转，每次旋转45°，则旋转2022次后点P的对应坐标为（

）A． B． C． D．8．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的一边在轴上，，在第二象限，在左侧，，，，直线的解析式为，现将平行四边形沿轴向右平移，当直线恰好平分平行四边形的面积时，此时的平移距离为（

）A． B． C． D．二、填空题9．如图，在平面直角坐标系xOy中，O为原点，点A、C的坐标分别为(2，0)、(1，3)，将△AOC绕AC的中点旋转180°，点O落到点B的位置，D的坐标为(1，-).若点P是x轴上一点，以P、A、D为顶点作平行四边形，该平行四边形的另一顶点在y轴上，则点P的坐标为_________.10．如图，已知A(0，2)，B(﹣1，﹣2)，将AB向右平移到CD的位置，S四边形ABDC＝a（a＞30），若E(m，n)为四边形ABDC内一点，且S△ABE＝5，则m与n的数量关系为_____，m的取值范围是_____．11．如图，平面直角坐标系中，点是直线上一动点，将点向右平移1个单位得到点，点，则的最小值为________.12．如图：在平面直角坐标系中，A、两点的坐标分别为、，、分别是x轴、y轴上的点．如果以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，则M的坐标为__________．13．如图，在中，，点的坐标为，，、分别是射线、线段上的点，且，以、为邻边构造平行四边形，①若线段与交于点，当时，则_______；②把沿着进行折叠，当折叠后与的重叠部分的面积是平行四边形的时，则_______．14．已知点函数的图象上有两个动点，且，则四边形的周长最小值是____________．15．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形，，，…，点，…都在x轴上，点，…都在直线上，且，，，，…，则点的坐标是___________．16．如图，在平面直角坐标系中，，点P为y轴正半轴上一动点，连接并延长至点D，使，以为边作，连接，则长度的最小值为_____________．17．如图，在平面直角坐标中，直线l经过原点，且与y轴正半轴所夹的锐角为60°，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1，以A1B、BA为邻边作平行四边形ABA1C1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2，以A2B1，B1A1为邻边作平行四边形A1B1A2C2；……按此作法继续下去，则C2的坐标是___；Cn的坐标是___．18．已知直线与轴，轴分别交于点，，点是射线上的动点，点在第一象限，四边形是平行四边形．若点关于直线的对称点恰好落在轴上，则点的坐标为______．19．如图，中，//轴，．点A的坐标为，点D的坐标为，点B在第四象限，点G是AD与y轴的交点，点P是CD边上不与点C，D重合的一个动点，过点P作y轴的平行线PM，过点G作x轴的平行线GM，它们相交于点M，将△PGM沿直线PG翻折，当点M的对应点落在坐标轴上时，点P的坐标为______．20．在平面直角坐标系中，已知点，点，点，点从点出发，以个单位每秒的速度沿射线运动，点从点出发，开始以个单位每秒的速度向原点运动，到达原点后立刻以原来倍的速度沿射线运动，若两点同时出发，设运动时间为秒，则当____________________时，以点为顶点的四边形为平行四边形．21．已知A，C两点坐标分别为和，平行四边形ABCD的一个内角为45°，点B在轴上，则点D的坐标为__________．22．如图，在平面直角坐标系中，D是平行四边形ABOC内一点，CD与x轴平行，AD与y轴平行，已知，，，，则D点的坐标为_______．23．等腰Rt△AOB和等腰Rt△COB按如图所示方式放置，∠OAB＝∠OCB＝90°，A（1，1），将△AOB沿x轴平移，得到△DEF，连接CD，CE．当CD＋CE的值最小时，点D的坐标为________．24．如图，在平行四边形OABC中，、，若，直线l经过D点并且把平行四边形OABC的面积分成相等的两部分，则直线l的解析式是______．25．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD点A的坐标（3，2），点C的坐标（7，4），直线y＝－x以每秒1个单位长度的速度向右平移，经过______秒该直线可将平行四边形ABCD的面积平分．26．如图，在平面直角坐标系中，已知，C为线段的中点，点P是线段上的一个动点，连接，当的值为____________时，将沿边所在直线翻折后得到的与重叠部分的面积为面积的．三、解答题27．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交轴，轴于A，两点，过点A的直线交轴正半轴于点，且点为线段的中点．(1)求直线的函数解析式；(2)试在直线上找一点，使得，请求出点的坐标；(3)若点为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．28．如图1，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，过的直线与直线交于点．(1)求直线的解析式；(2)若点D是第一象限位于直线上的一动点，过点D作轴交于点H．当时，试在x轴上找一点E，在直线上找一点F，使得的周长最小，求出周长的最小值；(3)如图2，直线与x轴交于点M，与y轴交于点N，将直线绕点O逆时针旋转得到直线，点P是直线上一点，且横坐标为．在平面内是否存在一点Q，使得以点M，C，P，Q为项点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．29．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且满足：．求：的值；为延长线上一动点，以为直角边作等腰直角，连接，求直线与轴交点的坐标；在（2）的条件下，当时，在坐标平面内是否存在一点，使以为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由．30．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，将线段绕着点O逆时针方向旋转后得到线段，连接，直线交x轴于点C．(1)求直线的解析式．(2)若点是点C关于直线的对称点，沿着直线平移得到．求的最小值，并求出此时的坐标．(3)点D是坐标平面内一点，且满足，在x轴上是否存在一点E，使得以点B、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．31．在平面直角坐标系中，直线分别与、轴相交于、两点，将线段绕点顺时针旋转得到线段．连接交轴于点．(1)求点的坐标；(2)为轴上的动点，连接，，当的值最大时，求此时点的坐标．(3)点在直线上，点在轴上，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标；32．如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为，（4，1），以，为邻边作平行四边形，一次函数（k、b为常数，且）的图象过点B．(1)点B的坐标为．(2)求用含k的代数式表示b．(3)当一次函数的图象将平行四边形分成面积相等的两部分时，求k的值．(4)直接写出一次函数的图象与平行四边形的边只有两个公共点时k的取值范围．参考答案1．A【分析】首先根据题意作出图形，则可得线段BC扫过的面积应为平行四边形BCC′B′的面积，其高是AC的长，底是点C平移的路程．则可由勾股定理求得AC的长，由点与一次函数的关系，求得A′的坐标，即可求得CC′的值，继而求得答案．解：如下图：∵点A、B的坐标分别为（1，0）、（6，0），∴AB＝5．∵∠CAB＝90°，BC＝13，∴AC＝＝12．∴A′C′＝12．∵点C′在直线y＝2x﹣4上，∴2x﹣4＝12，解得：x＝8．即OA′＝8．∴CC′＝AA′＝OA′﹣OA＝8﹣1＝7，∴＝7×12＝84，即线段BC扫过的面积为84．故选：A．【点拨】此题考查了一次函数的性质、平移的性质、勾股定理以及平行四边形的性质．能根据性质得出的底和高是解决此题的关键.2．C【分析】过点B作BD⊥直线x＝4，交直线x＝4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E．则OB＝．由于四边形OABC是平行四边形，所以OA＝BC，又由平行四边形的性质可推得∠OAF＝∠BCD，则可证明△OAF≌△BCD，所以OE的长固定不变，当BE最小时，OB取得最小值，从而可求．解：过点B作BD⊥直线x＝4，交直线x＝4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E，直线x＝1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线x＝4与AB交于点N，如图：∵四边形OABC是平行四边形，∴∠OAB＝∠BCO，OCAB，OA＝BC，∵直线x＝1与直线x＝4均垂直于x轴，∴AMCN，∴四边形ANCM是平行四边形，∴∠MAN＝∠NCM，∴∠OAF＝∠BCD，∵∠OFA＝∠BDC＝90°，∴∠FOA＝∠DBC，在△OAF和△BCD中，，∴△OAF≌△BCD．∴BD＝OF＝1，∴OE＝4+1＝5，∴OB＝．由于OE的长不变，所以当BE最小时（即B点在x轴上），OB取得最小值，最小值为OB＝OE＝5．故选：C．【点拨】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．3．A【分析】过平行四边形的对称中心的直线把平行四边形分成面积相等的两部分，先求出平行四边形对称中心的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式解答即可．解：∵点B的坐标为（8，4），∴平行四边形的对称中心坐标为（4，2），设直线DE的函数解析式为y=kx+b，则，解得，∴直线DE的解析式为y=x-2．故选：A．【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的性质，熟练掌握过平行四边形的中心的直线把平行四边形分成面积相等的两部分是解题的关键．4．B【分析】首先证明四边形ABCD是平行四边形，再根据垂线段最短解决问题即可．解：∵A（1，5），B（4，1），C（m，-m），D（m-3，-m+4），∴，，∴AB=CD，∵点B向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到A，点C向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到D，∴AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴BC=CD，故四边形ABCD的周长为2(AB+BC)，而AB=5,故只要BC最短，则周长最短，∵C点的横坐标与纵坐标互为相反数，∴点C在直线y=-x上运动，∴由点到直线的距离垂线段最短可知，BC⊥直线y=-x时，BC的值最小，如下图所示：易求得直线BC的解析式为：y=x-3C点所在的直线为：y=-x，联立两个一次函数解析式：，解得，故，故选：B．【点拨】本题考查轴对称最短问题，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．5．B解：如图作点O关于直线AB的对称点O’，作且，连接O’C交AB于点D，连接ON，MO，∴四边形MNOC为平行四边形，∴，，∴，在中，，即，当点M到点D的位置时，即当O’、M、C三点共线，取得最小值，∵，，设，则，，解得：，即：，，，解得：，∴，∵，∴，∵，∴，∴，在中，，即：，∴，故选：B．【点拨】题目主要考查轴对称及平行线、平行四边形的性质，勾股定理解三角形，角的直角三角形性质，理解题意，作出相应图形是解题关键．6．A【分析】设D（﹣1，0），作D点关于直线的对称点E，连接OE，交直线于A，连接AD，，作ES⊥x轴于S，根据题意OE就是OB＋CB的最小值，由直线的解析式求得F的坐标，进而求得ED的长，从而求得OS和ES，然后根据勾股定理即可求得OE．解：设D（﹣1，0），作D点关于直线的对称点E，连接OE，交直线于A，连接AD，，交于点，作ES⊥x轴于S，∵AB∥DC，且AB＝OD＝OC＝1，∴四边形ABOD和四边形ABCO是平行四边形，∴AD＝OB，OA＝BC，∴AD＋OA＝OB＋BC，∵AE＝AD，∴AE＋OA＝OB＋BC，即OE＝OB＋BC，∴OB＋CB的最小值为OE，由，当时，，解得：，，，当时，，，，，取的中点，过作轴的垂线交于，，当时，，，，，为的中点，，为等边三角形，，，，，∴FD＝3，∠FDG＝60°，∴DG＝DF＝，∴DE＝2DG＝3，∴ES＝DE＝，DS＝DE＝，∴OS＝，∴OE＝＝，∴OB＋CB的最小值为，故选：A．【点拨】本题考查了一次函数的性质，轴对称﹣最短路线问题以及平行四边形的性质、勾股定理的应用，解题的关键是证得OE是OB+CB的最小值．7．C【分析】过A点作AE⊥x轴于点E，过P点作PF⊥x轴于点F，结合平行四边形的性质及直角三角形的性质可求解EF=BF=BE，OE，AE的长，进而可求得EF的长及OF的长，利用根据PF=AE可求解PF的长，即可求解P点坐标，根据旋转方式可得当旋转4次时，P点位置与原位置关于原点成中心对称，当旋转8次时，P点位置与原位置重合，由2022÷8=252…6，可得当旋转2022次时，P点位置，进而利用全等三角形的性质可求解．解：过A点作AE⊥x轴于点E，过P点作PF⊥x轴于点F，∴，在平行四边形ABCD中，AP=BP，∠AOB=60°，BO=2AO=4，∴EF=BF=BE，AO=2，∴OE=AO=1，，∴，BE=OB-OE=4-1=3，∴EF=，∴OF=OE+EF=，∴P点坐标为，∵将平行四边形AOBC绕点O逆时针旋转，每次旋转45°，∴当旋转4次时，P点位置与原位置关于原点成中心对称，当旋转8次时，P点位置与原位置重合，∵2022÷8=252…6，∴当旋转2022次时，P点位置为的位置，如图示：且过作轴于即旋转2022次后故选：C．【点拨】本题主要考查旋转的性质，平行四边形的性质，找规律，点的坐标的确定，求解旋转后的P点坐标规律是解题的关键．8．A【分析】作于，解直角三角形求得Ａ、Ｃ的坐标，即可求得中点的坐标，根据题意当直线恰好平分平行四边形的面积时，则必经过的中点，把中点的纵坐标答题直线求得横坐标，即可求得平移的距离．解：作于，，，，，，，，，，的中点为，平行四边形沿轴向右平移，当直线恰好平分平行四边形的面积时，则必经过的中点，把代入得，，解得，，平移距离为．故选：．【点拨】本题主要考查了一次函数图像与平移变换、平行四边形的性质、一次函数图像上点的坐标特征等知识点，明确直线经过平行四边形对角线的交点平分平行四边形的面积是解题的关键．9．(-1，0)或(1，0)或(3，0)【分析】设P点坐标为（a，0），另一个顶点为Q，坐标为（0，b），分三种情况讨论，根据平行四边形对角线互相平分，则两条对角线的中点相同，利用中点坐标公式建立方程求出a即可得到P点坐标.解：设P点坐标为（a，0），另一个顶点为Q，坐标为（0，b）,分三种情况讨论：①如图1，当AP、DQ为对角线时，∵A(2，0)，D(1，-)，由平行四边形对角线互相平分的性质和中点坐标公式可得，，解得，∴P点坐标为(-1，0)②如图2，当AQ、PD为对角线时，同理可得，解得∴P点坐标为(1，0)③如图3，当AD、PQ为对角线时，同理可得，解得∴P点坐标为(3，0)综上可得P点坐标为(-1，0)或(1，0)或(3，0)【点拨】本题考查了坐标系中构成平行四边形的问题，熟练掌握平行四边形的性质，分类讨论，利用中点坐标公式建立方程是解题的关键.10．

n＝4m﹣8

1.5＜m＜2.5【分析】由，可知点在平行于的直线上，设这条直线交轴于，设，交轴于，求出作图直线的解析式即可解决问题．解：如图，过点作的平行线，交轴于，设，交轴于，，点在平行于的直线上．设直线的解析式为．，，，解得，直线的解析式为，当时，，解得，，，，，解得，，点在直线上，，．故答案为，．【点拨】本题考查了坐标与图形变化平移、平行四边形的性质、三角形的面积、待定系数法求一次函数的解析式等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建一次函数解决交点坐标问题．11．【分析】设D（-1，0），作D点关于直线的对称点E，连接OE，交直线于A，连接AD，ED，作ES⊥x轴于S，根据题意OE就是OB+CB的最小值，由直线的解析式求得F的坐标，进而求得ED的长，从而求得OS和ES，然后根据勾股定理即可求得OE.解：设D（-1，0），作D点关于直线的对称点E，连接OE，交直线于A，连接AD，ED，作ES⊥x轴于S，∵AB∥DC，且AB=OD=OC=1，∴四边形ABOD和四边形ABCO是平行四边形，∴AD=OB，OA=BC，∴AD+OA=OB+BC，∵AE=AD，∴AE+OA=OB+BC，即OE=OB+BC，∴OB+CB的最小值为OE，由可知∠AFO=30°，F（-4，0），∴FD=3，∠FDG=60°，∴DG=DF=，∴DE=2DG=3，∴ES=DE=，DS=DE=，∴OS=，∴OE=，∴OB+CB的最小值为.【点拨】本题考查了一次函数的性质，轴对称-最短路线问题以及平行四边形的性质、勾股定理的应用，证得OE是OB+CB的最小值是本题的关键．12．（2，0），（-2，0）（4，0）【分析】先把直线AB解析式和线段AB的长度计算出来，因此得到AB所在直线与x轴所成的度数，再根据平行四边形的定义寻找合适的点即可得到答案．解：∵A、两点的坐标分别为、，∴，设直线AB解析式为：，则：解得，∴，∴直线与x轴的所形成的角是45°，如果以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，且、分别是x轴、y轴上的点，当AB为平行四边形的一边时，则MN∥AB，，∴MN与x轴形成的角度是45°，∵∠MON=90°，∴∠OMN=45°，∴△MON是等腰直角三角形，∴，所以或；当AB为平行四边形的对角线时，如图连接MN，MN与AB相交于点C，则C是AB、MN的中点，它的坐标为，∴，故答案为：（2，0），（-2，0）（4，0）．【点拨】本题主要考查了用待定系数法求一次函数的解析式、两点间的距离公式、平行四边形的性质，学会分类讨论和数形结合的思想是解题的关键，在解题的过程中，应注意避免遗漏情况．13．

或【分析】①根据，点的坐标为，，四边形平行四边形，得到，，设，则由得，，则利用，，即可得，即可得出结果；②分两种情况讨论（1）当点在线段之间时，（2）当点在射线上时，分别进行求解即可．解：①∵，点的坐标为，，∴，，又∵四边形平行四边形，∴，∴设，则由，∴，∴在中，，则有：①，②，即可得：，∴，∴；②把沿着进行折叠，折叠后得图形是（1）如图示，当点在线段之间时，交于点，∵折叠后与的重叠部分的面积是平行四边形的，即，∴即把分成了面积相等得两部分，∴是的中线，∴又∵四边形平行四边形，，∴，∵折叠得到，∴，∴∴是等腰三角形，∴∵，，∴，∴是等边三角形，即有，∴，∴；（2）如图示，当点在射线上时，交于点，∵折叠后与的重叠部分的面积是平行四边形的，即，∴即把分成了面积相等得两部分，∴是的中线，∴，又∵四边形平行四边形，，∴，∵折叠得到，∴，，∴∴是等腰三角形，∴∴∴是等边三角形，∴即有，∴∴．【点拨】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，中线的性质，等腰三角形，等边三角形的判定等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．14．【分析】如图（见分析），先利用平行四边形的判定与性质可得，再利用轴对称的性质可得，然后根据两点之间线段最短可得的最小值为OC，最后利用一次函数的性质、两点之间的距离公式求出OC的长，由此即可得．解：如图，过点A作PQ的平行线，过点P作AQ的平行线，两平行线交于点B，作点B关于直线的对称点C，连接PC、OC、BC，其中BC交直线于点D，，四边形ABPQ是平行四边形，，由轴对称的性质得：，，，，四边形的周长为，则要使四边形的周长最小，只需最小，由两点之间线段最短得：当点共线时，取最小值，最小值为，，设直线AB的函数解析式为，将点代入得：，解得，则直线AB的函数解析式为，设点B的坐标为，则，解得或（不符题意，舍去），，，设直线BC的函数解析式为，将点代入得：，解得，则直线BC的函数解析式为，联立，解得，，设点C的坐标为，点B、C关于直线对称，点D为BC的中点，，解得，，的最小值，则四边形的周长最小值为，故答案为：．．【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质、一次函数的几何应用、轴对称的性质等知识点，利用平行四边形的性质和轴对称性的性质找出的最小值是解题关键．15．（，）【分析】根据一次函数的解析式求出∠ODE=30°，得到OD=OC1=1，同理得到A1C2=A1D，A2C3=A2D，从而得到相应线段的长，过B3作x轴的垂线，垂足为F，求出A3F和B3F的长，可得点B3的坐标．解：如图，在中，令x=0，则y=，令y=0，则x=-1，则OD=1，OE=，∴DE==，即DE=2OE，∴∠ODE=30°，∵∠C1OA1=60°，∴∠OC1D=30°，∴OD=OC1=1，同理：A1C2=A1D，A2C3=A2D，∵OC1=1，OA1=2OC1=2，∴A1C2=A1D=3，∴A2C3=A2D=9，∴A2A3=18，∵四边形A2A3B3C3是平行四边形，∴A3B3=A2C3=9，过B3作x轴的垂线，垂足为F，∵∠B3A3F=60°，∴A3F=A3B3=，∴B3F==，∴OF=OA3+A3F=2+6+18+=，∴B3的坐标为（，），故答案为：（，）．【点拨】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，根据已知点的变化规律求出相应边和角，找出规律是解题的关键．16．3【分析】设为，由知，，根据平行四边形的性质求出的坐标，用勾股定理求出，再用的取值求出的最小值．解：，，设为，由知，，是平行四边形，，故,时，最小，．故答案为：3．【点拨】本题考查了平行四边形的性质，关键是利用平行四边形的性质求出,坐标．17．

（﹣4，16）

（﹣×4n﹣1，4n）【分析】先根据含30°的直角三角形的性质求得OB＝2OA＝2，进而根据勾股定理可求得点B的坐标，再用待定系数法求出直线l的解析式为y＝x，解Rt△A1AB，得出AA1＝3，OA1＝4，由平行四边形的性质得出A1C1＝AB＝，则C1点的坐标为（﹣，4），即（﹣×40，41）；根据直线l经过点B1，求出B1点坐标为（4，4），解Rt△A2A1B1，得出A1A2＝12，OA2＝16，由平行四边形的性质得出A2C2＝A1B1＝4，则C2点的坐标为（﹣4，16），即（﹣×41，42）；同理，可得C3点的坐标为（﹣16，64），即（﹣×42，43）；进而得出规律，求得Cn的坐标是（﹣×4n﹣1，4n）．解：∵直线l经过原点，且与y轴正半轴所夹的锐角为60°，AB⊥y轴，∴∠ABO＝90°﹣60°＝30°，∴OB＝2OA，∵点A（0，1），∴OA＝1，∴OB＝2，∴在Rt△AOB中，，∴B点坐标为（，1），AB＝．设直线l为y＝kx，将（，1）代入，得：x＝1，解得：x＝，∴直线l的解析式为y＝x．在Rt△A1AB中，∠AA1B＝90°﹣60°＝30°，∠A1AB＝90°，∴A1B＝2AB＝2，∴，∴OA1＝OA+AA1＝1+3＝4，∵▱ABA1C1中，A1C1＝AB＝，∴C1点的坐标为（﹣，4），即（﹣×40，41）；由x＝4，解得x＝4，∴B1点坐标为（4，4），A1B1＝4．在Rt△A2A1B1中，∠A1A2B1＝30°，∠A2A1B1＝90°，∴A2B1＝2A1B1＝8，∴，∴OA2＝OA1+A1A2＝4+12＝16，∵▱A1B1A2C2中，A2C2＝A1B1＝4，∴C2点的坐标为（﹣4，16），即（﹣×41，42）；同理，可得C3点的坐标为（﹣16，64），即（﹣×42，43）；以此类推，则Cn的坐标是（﹣×4n﹣1，4n）．故答案为：（﹣4，16）；（﹣×4n﹣1，4n）．【点拨】本题考查了平行四边形的性质，含30°的直角三角形的性质，勾股定理以及一次函数的综合应用，先分别求出C1、C2、C3点的坐标，从而发现规律是解题的关键．18．或．【分析】先根据题意求得，，，分点在第二象限和第一象限两种情况讨论，根据点关于直线的对称点恰好落在轴上，根据含30度角的直角三角形的性质，在第一象限时候，证明是等边三角形，在第二象限时候证明是等边三角形，利用等边三角形的性质，分别求得点的坐标．解：与轴，轴分别交于点，，令，，，令，，，，，，，，，①如图，当点在第二象限时，设交轴于点，交于点，交轴于点，四边形是平行四边形，，，，，，，，，，，，，点关于直线的对称点为点，，，，是等边三角形，，，，点为的中点，，，，②如图，当点在第二象限时，延长交轴于点，则，点关于直线的对称点为点，，，是等边三角形，，，，，，，，，．综合①②可知C的坐标为或．故答案为:或．【点拨】本题考查了一次函数图像的性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，此题方法比较多，利用等边三角形的性质是解题的关键．19．，或，【分析】先求出直线的解析式为，则可求，设，则，可求，，分两种情况讨论：当在轴负半轴时，由折叠可知，在△中，由勾股定理可求，在△中，，，可求，所以，解得，则，；当在轴正半轴时，同理可得，，解得，求得，．解：设的直线解析式为，将，代入可得，，解得，，，点是边上，轴，设，轴，，，，当在轴负半轴时，如图，由折叠可知，，，在△中，，在△中，，，，，解得，，；当在轴正半轴时，如图，同理可得，，解得，，；综上所述：点坐标为，或，，故答案为，或，．【点拨】本题考查折叠的性质，熟练掌握平行四边形的性质、平面上点的坐标特点、并灵活应用勾股定理是解题的关键．20．或或【分析】利用A、B、C的坐标可得到OA=4，BC=3，BC//x轴，根据平行四边形的判定，当PC=QA时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形，讨论：若时，3-2t=t；若，2t-3=t；若时，2t-3=4-3(t-4)；若，然后分别解方程即可确定满足条件的t的值．解：∵A（4,0），B（-3,2），C（0,2），∴OA=4，BC=3，BC//x轴，∵PC//AQ∴当PC=AQ时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形，若时，BP=2t，PC=3-2t，AQ=t，此时3-2t=t，解得t=1;若时，BP=2t,PC=2t-3，AQ=t，此时2t-3=t，解得t=3；若时，BP=2t,PC=2t-3，OQ=3(t-4)，AQ=4-3(t-4)，此时2t-3=4-3(t-4)，解得t=(舍去)；若t，BP＝2t，PC=2t-3，OQ=3(t-4)，AQ=3(t-4)-4，此时2t-3=3(t-4)-4，解得t=13;综上所述，当t为1或3或13时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形．故答案为1或3或13【点拨】本题考查了平行四边形的判定：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．利用分类讨论的思想和方程的思想是解决问题的关键．21．(-3，2)#(-5，2)【分析】本题分两种情况讨论，过点C作CE⊥x轴于点E，在直角△BCE中，∠CBE＝45°，根据三角函数得到BE＝2，AE＝5，求得CD的长即可．解：过点C作CE⊥x轴于点E，∵A，C两点坐标分别为和，∴，，分两种情况进行讨论：①如图1，当∠DAB＝45°时：∴∠CBE＝45°，∵CE＝2，∴BE＝CEtan45°＝2，∴，∴点D的坐标为(2-5，2)，即(-3，2)；②如图2，当∠CBA＝45°时：∵CE＝2，∴BE＝CEtan45°＝2，∴，∴点D的坐标为(2-7，2)，即(-5，2)；∴由①②可知点D的坐标为：(-3，2)或(-5，2)．故答案为：(-3，2)或(-5，2)【点拨】本题结合平面直角坐标系考查了平行四边形的性质，分两种情况进行讨论是正确解决本题的关键．22．（-2，8）【分析】过点B作BE⊥y轴于E点，交AD的延长线于点F，先通过AAS证出△BOE≌△CAD，根据全等三角形的性质得到OE=AD，BE=CD，根据三角形的面积即可得到结论．解：过点B作BE⊥y轴于E点，交AD的延长线于点F，∵四边形ABOC是平行四边形，∴AC=OB，AC∥OB，∴∠OGC=∠BOE，∵AD∥y轴，∴∠DAC=∠OGC，∴∠BOE=∠DAC，在△BOE和△CAD中，，∴△BOE≌△CAD（AAS），∴OE=AD=2，BE=CD=8，∵S△ABD=6，∴AD•BF=6，∴×2×BF=6，∴BF=6，∴EF=BE-BF=2，∵∠ADB=135°，∴∠BDF=45°，∴BF=DF=6，∵DF+OE=6+2=8∴D（-2，8），故答案为：（-2，8）．【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形的性质等知识，证得△BOE≌△CAD是解题的关键．23．【分析】证明，则当最小时，即最小，作点B关于AD所在直线的对称点G，连接CG，此时CG是的最小值，与AD所在直线的交点即为点D，求出CG直线方程为：，当时，，即可求出．解：∵Rt△AOB和Rt△COB是等腰三角形，且，∠OAB＝∠OCB＝90°，∴是正方形，，根据平移的性质可知：，，∴，，∴四边形ECBD是平行四边形，∴，若最小，即最小，作点B关于AD所在直线的对称点G，连接CG，此时CG是的最小值，与AD所在直线的交点即为点D，∵,∴，，，设CG直线方程为：将，代入方程得：，解得：，∴当时，∴．故答案为：【点拨】本题考查平移，正方形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，一次函数的解析式，解题的关键是理解若最小，即最小找出此时CG与AD所在直线的交点即为点D．24．【分析】将平行四边形OABC的面积分成相等的两部分，所以直线必过平行四边形的中心Q，由B的坐标即可求出其中心坐标Q，设过直线QD的解析式为，把D和Q的坐标代入即可求出直线解析式即可．解：∵平行四边形OABC的顶点坐标分别为，、，∴，∵将平行四边形OABC的面积分成相等的两部分的直线一定过平行四边形OABC的对称中心Q，（对角线的交点）且OQ=BQ∴平行四边形OABC的对称中心，设直线l的解析式为，把，代入，得，解得∴该直线的函数表达式为．故答案为：．【点拨】此题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质以及利用待定系数法求一次函数的解析式，解题的关键是求出其中心对称点的坐标．25．8【分析】先连接AC、BD交于点E，当y=x经过E点时，该直线可将□ABCD的面积平分，然后计算出过E且平行于直线y=-x的直线解析式，从而可得直线y=-x要向右平移10个单位，进而可得答案．解：连接AC、BD，交于点E，当y=x经过E点时，该直线可将▱ABCD的面积平分，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE=CE，∵A（3，2），C（7，4），∴E（5，3），∵PE平行于直线y=-x，∴k=-1，设PE的解析式为y=-x+b，∵把E（5，3）代入，得3=-5+b，∴b=8,∴PE的解析式为y=-x+8，直线y=-x要向右平移8个单位，∴时间为8÷1=8（秒），故答案为：8．【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质以及一次函数图像平移，正确掌握经过平行四边形对角线交点的直线平分平行四边形的面积是解答本题的关键．26．【分析】根据题意作出图形，根据与重叠部分的面积为面积的，得出为的中点，可得四边形为平行四边形，根据折叠的性质可得，即可求解．解：，，如图，作关于的对称点，连接，，取的中点，C为线段的中点，，为与重叠部分，，与重叠部分的面积为面积的，过点，对称，，与重叠部分的面积为面积的，，，，四边形为平行四边形，，对称，，．故答案为：．【点拨】本题考查了折叠的性质，勾股定理，平行四边形的性质与判定，三角形中线的性质，证明四边形为平行四边形是解题的关键．27．(1) (2)或 (3)存在，，或【分析】（1）通过函数求出A、M两点坐标，由两点坐标求出直线AM的函数解析式；（2）设点的坐标为，按照等量关系“”即可求出；（3）设点N的坐标为，结合平行四边形的性质和中点坐标公式，分三种情况进行讨论即可．解：（1）当时，，∴点的坐标为，即，当时，，解得：，∴点A的坐标为，即，∵点为线段的中点，∴，即点的坐标为．设直线的函数解析式为，将，，代入，得：，解得，∴直线的函数解析式为；（2）设点的坐标为，∵，，∴，∵，∴，即，解得：，，即：，，∴点的坐标为或；（3）存在，理由如下：设点的坐标为，∵点的坐标为，点的坐标为，点A的坐标为，分三种情况考虑：①当AM为对角线时，，解得：，∴点的坐标为；②当AB为对角线时，，解得：，∴点的坐标为；③当BM为对角线时，，解得：，∴点的坐标为．综上所述：在坐标平面内存在点，使以A，，，为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为，或．【点拨】此题考查一次函数综合题，解题关键在于求出A、M两点坐标，再利用待定系数法求解析式．28．(1) (2)见分析， (3)或或【分析】（1）先求得点C的坐标，再利用待定系数法解答，即可；（2）作点D关于x轴的对称点，关于的对称点，连接，分别交x轴于E，交于F，求出点的坐标和点，进而求得的最小值为的长；（3）求出点M和点N旋转后的对应点的坐标，从而求出的解析式，进而求得点P的坐标，然后分三种情况，结合根据平行四边形的性质，求得点Q的坐标．解：（1）解：把点代入，得：，∴，∴，设直线的解析式为∶，把，代入得：∴，解得：，∴直线的解析式为；（2）解：如图，设点D的坐标为，∵轴，∴点，∵，∴，解得：，∴，，作点D关于x轴的对称点，关于的对称点，连接，交x轴于E，交于F，则，，的周长最小，最小值为∶，∵直线由直线沿y轴向上平移1个单位得到的，且直线为第一三象限的角平分线，∴直线与坐标的夹角都为，∴，∴，∵轴，∴点的横坐标为，∴点的坐标为，∴，∴的周长最小值为∶；（3）如图，∵点，∴点M和点N旋转后的对应点，∴直线的解析式为∶，当时，，∴，当时，∵，∴，当时，∵，∴，当时，∵，，∴，综上所述∶点或或．【点拨】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，平行四边形的分类，勾股定理等知识，解决问题的关键是作对称，确定点E，F的位置．29．(1)；(2)；(3)．【分析】（1）根据非负数的性质求得的坐标，进而根据三角形的面积公式即可求解；（2）过点E作轴于G，证明，得出，设，则，得出点的坐标为，求得的解析式为，令，即可求得点的坐标；（3）由得出点的坐标，进而根据题意，分类讨论，利用平行四边形对角线的中点坐标相等，即可求解．解：（1）由题意可得：解得，∴，∴（2）如图所示，过点E作轴于G．∵为等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴中，，∴，在和中，，∴，∴，设，∴，∴，∴点的坐标为，∵，∴设，代入点和点的坐标得：，解得，∴的解析式为，∴当时，，∴与轴的交点坐标为．（3）存在，点Р的坐标为：∵，点的坐标为，∴又，，为顶点的四边形是平行四边形设，当为平行四边形的对角线时，解得：，则，当为对角线时，，解得：，则，当为对