数学达标训练：向量的坐标表示

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精更上一层楼基础·巩固1。设a=（-1,1)，b=（-1，2）,c=(3，-2),用a、b作基底，可将向量c表示为c=pa+qb，则（）A。p=—4，q=1B.p=1，q=—4C。p=0，q=4思路解析:由（3，—2)=p（—1，1）+q(-1，2)=(—p—q,p+2q)，所以解得p=-4，q=1.答案:A2.设A、B、C、D四点坐标依次是(-2，0)、（4,1)、(5,3)、(—1,2），则四边形ABCD为（）A。正方形B。梯形C。菱形D.平行四边形思路解析：如右图所示，=（-1,2）-(—2,0）=(1，2）,=（5,3)-（4，1)=（1，2)，∴.由平面上两点间距离公式可得AB≠AD,∴四边形为平行四边形.答案:D3。若a=（sinα，-),b=（cosα，）且a∥b，则钝角α为(）A.30°B。60°C。45°D.135°思路解析：由a∥b，∴×sinα+×cosα=0，即sinα+cosα=0.∴tanα=-1.又∵α为钝角，∴α=135°。答案:D4.若O(0，0)，B（1，3)，且,则B′点的坐标为（）A.(3,9）B.（—3，9）C。（—3，3)D.(3,-3）思路解析：由于点B坐标为（1，3),则=（1，3），则=3×(1,3）=（3，9）。答案:A5.O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足+λ（)，λ∈[0，+∞),则P的轨迹一定通过△ABC的()A。外心B.内心C。重心D。垂心思路解析：因与都为单位向量，所以λ（)平分与的夹角,如右图所示，即平分∠A,即通过△ABC的内心.答案：B6.已知边长为2的正方形ABCD，若A点与坐标原点重合，边AB、AD分别落在x轴、y轴的正方向上，则向量的坐标为_____________________。思路解析：根据题意建立坐标系如图，则A(0，0），B（2，0），C（2，2）,D（0，2)。∴=（2，0)，=(0，2)，=(2，2)。∴=（4,0）+(0，6)+(2，2）=（6，8)。答案：(6，8)7。已知a=（6，4），b=(4，—2),若λa+b与a+λb(λ∈R)平行，则λ=_________________.思路解析:λa+b=λ（6，4）+（4，-2）=（6λ+4，4λ-2）,a+λb=(6,4)+λ（4，—2)=(6+4λ，4-2λ）.∵(λa+b)∥（a+λb），∴(6λ+4)(4-2λ)-(6+4λ）（4λ—2）=0,即7λ2=7.∴λ=1或—1。答案：1或—18。D、E、F分别为△ABC的边BC、CA、AB上的中点,且=a，=b,给出下列命题：①=—a-b；②=a+b;③=a+b；④=0。其中正确命题的序号为_______________________.思路解析：如右图所示，=—b+=-b—a，=a+b，=—b—a，+=b+（-b-a）=b-a，=—b—a+a+b+b—a=0。所以应填①②④.答案：①②④9.已知A（1，2)，B(4，8），，,求点C、D和向量的坐标.思路分析:可利用某点的坐标与从原点出发的向量一一对应求解。解：∵=（4，8）-（1,2）=(3，6)，∴=（9，18）。∴=（1，2)+（9，18）=(10，20)，即C点坐标为(10,20）.又=-3(-3，—6)=（9，18)，∴=(1，2）-(9，18）=(—8，-16）,即D点坐标为（-8,-16）。=(-8，-16)—(10,20)=(—18,-36）.10.已知:A（1,-2），B（2，1)，C(3,2），D(—2,3)。（1）求证:A、B、C三点不共线；（2)以、为一组基底来表示。思路分析：利用向量的坐标运算及两向量平行的充要条件.(1）证明：∵=(1,3),=（2，4）,又∵1×4-3×2≠0。∴与不共线.∴A、B、C三点不共线。（2)解：=(—3,5)+(—4，2）+(—5，1）=(—12,8)。设，即（—12,8)=（m+2n，3m+4n).∴∴.综合·应用11。已知梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2CD，M、N分别为CD、AB的中点，设=e1,=e2，以e1、e2为基底表示MN是（)A.-e1+e2B.e1—e2C。e1-e2D。e1+e2思路解析:把所求向量放入与基底相关的三角形或平行四边形中，构造向量关系式求解。如右图，.由于AB∥CD,且AB=2CD，M、N分别为CD、AB的中点，则=—=—e1,==e1.所以=—e1+e1—e2=e1—e2。答案：B12。已知向量a=（2，2),b=(2，—2)，c=(—2，4），则c等于（)A.—a+bB.a—bC。a—bD。-a+b思路解析：可设c=xa+yb，再利用向量相等建立方程解之即可.设c=xa+yb，则有(—2,4）=x（2，2)+y(2,-2)=(2x+2y，2x—2y)，即解之，得答案：B13.已知A（3，-1)，B(5，4)，向量p的坐标为(2k—1，7)，当p∥时，k的值是()A.—B。C.-D.思路解析:求出的坐标，利用向量平行的坐标表示列出方程组求解即可。=（5,4）-（3，-1)=（2,5)，又p=（2k-1,7)，且p∥，则有2×7—（2k—1)×5=0,解得k=。答案:D14。若向量a=（-1,x)与b=（—x,1)共线且方向相同，则x的值为______________.思路解析:∵a=（-1，x)与b=(—x，1）共线,∴（-1)×1—x·(—x）=0,即x2=1.∴x=±1。∵a与b方向相同,∴x=1。答案：115.如图，在△ABC中，=a，=b，AD为边BC的中线，G为△ABC的重心，则向量=_______________.思路解析：方法一：∵=a,=b，则==b.∴=a+b.而=,∴=a+b。方法二：过G作BC的平行线，交AB、AC于E、F.∵△AEF∽△ABC，==a，==b，==b,∴=a+b。答案：a+b16。已知向量集合M=｛a｜a=（1，2）+λ(3,4），λ∈R｝，N={a|a=（-2,—2）+λ（4,5）,λ∈R｝，则M∩N=______。思路解析:利用M∩N的元素特殊,列出方程组求解.M={a｜a=（1+3λ，2+4λ),λ∈R｝,N={a｜a=(-2+4λ,-2+5λ）,λ∈R｝，M∩N的元素既在M内又在N内，故可设(1+3x，2+4x）=（—2+4y,-2+5y)，x、y∈R，即解得所以M∩N={(—2，2)｝。答案：｛(—2,2)｝17.证明三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍。思路分析：利用向量的方法证明平面几何问题.证明：设=b，=a，则=b+a，=b+a。∵A、G、D共线，B、G、E共线,∴可设=λ，=μ,则=λ=λ(b+a)=λb+λa，=μ=μ(b+a)=μb+μa,∵，即b+（μb+μa）=λb+λa,∴（μ-λ)a+(μ—λ+)b=0。∵a，b不平行，∴=,即三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍。回顾·展望18。（2006全国高考)已知向量a=（4,2),b=(x，3),且a∥b，则x等于(）A.9B。6C.5思路解析：由于a=(4，2），b=（x，3),则若a∥b,应有4×3—2x=0，即x=6。答案：B19.(2006山东高考)设向量a=(1,-3）,