数学-江苏省2025届南京一中、金陵中学、南通海安中学高三上期中考联考试题和答案

试卷第1页，共4页2025届高三期中学业质量监测试卷A．30°B．45°C．60°D．135°4．函数f(x)=x(x-3)2的极大值为()5．在三棱锥P-ABC中，PA=PB=AB=AC=BC=2，PC与平面ABC所成角的大小为60。，6．曲线y=2sinx与y=sin的交点中，与y轴最近的点的横坐标为()7．在口ABCD中x∈R.若AP∥MN，则x=试卷第2页，共4页8．在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=3AB，P是线段CC1上靠近C的三等分点，过点C与直线PA垂直的平面将正四棱柱分成两部分，则较大部分与较小部分的体积比为()229．在空间中，设a,b,c是三条直线，α,β,Y是三个平面，则下列能推出a//b的是()10．已知函数f(x)=cosxcos2x，则()A．f(x)的最大值为1B．()是曲线y=f(x)的对称中心C．f(x)在(|(0,),I上单调递减D．f(x)的最小正周期为2π11．设f(x)为R上的增函数，满足：f(1+x)+f(1-x)=2，f(2+x)+f(2-x)=4，则()A．f(3)=3B．f(x)为奇函数0∈R，f(x0)=x0+1D．丫x∈R，f(ex+1)-f(x)≥213．在平面直角坐标系xOy中，曲线y=lnx上的两点A，B满足OA丄OB，线段AB的中点M在x轴上，则点M的横坐标为.的最小值为.试卷第3页，共4页15．已知a，b，c分别为VABC的内角A，B，C的对边，且(1)求A；(2)若VABC的面积为·,周长为6，试判断VABC的形状.16．设抛物线C:x2=4y的焦点为F，准线为l，点P在C上，记P在l上的射影为H.(1)△PFH能否为正三角形?若能，求点P的坐标；若不能，请说明理由；(2)设C在点P处的切线与l相交于点Q，证明：上PFQ=90。.17．如图，在三棱锥P-ABC中，PA丄平面ABC，D是AC的中点，平面PBD丄平面PAC，且AB=AC=AP=2.(1)求点A到平面PBD的距离；(2)求平面PAC与平面PBC的夹角的正弦值.18．已知函数f(x)=x2+acosx，其中a∈R.(1)若曲线y=f(x)在点处的切线过原点，求a；(2)当a=1时，证明：f(x)≥x+1-sinx；(3)若f(x)在[0,π]上单调递增，求a的取值范围.19．如果数列a1，a2，a3，ⅆ,am（m≥4）是首项为1，各项均为整数的递增数列，且任意连续三项的和都能被3整除，那么称数列a1，a2，a3，ⅆ,am是Pm数列.(1)写出所有满足a4=7的P4数列；(2)证明：存在P4数列是等比数列，且有无穷个；(3)对任意给定的a5(a5≥t)，都存在a2，a3，a4试卷第4页，共4页求整数t的最小值.答案第1页，共15页【分析】根据复数的除法运算结合复数的概念运算求解即可.因为若即i∈R，可得解得.故选：B.【分析】利用交集、补集的概念计算即可.【详解】由题意可知B={1,2,3,4,7}，所以A∩B={1,2,3}，则ðA(A∩B)={0,6}.故选：A【分析】根据正切函数单调性可知A,B∈即结合两角和差公式求tanC即可得结果.【详解】因为tanA=2>，tanB=3>i5，可知A,B∈,且tanC=-tan所以.故选：B.【分析】求函数f(x)的导数，求解f'(x)<0以及f'(x)>0，得到函数f(x)的单调区间，判断极大值点代入，从而求出极大值.【详解】解：f'(x)=(x-3)2+2x(x-3)=3(x-1)(x-3)，所以f(x)在(-∞,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3,+∞)上单调递增，所以f(x)在x=1处取得极大值f(1)=4.故选：D答案第2页，共15页【分析】取AB的中点D，可证平面ABC丄平面PCD，结合面面垂直的性质可知点P在平面ABC内的投影落在线段CD内，即上PCD=60。，即可得结果.【详解】取AB的中点D，连接PD,CD，因为PA=PB=AB=AC=BC=2则PD丄ABCD丄ABPD=CD=且PD∩CD=D，PD,CDC平面PCD，可得AB丄平面PCD，又因为AB平面ABC，所以平面ABC丄平面PCD，且平面ABC∩平面PCD=CD，由面面垂直的性质可知：点P在平面ABC内的投影落在直线CD上，且PD=CD=可知点P在平面ABC内的投影落在线段CD内,又因为PC与平面ABC所成角的大小为60。，则上PCD=60。，可知△PCD为等边三角形，所以PC=.故选：C.【分析】先构造关于x的三角方程，利用辅助角公式求得x的值，进而求得与y轴最近的点的横坐标.【详解】由sin=2sinx，可得sinx-cosx=2sinx，故x取最小值时，故选：B答案第3页，共15页 又AP∥MN，所以解得：.故选：C【分析】分别取BB1，DD1，AA1的对应三等分点N，M，Q，利用空间向量证明C,N,Q,M共面，再通过向量数量积证明AP丄平面CNQM，最后采用割补法求解出较小部分的体积，从而体积比可求.【详解】分别取BB1靠近B的三等分点N，取DD1靠近D的三等分点M，取AA1靠近A1的三等分点Q，连接PD,PB,PM,PN,CM,BP,QM,QN，建立如下图所示空间直角坐标系，不妨设AB=1，答案第4页，共15页所以不-(1,0,1),砸=(1,0,1)，所以，且C,N,M,Q不共线，所以C,N,Q,M共面，又因为A(1,0,0),P(0,1,1)，所以那=(-1.1,1)，)+1=0，所以AP丄CM，且CM∩CN=C，所以AP丄平面CNQM，较小部分的几何体如下图所示，其体积为V1=VN-ABCD+VN-CDM+VN-ADMQ，由正四棱柱结构特点易知BM//平面ADMQ，BM//平面CDM，所以较大部分与较小部分的体积比为2，故选：B.【点睛】关键点点睛：本题求解的关键一方面是确定平面与正四棱柱各条棱的交点，根据交点坐标和空间向量运算能更高效说明线面垂直，另一方面是采用割补法求解几何体的体积，将复杂几何体转化为简单几何体再去计算.【分析】选项A和C，可以在正方体中，通过取平面和直线，满足条件，但得不到a//b，从而判断出A和C的正误，选项B和D，利用线面平行的判定定理和性质定理，即可判断出选项B和D的正误.【详解】对于选项A，如图，在正方体中，取直线AB为a，直线BC为b，直线BB1为c，显然有a丄c，b丄c，但a∩b=B，所以选项A错误，答案第5页，共15页对于选项B，由线面平行的性质可知，选项B正确，对于选项C，如图，在正方体中，取平面ABB1A1为α,平面BCC1B1为平面β,平面ABCD为Y，显然满足α丄Y，β丄Y，又α∩Y=AB，β∩Y=BC，且AB∩BC=B，即a,b相交，所以选项C错误，对于选项D，因为α∩β=a，则aβ,又β∩Y=c，则cβ,cY，又a//c，显然有a丈Y，所以a//Y，又acα,α∩Y=b，所以a//b，故选项D正确，故选：BD.【分析】对于A：结合余弦函数的值域分析判断；对于B：根据对称性的定义分析判断；对于C：举反例说明即可；对于D：根据题意结合最小正周期的定义分析判断.【详解】由题意可知：f(x)的定义域为R，且f(0)=1，所以f(x)的最大值为1，故A正确；对于选项B：因为f(π-x)=cos(π-x)cos2(π-x)=cos(π-x)cos(2π-2x)=-cosxcos2x=-f(x)，即f(r-x)+f(x)=0，所以是曲线y=f(x)的对称中心，故B正确；对于选项C：因为f=0，且f(x)在R上连续不断，所以f(x)在上不单调，故C错误；对于选项D：因为f(-x)=cos(-x)cos2(-x)=cosxcos2x=f(x)，答案第6页，共15页由选项B可知f(π-x)=-f(x)，可得f(x-π)=-f(x)，即f(x+π)=-f(x)，则f(x+2π)=-f(x+π)=-[-f(x)=f(x)，可知2π为f(x)的一个周期，可知对任意a∈(0,2π)，f(a)≠1，即f(0+a)≠f(0)，所以a不为f(x)的一个周期；综上所述：f(x)的最小正周期为2π,故D正确；故选：ABD.【分析】选项A，根据条件，通过赋值，即可求解；选项B，由f(1+x)+f(1-x)=2，得到f(-x)=2-f(2+x)，进而得到f(-x)=f(2-x)-2，而又由f(1+x)+f(1-x)=2可得f(x)+f(2-x)=2，得到f(-x)=-f(x)，即可判断选项B的正误；选项C，根据条件得f(1)=1，f(2)=2，再利用f(2+x)=f(x)+2，得到当x∈Z时，f(x)=x，再结合f(x)的单调性，即可求解；选项D，构造函数y=ex+1-x-2，利用导数与函数单调性间的关系，得到ex+1≥x+2，从而有f(ex+1)-f(x)≥f(x+2)-f(x)，再结合条件，即可求解.【详解】对于选项A，因为f(1+x)+f(1-x)=2，令x=0，得到f(1)=1，又f(2+x)+f(2-x)=4，令x=1，得到f(3)+f(1)=4，所以f(3)=3，故选项A正确，对于选项B，因为f(1+x)+f(1-x)=2，得到f(2+x)+f(-x)=2，所以f(-x)=2-f(2+x)，又f(2+x)+f(2-x)=4，所以f(-x)=2-f(2+x)=f(2-x)-2，又由f(1+x)+f(1-x)=2可得f(x)+f(2-x)=2，所以f(-x)=f(2-x)-2=-f(x)，又f(x)的定义域为R，定义域关于原点对称，所以f(x)为奇函数，故选项B正确，对于选项C，因为f(2+x)+f(2-x)=4，令x=0，得到f(2)=2，由选项A知f(1)=1，答案第7页，共15页又由选项B知f(2+x)=f(x)+2，且f(x)为奇函数，则当x∈Z时，f(x)=x，所以当x∈Z时，不存在x0∈R，使f(x0)=x0+1成立，当x∈Z，因为f(x)为R上的增函数，则f(x0)<f([x0+1])=[x0+1]<x0+1（其中[x]表示不超过x的最大整数所以选项C错误，对于选项D，令y=ex+1-x-2，则y,=ex+1-1，由y,=ex+1-1=0，得到x=-1，所以当x∈(-∞,-1)时，y,=ex+1-1<0，当x∈(-1,+∞)时，y,=ex+1-1>0，即y=ex+1-x-2在区间(-∞,-1)上单调递减，在区间(-1,+∞)上单调递增，所以y=ex+1-x-2≥e-1+1-(-1)-2=0，即ex+1由选项B知f(2+x)+f(-x)=f(2+x)-f(x)=2，又f(x)为R上的增函数，所以f(ex+1)-f(x)≥f(x+2)-f(x)=2，当且仅当x=-1时取等号，故选项D正确，故选：ABD.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于选项C和D，选项C，关键在于结合条件得到当x∈Z时，f(x)=x，再利用f(x)的单调性，当x∈Z，有f(x0)<f([x0+1])=[x0+1]<x0+1（其中[x]表示不超过x的最大整数即可求解；选项D，构造函数y=ex+1-x-2，利用导数与函数的单调性间的关系得到ex+1≥x+2，结合条件，得到f(ex+1)-f(x)≥f(x+2)-f(x)=2，即可求解.12．2##π【分析】根据三角函数的单调性和周期性等图象性质易得结果.,此时f(x)=sin(2x+φ)，则-×2+φ=+2kπ,解得φ=+2kπ,又0<φ<π,所以φ=.答案第8页，共15页故答案为：2；.【分析】设A(x1,lnx1),B(x2,lnx2)，根据向量垂直可得x1.x2+lnx1.lnx2=0，由中点坐标公式可得x1.x2=1，代入运算求解即可.2,lnx2)，又因为线段AB的中点M在x轴上，则1即可得或所以点M的横坐标为2=2|(e+e., , 【分析】将AB,AC分别表示为OB-OA,OC-OA，然后根据向量数量积的定义表示出 2 当且仅当AB,OC=180时取等号， 答案第9页，共15页故答案为：-.(2)等边三角形【分析】（1）利用正弦定理和诱导公式及特殊角三角函数值即可求得A的值；（2）利用三角形面积公式和余弦定理求得VABC的三边长，进而判断出VABC的形状.sinAcosC+·sinAsinC则上式可化为·sinAsinC=sinCcosA+sinC，)=()=(,故A=整理得b2+c2-a2=28-12a，又由A=，则cos=，可化为解之得a=2，则解之得则VABC的形状为等边三角形.答案第10页，共15页或P(-23)(2)证明见解析.【分析】（1）由题可得HP中点M纵坐标为即可得答案；（2）由导数知识可得C在点P处的切线方程，后可表示出Q坐标，后验证FQ.FP=0，可证明结论.【详解】（1）设px0,y0=4y0，则P又由题可得C:x2=4y的焦点为F(0,1)，准线为l：y=-1.则P在l上的射影H为H(x0,-1).要使△PFH为正三角形，则应满足HP中点M纵坐标为1，且FM=HP.J3xJ3x能使△PFH为正三角形；(x2)（2）由题可得P|(x0,满足x0≠0.注意到x2=4y→y=→y,=，.则点处的切线斜率为：，则相应切线为：y=(-x0)+.代入x=4y0，可将切线方程化简为：xx0=2(y+y0).令y=-1，可得Q00,y0-1)答案第11页，共15页【分析】（1）作AH丄PD于点H，证明AH丄平面PBD，求出AH得解；（2）以点A为坐标原点，过点A垂直于AC的为x轴，AC,AP分别为y,z轴的空间直角坐标系，求出平面PBC与平面PAC的一个法向量，利用向量法求解.【详解】（1）如图，作AH丄PD于点H，因为平面PBD丄平面PAC，平面PBD∩平面PAC=PD，AH平面PAC，所以AH丄平面PBD，在Rt△PAD中，AH=所以点A到平面PBD的距离为.（2）由（1AH丄平面PBD，BD平面PBD，所以AH丄BD，又PA丄平面ABC，BDC平面ABC，所以PA丄BD，又PA,AHC平面PAC，PA∩AH=A，所以BD丄平面PAC，如图，以点A为坐标原点，过点A垂直于AC的为x轴，AC,AP分别为y,z轴的空间直角坐标系，所以设平面PBC的一个法向量为=(x,y,z)，z=0答案第12页，共15页设平面PAC与平面PBC的夹角为θ,:sinθ=.所以平面PAC与平面PBC的夹角的正弦值为.(2)证明见详解【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求切线方程，代入原点运算求解即可；（2）构建g(x)=f(x)-x-1+sinx，利用导数分析其单调性和最值，即可分析证明；（3）分类讨论a的符号，可知f′x)≥0在[0,π]上恒成立，构建F(x)=f,(x)，结合端点效应分析证明.【详解】（1）因为f(x)=x2+acosx，则f,(x)=2x-asinx，即切点坐标为切线斜率k=π-a，则切线方程为若切线过原点，则0-解得.（2）若a=1，则f(x)=x2+cosx，构建g(x)=f(x)-x-1+sinx=x2-x+sinx+cosx-1，则g,(x)=2x-1+cosx-sinx，即h,(x)>0恒成立，则ℎ(x)在R上单调递增，且h(0)=0，可知g(x)在(-∞,0)内单调递减，在(0,+∞)内单调递增，则g(x)≥g(0)=0，所以f(x)≥x+1-sinx.（3）若f(x)在[0,π]上单调递增，当a=0，则f(x)=x2在[0,π]上单调递增，符合题意；当a<0，则f(x)=x2-acosx在[0,π]上单调递增，符合题意；当a>0，由（1）可知：f,(x)=2x-asinx，则f′(x)≥0在[0,π]上恒成立，设F(x)=f,(x)，则F,(x)=2-acosx，若0<a≤2，可知F,(x)=2-acosx在[0,π]上单调递增，可知F(x)在[0,π]上单调递增，则F(x)≥F(0)=0，符合题意；综上所述：a的取值范围为(-∞,2].【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题（1）分离参数法第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的最值；答案第13页，共15页答案第14页，共15页