2024学年上海市延安中学高二数学第一学期期中考试卷附答案解析

学年上海市延安中学高二数学第一学期期中考试卷（考试时间：90分钟满分100分）一、填空题（第1-12题每题3分，共36分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分.）1.若点直线，且直线平面，则________.（填合适符号）2.已知角的两边和角的两边分别平行且，则_________.3.棱锥的高为9，底面积为162，平行于底面的截面面积为32，则截得的棱台的高为_________.4.如果三棱锥的侧棱与底面所成角都相等，顶点在底面的射影在内，那么是的_____心.5.已知圆柱的侧面展开图是一个边长为4的正方形，则该圆柱的表面积是______________.6.如图，在长方体中，，，则棱与平面的距离为__________.7.在长方体中，，则直线与直线所成角的余弦值为______________.8.在各项均为正数的等比数列中，前项和为，满足，那么的取值范围是___.9.平面上画条直线，假设其中任意2条直线都相交，且任意3条直线都不共点，设条直线将平面分成了个区域，那么条直线可把平面分成______个区域．10.已知用斜二测画法画出的直观图是边长为1的正三角形（如图），则中边长与的边长相等的边上的高为_______________11.已知在直三棱柱中，底面为直角三角形，，，，P是上一动点，则的最小值为______．12.已知两个等比数列，满足，，，．若数列唯一，则______.二、选择题（本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，选对得3分，否则一律得零分）13.以下命题中真命题的是（）.A.所有侧面都是矩形的棱柱是长方体 B.有两个相邻的侧面是矩形的棱柱是直棱柱C.侧棱垂直底面两条棱的棱柱是直棱柱 D.各侧面都是全等的矩形的直棱柱是正棱柱14.、是空间两条直线，是平面，以下结论正确的是（）．A.如果，，则一定有．B.如果，，则一定有．C.如果，，则一定有．D.如果，，则一定有．15.如图，正方体中，分别为棱的中点，连接，对空间任意两点，若线段与线段都不相交，则称两点可视，下列选项中与点可视的为（）A.点 B.点 C.点 D.点16.意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：…，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被除后的余数构成一个新数列bn，则数列bn的前项的和为（）A. B. C. D.三、解答题（共52分）特别注意：本卷解答题用空间坐标表示解题，一律不给分!17.已知等差数列的首项为，公差为，前项和为.若，用数学归纳法证明：.18.已知A是圆锥的顶点，BD是圆锥底面的直径，C是底面圆周上一点，BD＝2，BC＝1，AC与底面所成的角为，过点A作截面ABC、ACD，截去部分后的几何体如图．（1）求原来圆锥的侧面积；（2）求该几何体的体积．19.如图，正四面体中，棱长为，的中点为.求：（1）二面角的大小；（2）点到平面的距离.20.如图，在四棱柱中，四边形为直角梯形，，.过点作平面，垂足为是的中点.（1）在四边形内，过点作，垂足.（i）求证：平面平面；（ii）判断是否共面，并证明.（2）在棱上否存在一点，使得平面？若存在，给出证明：若不存在，请说明理由.21.已知数列满足，对任意正整数、都有.（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，求数列前项和；（3）在（2）中的，设，求数列中最小项的值.上2024学年上海市延安中学高二数学第一学期期中考试卷（考试时间：90分钟满分100分）一、填空题（第1-12题每题3分，共36分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分.）1.若点直线，且直线平面，则________.（填合适的符号）【答案】【解析】【分析】由点线面的位置关系判断即可.【详解】点直线，且直线平面，则，故答案为：2.已知角的两边和角的两边分别平行且，则_________.【答案】或【解析】【分析】由等角定理求解即可.【详解】角的两边和角的两边分别平行且，由等角定理可知，或，则或，故答案为：或3.棱锥高为9，底面积为162，平行于底面的截面面积为32，则截得的棱台的高为_________.【答案】5【解析】【分析】设出截得的棱台的高，利用棱锥平行于底面的截面比例关系列式求解.【详解】设截得的棱台的高为，由棱锥被平行于底面的平面所截，截面面积与底面积的比等于截得锥体的高与原锥体高的平方比，得，解得，所以截得的棱台的高为5.故答案为：54.如果三棱锥的侧棱与底面所成角都相等，顶点在底面的射影在内，那么是的_____心.【答案】外【解析】【分析】设侧棱与底面所成角为，则，故，从而判断即可.【详解】三棱锥的侧棱与底面所成角都相等，设夹角为，顶点在底面的射影在内，所以，所以，故是的外心.故答案为：外5.已知圆柱的侧面展开图是一个边长为4的正方形，则该圆柱的表面积是______________.【答案】【解析】【分析】根据给定条件，求出该圆柱的底面圆半径，再求出其表面积.【详解】依题意，圆柱的底面圆周长为4，则半径，所以该圆柱的表面积.故答案为：6.如图，在长方体中，，，则棱与平面的距离为__________.【答案】【解析】【分析】建立空间直角坐标系，由平面，所以棱与平面的距离即为到平面的距离，利用坐标法求解点到平面的距离即可.【详解】，平面，平面，所以平面，所以到平面的距离即为棱与平面的距离，如图：建立空间直角坐标系，，，设，所以，，，，，，，设平面的法向量为m=x,y,z则，故，则，令，，故，，所以到平面的距离为：，故答案为：7.在长方体中，，则直线与直线所成角的余弦值为______________.【答案】##【解析】【分析】根据异面直线所成角的定义可得或其补角即为所求的角，再由余弦定理计算可得结果.【详解】如图所示：不妨设，则由长方体性质可得，易知直线与直线所成的角即为直线与直线所成的角，即为或其补角；在中，可得，由余弦定理可知.故答案为：8.在各项均为正数的等比数列中，前项和为，满足，那么的取值范围是___.【答案】【解析】【分析】利用等比数列前项和的极限，得到关于的代数式，进而求得的取值范围.【详解】各项均为正数的等比数列an中，设其公比为q，首项为，则，，则，则，由，可得，，则，则的取值范围是.故答案为：9.在平面上画条直线，假设其中任意2条直线都相交，且任意3条直线都不共点，设条直线将平面分成了个区域，那么条直线可把平面分成______个区域．【答案】##【解析】【分析】根据题意，依次分析的值，由此类推，归纳可得答案.【详解】条直线把平面分成个区域，条直线把平面分成个区域，则有，同理，条直线把平面分成个区域，则有，条直线把平面分成个区域，则有，条直线把平面分成个区域，则有，依次类推，第条直线与前条直线都相交，则第条直线有个交点，被分为段，每段都会把对应的平面分为两部分，则增加了个平面，即．故答案为：.10.已知用斜二测画法画出的直观图是边长为1的正三角形（如图），则中边长与的边长相等的边上的高为_______________【答案】【解析】【分析】由斜二测画法的特点可知平行于轴的边长不变，在直观图中由正弦定理求出，然后求出原图中的长度即可求解.【详解】由于用斜二测画法画出的直观图是边长为1的正三角形，则中边长与的边长相等的边为，在中，，，所以，由正弦定理得：，所以，所以原图中边上的高为：，故答案为：.11.已知在直三棱柱中，底面为直角三角形，，，，P是上一动点，则的最小值为______．【答案】【解析】【分析】把面沿展开与在一个平面上如图，连接，则的长度即为的最小值，求解即可.【详解】由题意知，在几何体内部，但在面内，把面沿展开与在一个平面上如图，连接，则的长度即为的最小值，因在直三棱柱中，平面，而平面，则，因为，则，即，又平面，则平面，而平面，所以，即，因为，易知，所以所以，而，，所以在中，，所以，即的最小值为.故答案为：.12.已知两个等比数列，满足，，，．若数列唯一，则______.【答案】【解析】【分析】设等比数列的公比为，依题意可得，且，由于数列唯一，则公比q的值只能有一个，故方程必有一解为0，代入方程即可求解参数．【详解】设等比数列的公比为，∵，，，，∴，，．∵，，成等比数列，∴，整理得.∵，∴，∴关于公比q的方程有两个不同的根，且两根之和为4，两根之积为．又数列唯一，公比q的值只能有一个，故这两个q的值必须有一个不满足条件．∵公比q的值不可能等于0，∴方程必有一根为0，把代入此方程，解得．故答案为：二、选择题（本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，选对得3分，否则一律得零分）13.以下命题中真命题的是（）.A.所有侧面都是矩形的棱柱是长方体 B.有两个相邻的侧面是矩形的棱柱是直棱柱C.侧棱垂直底面两条棱的棱柱是直棱柱 D.各侧面都是全等的矩形的直棱柱是正棱柱【答案】B【解析】【分析】利用长方体、直棱柱、正四棱柱的定义，对各个选项逐一分析判断，即可求解.【详解】对于A，直棱柱的侧面都是矩形，但不一定是长方体，如直三棱柱，故A不正确，对于B，有两个相邻侧面是矩形，则利用线面垂直的判定定理证明出侧棱垂直于底面，则该四棱柱是直棱柱，故B正确，对于C，斜四棱柱可以满足侧棱垂直底面两条棱，但不是直棱柱，故C不正确；对于D，底面是菱形的直棱柱，满足底面四条边相等，各侧面都是全等的矩形，但不是正四棱柱，故D不正确.故选：B.14.、是空间两条直线，是平面，以下结论正确的是（）．A.如果，，则一定有．B.如果，，则一定有．C.如果，，则一定有．D.如果，，则一定有．【答案】D【解析】【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系逐一核对四个选项得答案．【详解】对于A，若，，则有或与相交或与异面，故错误；对于B、C，如果⊥，⊥，则有或⊂，故B、C错误；对于D，如果⊥，则垂直内的所有直线，又，则过与相交的平面交于，则，∴⊥，故D正确．故选：D．15.如图，正方体中，分别为棱的中点，连接，对空间任意两点，若线段与线段都不相交，则称两点可视，下列选项中与点可视的为（）A.点 B.点 C.点 D.点【答案】B【解析】【分析】根据异面直线的定义判断即可.【详解】A选项：四边形是平行四边形，与相交，故A错；C选项：四边形是平行四边形，与相交，故C错；D选项：四边形是平行四边形，与相交，故D错；利用排除法可得选项B正确.故选：B.16.意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：…，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被除后的余数构成一个新数列bn，则数列bn的前项的和为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依据斐波那契数列性质得出数列中数字规律即可求得新数列bn的规律，再利用数列的周期性即可得结果【详解】根据斐波那契数列性质可得an因此新数列bn即为按照成周期出现的数列，周期为，易知，一个周期内的三个数字之和为；所以数列bn的前项的和为.故选：C三、解答题（共52分）特别注意：本卷解答题用空间坐标表示解题，一律不给分!17.已知等差数列的首项为，公差为，前项和为.若，用数学归纳法证明：.【答案】证明见解析.【解析】【分析】根据给定条件，求出等差数列an的通项，前项和为，再利用数学归纳法证明.【详解】等差数列an中，，，当时，，，原等式成立；假设当时，原等式成立，即，，则，即当时，原等式成立，所以对一切，等式成立.18.已知A是圆锥的顶点，BD是圆锥底面的直径，C是底面圆周上一点，BD＝2，BC＝1，AC与底面所成的角为，过点A作截面ABC、ACD，截去部分后的几何体如图．（1）求原来圆锥的侧面积；（2）求该几何体的体积．【答案】（1）；（2）﹒【解析】【分析】(1)设的中点为，连结，，则平面，求出圆锥母线长度即能求出圆锥侧面积．(2)该几何体的体积，由此能求出结果．【小问1详解】如图，设BD的中点为，连接，是圆锥的顶点，BD是圆锥底面的直径，平面．，，与底面所成角的大小为，∴中，，，，，∴圆锥侧面积为：；【小问2详解】该几何体为三棱锥与半个圆锥的组合体，，，，该几何体的体积．19.如图，正四面体中，棱长为，的中点为.求：（1）二面角的大小；（2）点到平面距离.【答案】（1）（2）【分析】（1）取的中点，连接，易证得平面，，则即为二面角的平面角，再解即可；（2）由平面，可得线段的长度即为点到平面的距离，即可得解.【小问1详解】取的中点，连接，在正四面体中，的中点为，则，因为为的中点，所以，所以即为二面角的平面角，因为平面，所以平面，又平面，所以，中，，则，所以二面角的大小为；【小问2详解】由（1）知平面，所以线段的长度即为点到平面的距离，所以点到平面的距离为.20.如图，在四棱柱中，四边形为直角梯形，，.过点作平面，垂足为是的中点.（1）在四边形内，过点作，垂足为.（i）求证：平面平面；（ii）判断是否共面，并证明.（2）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，给出证明：若不存在，请说明理由.【答案】（1）（i）证明见解析；（ii）不共面，证明见解析（2）存在，证明见解析【解析】【分析】（1）（i）由线