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文档简介

广东省深圳市福田区耀华实验学校华文班2024年高三下学期3月模块诊断数学试题试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合,,则等于()A. B. C. D.2.圆心为且和轴相切的圆的方程是()A. B.C. D.3.若复数在复平面内对应的点在第二象限,则实数的取值范围是()A. B. C. D.4.为了研究国民收入在国民之间的分配,避免贫富过分悬殊,美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线,如图所示.劳伦茨曲线为直线时,表示收入完全平等.劳伦茨曲线为折线时,表示收入完全不平等.记区域为不平等区域,表示其面积,为的面积,将称为基尼系数.对于下列说法:①越小,则国民分配越公平;②设劳伦茨曲线对应的函数为,则对,均有;③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为,则;④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为,则.其中正确的是:A.①④ B.②③ C.①③④ D.①②④5.已知向量,,当时,()A. B. C. D.6.已知函数(其中,,)的图象关于点成中心对称,且与点相邻的一个最低点为,则对于下列判断:①直线是函数图象的一条对称轴;②点是函数的一个对称中心;③函数与的图象的所有交点的横坐标之和为.其中正确的判断是()A.①② B.①③ C.②③ D.①②③7.若,,,则()A. B.C. D.8.若复数满足,则()A. B. C. D.9.已知集合,,则()A. B.C. D.10.在平行四边形中,若则()A. B. C. D.11.已知,则下列不等式正确的是()A. B.C. D.12.在正方体中,E是棱的中点,F是侧面内的动点,且与平面的垂线垂直,如图所示,下列说法不正确的是()A.点F的轨迹是一条线段 B.与BE是异面直线C.与不可能平行 D.三棱锥的体积为定值二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若复数z满足,其中i是虚数单位,则z的模是______.14.已知满足且目标函数的最大值为7,最小值为1,则___________.15.“六艺”源于中国周朝的贵族教育体系,具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座,每艺安排一节,连排六节,则满足“礼”与“乐”必须排在前两节,“射”和“御”两讲座必须相邻的不同安排种数为________.16.如图所示,在边长为4的正方形纸片中,与相交于.剪去,将剩余部分沿,折叠,使、重合,则以、、、为顶点的四面体的外接球的体积为________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知椭圆:()的离心率为,且椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合.过点的直线交椭圆于,两点,为坐标原点.(1)若直线过椭圆的上顶点,求的面积;(2)若,分别为椭圆的左、右顶点,直线,,的斜率分别为,,,求的值.18.(12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率.19.(12分)在,角、、所对的边分别为、、,已知.(1)求的值;(2)若,边上的中线,求的面积.20.(12分)已知在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系,直线的极坐标方程为.(1)求直线的直角坐标方程;(2)求曲线上的点到直线距离的最小值和最大值.21.(12分)某生物硏究小组准备探究某地区蜻蜓的翼长分布规律,据统计该地区蜻蜓有两种,且这两种的个体数量大致相等,记种蜻蜓和种蜻蜓的翼长(单位:)分别为随机变量,其中服从正态分布,服从正态分布.(Ⅰ)从该地区的蜻蜓中随机捕捉一只,求这只蜻蜓的翼长在区间的概率;(Ⅱ)记该地区蜻蜓的翼长为随机变量,若用正态分布来近似描述的分布,请你根据(Ⅰ)中的结果,求参数和的值(精确到0.1);(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,从该地区的蜻蜓中随机捕捉3只,记这3只中翼长在区间的个数为,求的分布列及数学期望(分布列写出计算表达式即可).注:若,则,,.22.(10分)如图所示,直角梯形中,,,,四边形为矩形,.(1)求证:平面平面;(2)在线段上是否存在点,使得直线与平面所成角的正弦值为,若存在,求出线段的长,若不存在,请说明理由.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

进行交集的运算即可.【详解】,1,2,,,,1,.故选:.【点睛】本题主要考查了列举法、描述法的定义,考查了交集的定义及运算,考查了计算能力,属于基础题.2、A【解析】

求出所求圆的半径,可得出所求圆的标准方程.【详解】圆心为且和轴相切的圆的半径为,因此,所求圆的方程为.故选:A.【点睛】本题考查圆的方程的求解,一般求出圆的圆心和半径,考查计算能力,属于基础题.3、B【解析】

复数,在复平面内对应的点在第二象限,可得关于a的不等式组,解得a的范围.【详解】,由其在复平面对应的点在第二象限,得,则.故选:B.【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义、不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.4、A【解析】

对于①,根据基尼系数公式,可得基尼系数越小,不平等区域的面积越小,国民分配越公平,所以①正确.对于②,根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线,由图得,均有,可得,所以②错误.对于③,因为,所以,所以③错误.对于④,因为,所以,所以④正确.故选A.5、A【解析】

根据向量的坐标运算,求出,,即可求解.【详解】,.故选:A.【点睛】本题考查向量的坐标运算、诱导公式、二倍角公式、同角间的三角函数关系,属于中档题.6、C【解析】分析:根据最低点,判断A=3,根据对称中心与最低点的横坐标求得周期T,再代入最低点可求得解析式为,依次判断各选项的正确与否.详解:因为为对称中心,且最低点为,所以A=3,且由所以,将带入得,所以由此可得①错误,②正确,③当时,,所以与有6个交点,设各个交点坐标依次为,则,所以③正确所以选C点睛:本题考查了根据条件求三角函数的解析式,通过求得的解析式进一步研究函数的性质,属于中档题.7、C【解析】

利用指数函数和对数函数的单调性比较、、三个数与和的大小关系,进而可得出、、三个数的大小关系.【详解】对数函数为上的增函数,则,即;指数函数为上的增函数,则;指数函数为上的减函数,则.综上所述,.故选:C.【点睛】本题考查指数幂与对数式的大小比较,一般利用指数函数和对数函数的单调性结合中间值法来比较,考查推理能力,属于基础题.8、B【解析】

由题意得,,求解即可.【详解】因为,所以.故选:B.【点睛】本题考查复数的四则运算,考查运算求解能力,属于基础题.9、A【解析】

根据对数性质可知,再根据集合的交集运算即可求解.【详解】∵,集合,∴由交集运算可得.故选:A.【点睛】本题考查由对数的性质比较大小,集合交集的简单运算,属于基础题.10、C【解析】

由,,利用平面向量的数量积运算,先求得利用平行四边形的性质可得结果.【详解】如图所示,

平行四边形中,,

,,,

因为,

所以

,

,所以,故选C.【点睛】本题主要考查向量的几何运算以及平面向量数量积的运算法则,属于中档题.向量的运算有两种方法:(1)平行四边形法则(平行四边形的对角线分别是两向量的和与差);(2)三角形法则(两箭头间向量是差,箭头与箭尾间向量是和).11、D【解析】

利用特殊值代入法,作差法,排除不符合条件的选项,得到符合条件的选项.【详解】已知,赋值法讨论的情况:(1)当时,令,,则,,排除B、C选项;(2)当时,令,,则,排除A选项.故选:D.【点睛】比较大小通常采用作差法,本题主要考查不等式与不等关系,不等式的基本性质,利用特殊值代入法,排除不符合条件的选项,得到符合条件的选项,是一种简单有效的方法,属于中等题.12、C【解析】

分别根据线面平行的性质定理以及异面直线的定义,体积公式分别进行判断.【详解】对于,设平面与直线交于点,连接、,则为的中点分别取、的中点、,连接、、,,平面,平面,平面.同理可得平面,、是平面内的相交直线平面平面,由此结合平面,可得直线平面,即点是线段上上的动点.正确.对于,平面平面,和平面相交,与是异面直线,正确.对于,由知,平面平面,与不可能平行,错误.对于,因为,则到平面的距离是定值,三棱锥的体积为定值,所以正确;故选:.【点睛】本题考查了正方形的性质、空间位置关系、空间角、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

先求得复数,再由复数模的计算公式即得.【详解】,,则.故答案为:【点睛】本题考查复数的四则运算和求复数的模,是基础题.14、-2【解析】

先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值,表示直线在轴上的截距,只需求出可行域直线在轴上的截距最大最小值时所在的顶点即可.【详解】由题意得:目标函数在点B取得最大值为7,在点A处取得最小值为1,∴,,∴直线AB的方程是:,∴则,故答案为.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划,以及利用几何意义求最值的方法,属于基础题.15、【解析】

分步排课,首先将“礼”与“乐”排在前两节,然后,“射”和“御”捆绑一一起作为一个元素与其它两个元素合起来全排列,同时它们内部也全排列.【详解】第一步:先将“礼”与“乐”排在前两节,有种不同的排法;第二步:将“射”和“御”两节讲座捆绑再和其他两艺全排有种不同的排法,所以满足“礼”与“乐”必须排在前两节,“射”和“御”两节讲座必须相邻的不同安排种数为.故答案为:1.【点睛】本题考查排列的应用,排列组合问题中,遵循特殊元素特殊位置优先考虑的原则,相邻问题用捆绑法,不相邻问题用插入法.16、【解析】

将三棱锥置入正方体中,利用正方体体对角线为三棱锥外接球的直径即可得到答案.【详解】由已知,将三棱锥置入正方体中,如图所示,,故正方体体对角线长为,所以外接球半径为,其体积为.故答案为:.【点睛】本题考查三棱锥外接球的体积问题,一般在处理特殊几何体的外接球问题时,要考虑是否能将其置入正(长)方体中,是一道中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【解析】

(1)根据抛物线的焦点求得椭圆的焦点,由此求得,结合椭圆离心率求得,进而求得,从而求得椭圆的标准方程,求得椭圆上顶点的坐标,由此求得直线的方程.联立直线的方程和椭圆方程,求得两点的纵坐标,由此求得的面积.(2)求得两点的坐标,设出直线的方程,联立直线的方程和椭圆方程,写出韦达定理,由此求得的值,根据在椭圆上求得的值,由此求得的值.【详解】(1)因为抛物线的焦点坐标为,所以椭圆的右焦点的坐标为,所以,因为椭圆的离心率为,所以,解得,所以,故椭圆的标准方程为.其上顶点为,所以直线:,联立,消去整理得,解得,,所以的面积.(2)由题知,,,设,.由题还可知,直线的斜率不为0,故可设:.由,消去,得,所以所以,又因为点在椭圆上,所以,所以.【点睛】本小题主要考查抛物线的焦点,椭圆的标准方程和几何性质、直线与椭圆,三角形的面积等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想.18、(1).(2).【解析】

(1)由前三年六月份各天的最高气温数据,求出最高气温位于区间[20,25)和最高气温低于20的天数,由此能求出六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率.(2)当温度大于等于25℃时,需求量为500,求出Y=900元;当温度在[20,25)℃时,需求量为300,求出Y=300元;当温度低于20℃时,需求量为200,求出Y=﹣100元,从而当温度大于等于20时,Y>0,由此能估计估计Y大于零的概率.【详解】解:(1)由前三年六月份各天的最高气温数据,得到最高气温位于区间[20,25)和最高气温低于20的天数为2+16+36=54,根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶,如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶,如果最高气温低于20,需求量为200瓶,∴六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率p.(2)当温度大于等于25℃时,需求量为500,Y=450×2=900元,当温度在[20,25)℃时,需求量为300,Y=300×2﹣(450﹣300)×2=300元,当温度低于20℃时,需求量为200,Y=400﹣(450﹣200)×2=﹣100元,当温度大于等于20时,Y>0,由前三年六月份各天的最高气温数据,得当温度大于等于20℃的天数有:90﹣(2+16)=72,∴估计Y大于零的概率P.【点睛】本题考查概率的求法,考查利润的所有可能取值的求法,考查函数、古典概型等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,是中档题.19、(1)(2)答案不唯一,见解析【解析】

(1)由题意根据和差角的三角函数公式可得,再根据同角三角函数基本关系可得的值;(2)在中,由余弦定理可得,解方程分别由三角形面积公式可得答案.【详解】解:(1)在中,因为,又已知,所以,因为,所以,于是.所以.(2)在中,由余弦定理得,得解得或,当时,的面积,当时,的面积.【点睛】本题考查正余弦定理理解三角形,涉及三角形的面积公式和分类讨论思想,属于中档题.20、(1)(2)最大值;最小值.【解析】

(1)结合极坐标和直角坐标的互化公式可得;(2)利用参数方程,求解点到直线的距离公式,结合三角函数知识求解最值.【详解】解:(1)因为,代入,可得直线的直角坐标方程为.(2)曲线上的点到直线的距离,其中,.故曲线上的点到直线距离的最大值,曲线上的点到直线的距

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