三角形四心的向量性质和应用教师用答案版

...wd......wd......wd...三角形“四心〞的向量性质及其应用三角形“四心〞的概念介绍(1)重心—三条中线的交点：重心将中线长度分成2：1；(2)外心—三边中垂线的交点(外接圆的圆心)：外心到三角形各顶点的距离相等；(3)垂心—三条高线的交点：高线与对应边垂直；(4)内心—三条内角平分线的交点(内切圆的圆心)：角平分线上的任意点到角两边的距离相等．工具：为内一点，则有：证明：延长交于，如图必有：，，；---〔*〕由共线，得：进而得：----------------①由共线，得：----------②由①②得：代入〔*〕结论得消去分母得：证毕.另证：作，如图：为平行四边形；由．反方向思考：设在的内部，假设有正实数满足：，必有：．证明：作：，，则，则为的重心，则：.设为又从而得：．验证式思考：先证引理：假设不共线，对，有且，必有证明：假设必有且，得，与题设矛盾，故必有再证：设，，则；由；有对称性知：，又，不共线，故：必有成立．一、三角形的重心的向量表示及应用知识：是的重心(为该平面上任意一点)略证：，得：．变式：分别为的边的中点．则．二、三角形的外心的向量表示及应用知识：是的外心略证：，得：常用结论：是的外心三、三角形的垂心的向量表示及应用知识：是的垂心略证：，得：扩展：假设是的外心，点满足：，则是的垂心．证明：如图：为直径，为垂心，为外心，为中点；有：进而得到：且，即：；又易知：；故：，即：．又：〔为重心〕，故：；故：得到欧拉线：的外心，重心，垂心三点共线(欧拉线)，且．证毕．四、三角形的内心的向量表示及应用知识：是的内心注：式子中，为任一点．略证：，得之．五．欧拉线：的外心，重心，垂心三点共线(欧拉线)，且．〔前已证〕测试题一．选择题1．是所在平面上一定点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的()A．外心B．内心C．重心D．垂心2．(03全国理4)是所在平面上一定点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的()A．外心B．内心C．重心D．垂心3．是所在平面上一定点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的()A．外心B．内心C．重心D．垂心4．是所在平面上一定点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的()A．外心B．内心C．重心D．垂心5．是所在平面上一定点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的()．A．外心B．内心C．重心D．垂心6．是所在平面上一定点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的()．A．内心B．垂心C．重心D．AB边的中点7．是的重心，动点满足,则点一定为的()A．AB边中线的中点B．AB边中线的三等分点(非重心)C．重心D．AB边的中点8．在中，动点满足：，则点轨迹一定通过△ABC的()Ａ．外心Ｂ．内心C．重心D．垂心9．三个顶点及平面内一点，满足，假设实数满足：，则的值为()A．2B．C．3D．610．设点是内一点，用表示的面积，令，，．定义，假设则()A．点在内B．点在内C．点在内D．以上皆不对11．假设的外接圆的圆心为，半径为1，，则()A．B．0C．1D．12．是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，假设，则是的()A．外心B．内心C．重心D．垂心13．(06陕西)非零向量与满足且,则△ABC为()A．三边均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．等边三角形14．三个顶点，假设，则为()A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．既非等腰又非直角三角形二．填空题15．的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数m=1．16．中，，为重心，则．17．点在内部且满足，则3．18．点在内部且满足，则4．19．中，，为的内心，且，则.20．中，，为的外心，且，则．21．为锐角的外心，，假设，则．22．在中，，则．三．解答题BCAMNG23．如图，点是的重心，过作直线与两边分别交于两点，BCAMNG且，，求证：．解：由三点共线，得：--------①又是的重心得：---------②由①②得：，消去得：.24．设在的内部，假设有正实数满足：，求证：．证明：作：，，则，则为的重心，则：.设为又从而得：25．向量，，满足条件++=，||=||=||=1，求证：为正三角形．证明：由++=+=平方得：从而得：同理可得：，即为正三角形．26．在中，，求从顶点出发的两条中线的夹角的余弦值．解：设，则且；则故：27．是的垂心，且，试求∠的度数．解：设的外接圆半径为，点是的外心。∵是的垂心∴∴,∴∵，∴∵，∴∴而∠为的内角，∴从而或∴∠的度数为或.28．，试写出△的重心，外心，和垂心的坐标，并证明三点共线．(2002全国)．解：易知；设，由，且，得，得，即；设，则由,即.而且：易知：〔又有公共端点〕，故三点共线.29．、分别为不等边的重心与外心，、且∥，(1)求点的轨迹方程；(2)假设直线过点(0，1)，并与的轨迹曲线交于、两点，且满足(为坐标原点)，求直线的方程．解：〔1〕设，则，再设，由，易得：故外心；由